1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013辽宁,理1)复数z=1i-1的模为(). A.12B.22C.2D.
2、2答案:B解析:z=1i-1=-i-1(-i-1)(i-1)=-12-12i,|z|=-122+-122=22,故选B.2.(2013辽宁,理2)已知集合A=x|0log4x1,B=x|x2,则AB=().A.(0,1)B.(0,2C.(1,2)D.(1,2答案:D解析:0log4x1log41log4xlog441x4,即A=x|1x4,AB=x|10的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列ann是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中的真命题为().A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4答案:D解析:如数列为-2
3、,-1,0,1,则1a1=2a2,故p2是假命题;如数列为1,2,3,则ann=1,故p3是假命题.故选D.5.(2013辽宁,理5)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:20,40),40,60),60,80),80,100.若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是().A.45B.50C.55D.60答案:B解析:由频率分布直方图,低于60分的同学所占频率为(0.005+0.01)20=0.3,故该班的学生人数为150.3=50.故选B.6.(2013辽宁,理6)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bc
4、os A=12b,且ab,则B=().A.6B.3C.23D.56答案:A解析:根据正弦定理:asin Bcos C+csin Bcos A=12b等价于sin Acos C+sin Ccos A=12,即sin(A+C)=12.又ab,A+C=56,B=6.故选A.7.(2013辽宁,理7)使3x+1xxn(nN+)的展开式中含有常数项的最小的n为().A.4B.5C.6D.7答案:B解析:3x+1xxn展开式中的第r+1项为Cnr(3x)n-rx-32r=Cnr3n-rxn-52r,若展开式中含常数项,则存在nN+,rN,使n-52r=0,故最小的n值为5,故选B.8.(2013辽宁,理8
5、)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出S=().A.511B.1011C.3655D.7255答案:A解析:当n=10时,由程序运行得到S=122-1+142-1+162-1+182-1+1102-1=113+135+157+179+1911=1211-13+13-15+15-17+17-19+19-111=121011=511.故选A.9.(2013辽宁,理9)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若OAB为直角三角形,则必有().A.b=a3B.b=a3+1aC.(b-a3)b-a3-1a=0D.|b-a3|+b-a3-1a=0答案:C解析:若B为直角,则OBAB=0
6、,即a2+a3(a3-b)=0,又a0,故b=a3+1a;若A为直角,则OAAB=0,即b(a3-b)=0,得b=a3;若O为直角,则不可能.故b-a3=0或b-a3-1a=0,故选C.10.(2013辽宁,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为().A.3172B.210C.132D.310答案:C解析:过C点作AB的平行线,过B点作AC的平行线,交点为D,同理过C1作A1B1的平行线,过B1作A1C1的平行线,交点为D1,连接DD1,则ABCD-A1B1C1D1恰好成为球的一个内接长方体,故球的半径r
7、=32+42+1222=132.故选C.11.(2013辽宁,理11)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=maxf(x),g(x),H2(x)=minf(x),g(x)(maxp,q表示p,q中的较大值,minp,q表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=().A.16B.-16C.a2-2a-16D.a2+2a-16答案:B解析:f(x)-g(x)=2x2-4ax+2a2-8=2x-(a-2)x-(a+2),H1(x)=f(x),x(-,a-2,g(x),x(a-2,a+2),f(
8、x),xa+2,+),H2(x)=g(x),x(-,a-2,f(x),x(a-2,a+2),g(x),xa+2,+),可求得H1(x)的最小值A=f(a+2)=-4a-4,H2(x)的最大值B=g(a-2)=-4a+12,A-B=-16.故选B.12.(2013辽宁,理12)设函数f(x)满足x2f(x)+2xf(x)=exx,f(2)=e28,则x0时,f(x)().A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值答案:D解析:令F(x)=x2f(x),则F(x)=x2f(x)+2xf(x)=exx,F(2)=4f(2)=e22.由x2f(x)+2
9、xf(x)=exx,得x2f(x)=exx-2xf(x)=ex-2x2f(x)x,f(x)=ex-2F(x)x3.令(x)=ex-2F(x),则(x)=ex-2F(x)=ex-2exx=ex(x-2)x.(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,(x)的最小值为(2)=e2-2F(2)=0.(x)0.又x0,f(x)0.f(x)在(0,+)单调递增.f(x)既无极大值也无极小值.故选D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013辽宁,理13)
10、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.答案:16-16解析:由三视图可知该几何体是一个底面半径为2的圆柱体,中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱,故体积为224-224=16-16.14.(2013辽宁,理14)已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.答案:63解析:因为x2-5x+4=0的两根为1和4,又数列an是递增数列,所以a1=1,a3=4,所以q=2.所以S6=1(1-26)1-2=63.15.(2013辽宁,理15)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接
11、AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cosABF=45,则C的离心率e=.答案:57解析:如图所示.根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|BF|cosABF,即|BF|2-16|BF|+64=0,得|BF|=8.又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|BF|cos ABF,得|OF|=5.根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7.又|OF|=c=5,故离心率e=57.16.(2013辽宁,理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据
12、互不相同,则样本数据中的最大值为.答案:10解析:设5个班级的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x55=7,(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)25=4,即5个整数平方和为20,最大的数比7大不能超过3,否则方差超过4,故最大值为10,最小值为4.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013辽宁,理17)(本小题满分12分)设向量a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x0,2.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=ab,求f(x)的最大值.解:(1)由|
13、a|2=(3sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x0,2,从而sin x=12,所以x=6.(2)f(x)=ab=3sin xcos x+sin2x=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-6+12,当x=30,2时,sin2x-6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.18.(2013辽宁,理18)(本小题满分12分)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角CPBA的余弦值.(1)
14、证明:由AB是圆的直径,得ACBC.由PA平面ABC,BC平面ABC,得PABC.又PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC平面PAC.因为BC平面PBC.所以平面PBC平面PAC.(2)解法一:过C作CMAP,则CM平面ABC.如图,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.因为AB=2,AC=1,所以BC=3.因为PA=1,所以A(0,1,0),B(3,0,0),P(0,1,1).故CB=(3,0,0),CP=(0,1,1).设平面BCP的法向量为n1=(x,y,z),则CBn1=0,CPn1=0,所以3x=0,y+z=0,不妨令y=1
15、,则n1=(0,1,-1).因为AP=(0,0,1),AB=(3,-1,0).设平面ABP的法向量为n2=(x,y,z),则APn2=0,ABn2=0,所以z=0,3x-y=0,不妨令x=1,则n2=(1,3,0),于是cos=322=64.所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为64.解法二:过C作CMAB于M,因为PA平面ABC,CM平面ABC,所以PACM,故CM平面PAB.过M作MNPB于N,连接NC,由三垂线定理得CNPB.所以CNM为二面角CPBA的平面角.在RtABC中,由AB=2,AC=1,得BC=3,CM=32,BM=32,在RtPAB中,由AB=2,PA=1,得PB=5.因为
16、RtBNMRtBAP,所以MN1=325,故MN=3510.又在RtCNM中,CN=305,故cosCNM=64.所以二面角CPBA的余弦值为64.19.(2013辽宁,理19)(本小题满分12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.解:(1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有A=“张同学所取的3道题都是甲类题”
17、.因为P(A)=C63C103=16,所以P(A)=1-P(A)=56.(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=C2035025215=4125;P(X=1)=C2135125115+C2035025245=28125;P(X=2)=C2235225015+C2135125145=57125;P(X=3)=C2235225045=36125.所以X的分布列为:X0123P4125281255712536125所以E(X)=04125+128125+257125+336125=2.20.(2013辽宁,理20)(本小题满分12分)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(
18、p0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-2时,切线MA的斜率为-12.(1)求p的值;(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y=x2,且切线MA的斜率为-12,所以A点坐标为-1,14,故切线MA的方程为y=-12(x+1)+14.因为点M(1-2,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=-12(2-2)+14=-3-224,y0=-(1-2)22p=-3-222p.由得p=2.(2)设N(x,y),A
19、x1,x124,Bx2,x224,x1x2,由N为线段AB中点知x=x1+x22,y=x12+x228.切线MA,MB的方程为y=x12(x-x1)+x124,y=x22(x-x2)+x224.由得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=x1+x22,y0=x1x24.因为点M(x0,y0)在C2上,即x02=-4y0,所以x1x2=-x12+x226.由得x2=43y,x0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=43y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=43y.21.(2013辽宁,理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=(1+x)e-2x,g(x)=a
20、x+x32+1+2xcos x.当x0,1时,(1)求证:1-xf(x)11+x;(2)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(1)证明:要证x0,1时,(1+x)e-2x1-x,只需证明(1+x)e-x(1-x)ex.记h(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex,则h(x)=x(ex-e-x),当x(0,1)时,h(x)0,因此h(x)在0,1上是增函数,故h(x)h(0)=0.所以f(x)1-x,x0,1.要证x0,1时,(1+x)e-2x11+x,只需证明exx+1.记K(x)=ex-x-1,则K(x)=ex-1,当x(0,1)时,K(x)0,因此K(x)在0,1上是增函数,故K
21、(x)K(0)=0.所以f(x)11+x,x0,1.综上,1-xf(x)11+x,x0,1.(2)解法一:f(x)-g(x)=(1+x)e-2x-ax+x32+1+2xcosx1-x-ax-1-x32-2xcos x=-x(a+1+x22+2cos x).设G(x)=x22+2cos x,则G(x)=x-2sin x.记H(x)=x-2sin x,则H(x)=1-2cos x,当x(0,1)时,H(x)0,于是G(x)在0,1上是减函数,从而当x(0,1)时,G(x)-3时,f(x)g(x)在0,1上不恒成立.f(x)-g(x)11+x-1-ax-x32-2xcos x=-x1+x-ax-x3
22、2-2xcos x=-x11+x+a+x22+2cosx,记I(x)=11+x+a+x22+2cos x=11+x+a+G(x),则I(x)=-1(1+x)2+G(x),当x(0,1)时,I(x)-3时,a+30,所以存在x0(0,1),使得I(x0)0,此时f(x0)0,于是G(x)在0,1上是增函数,因此当x(0,1)时,G(x)G(0)=0,从而F(x)在0,1上是增函数.因此F(x)F(0)=0,所以当x0,1时,1-12x2cos x.同理可证,当x0,1时,cos x1-14x2.综上,当x0,1时,1-12x2cos x1-14x2.因为当x0,1时,f(x)-g(x)=(1+x
23、)e-2x-ax+x32+1+2xcosx(1-x)-ax-x32-1-2x1-14x2=-(a+3)x.所以当a-3时,f(x)g(x)在0,1上恒成立.下面证明当a-3时,f(x)g(x)在0,1上不恒成立.因为f(x)-g(x)=(1+x)e-2x-ax+x32+1+2xcosx11+x-1-ax-x32-2x1-12x2=x21+x+x32-(a+3)x32xx-23(a+3),所以存在x0(0,1)(例如x0取a+33和12中的较小值)满足f(x0)1.(1)当a=2时,求不等式f(x)4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.解:(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=-2x+6,x2,2,2x4,2x-6,x4.当x2时,由f(x)4-|x-4|得-2x+64,解得x1;当2x4时,f(x)4-|x-4|无解;当x4时,由f(x)4-|x-4|得2x-64,解得x5;所以f(x)4-|x-4|的解集为x|x1或x5.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=-2a,x0,4x-2a,0xa,2a,xa.由|h(x)|2,解得a-12xa+12.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2,所以a-12=1,a+12=2,于是a=3.
