1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供文科考生使用)注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答案卡一并交回。第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2013辽宁,文1)已知集合A=0,1,2,3,4,B=x|x|2,则AB=
2、(). A.0B.0,1C.0,2D.0,1,2答案:B解析:|x|2,x(-2,2),即B=x|-2x0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列ann是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中的真命题为().A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4答案:D解析:如数列-2,-1,0,1,2,则1a1=2a2,排除p2,如数列1,2,3,则ann=1,排除p3,故选D.5.(2013辽宁,文5)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:20,40),40,60),60,80),80,100.
3、若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是().A.45B.50C.55D.60答案:B解析:根据频率分布直方图,低于60分的人所占频率为:(0.005+0.01)20=0.3,故该班的学生数为150.3=50,故选B.6.(2013辽宁,文6)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且ab,则B=().A.6B.3C.23D.56答案:A解析:根据正弦定理asin Bcos C+csin Bcos A=12b等价于sin Acos C+sin Ccos A=12,即sin(A+C)=12.又ab,所以A+C=56,所以B=
4、6.故选A.7.(2013辽宁,文7)已知函数f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,则f(lg 2)+flg12=().A.-1B.0C.1D.2答案:D解析:f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,f(-x)=ln(1+9x2+3x)+1,f(x)+f(-x)=ln 1+1+1=2,又lg12=-lg 2,f(lg 2)+flg12=2,故选D.8.(2013辽宁,文8)执行如图所示的程序框图,若输入n=8,则输出S=().A.49B.67C.89D.1011答案:A解析:当n=8时,输出的S=0+122-1+142-1+162-1+182-1=113+135+157+179=1211-1
5、3+13-15+15-17+17-19=49,故选A.9.(2013辽宁,文9)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若OAB为直角三角形,则必有().A.b=a3B.b=a3+1aC.(b-a3)b-a3-1a=0D.|b-a3|+b-a3-1a=0答案:C解析:若OBA为直角,则OBAB=0,即a2+(a3-b)a3=0,又a0,故b=a3+1a;若OAB为直角时,OAAB=0,即b(a3-b)=0,得b=a3;若AOB为直角,则不可能.所以b-a3-1a=0或b-a3=0,故选C.10.(2013辽宁,文10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB
6、=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为().A.3172B.210C.132D.310答案:C解析:过C,B分别作AB,AC的平行线交于点D,过C1,B1分别作A1B1,A1C1的平行线交于D1,连接DD1,则ABCD-A1B1C1D1恰为该球的内接长方体,故该球的半径r=32+42+1222=132,故选C.11.(2013辽宁,文11)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=45,则C的离心率为().A.35B.57C.45D.67答案:B解析:如图所示,根据余
7、弦定理,|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|BF|AB|cosABF,即|AF|=6,又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|BF|cosABF,即|OF|=5.又根据椭圆的对称性,|AF|+|BF|=2a=14,a=7,|OF|=5=c,所以离心率为57,故选B.12.(2013辽宁,文12)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=maxf(x),g(x),H2(x)=minf(x),g(x)(maxp,q表示p,q中的较大值,minp,q表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A
8、-B=().A.a2-2a-16B.a2+2a-16C.-16D.16答案:C解析:f(x)-g(x)=2x2-4ax+2a2-8=2x-(a-2)x-(a+2),H1(x)=f(x),x(-,a-2,g(x),x(a-2,a+2),f(x),xa+2,+),H2(x)=g(x),x(-,a-2,f(x),x(a-2,a+2),g(x),xa+2,+),可求得H1(x)的最小值A=f(a+2)=-4a-4,H2(x)的最大值B=g(a-2)=-4a+12,A-B=-16.故选C.第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题,考生根
9、据要求做答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。13.(2013辽宁,文13)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.答案:16-16解析:由几何体的三视图可得该几何体是一个底面半径为2的圆柱体,中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱,故体积为224-224=16-16.14.(2013辽宁,文14)已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.答案:63解析:x2-5x+4=0的两根为1和4,又数列递增,所以a1=1,a3=4,q=2.所以S6=1(1-26)1-2=63.15.(2013辽宁,文15)已知F为双曲线C:x29
10、-y216=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为.答案:44解析:如图所示,设双曲线右焦点为F1,则F1与A重合,坐标为(5,0),则|PF|=|PF1|+2a,|QF|=|QF1|+2a,所以|PF|+|QF|=|PQ|+4a=4b+4a=28,PQF周长为28+4b=44.16.(2013辽宁,文16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为.答案:10解析:设5个班级的人数分别为x1,
11、x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x55=7,(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)25=4,即5个整数平方和为20,最大的数比7大不能超过3,否则方差超过4,故最大值为10,最小值为4.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(2013辽宁,文17)(本小题满分12分)设向量a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x0,2.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=ab,求f(x)的最大值.解:(1)由|a|2=(3sin x)2+sin2x=4sin2x,|b|2=cos2x+s
12、in2x=1,及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x0,2,从而sin x=12.所以x=6.(2)f(x)=ab=3sin xcos x+sin2x=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-6+12.当x=30,2时,sin2x-6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.18.(2013辽宁,文18)(本小题满分12分)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为AOC的重心,求证:QG平面PBC.证明:(1)由AB是圆O的直径,得ACBC.由PA平面ABC,BC平面ABC,得PABC.又PAAC=
13、A,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC平面PAC.(2)连OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QMPC.又O为AB中点,得OMBC.因为QMMO=M,QM平面QMO,MO平面QMO,BCPC=C,BC平面PBC,PC平面PBC,所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO,所以QG平面PBC.19.(2013辽宁,文19)(本小题满分12分)现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求:(1)所取的2道题都是甲类题的概率;(2)所取的2道题不是同一类题的概率.解:(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4;
14、2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题,基本事件为:1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,共15个,而且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“都是甲类题”这一事件,则A包含的基本事件有1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,共6个,所以P(A)=615=25.(2)基本事件同(1),用B表示“不是同一类题”这一事件,则B包含的基本事件有1,5,1,6,2,5,2,6,3,5,3,6,4,5,4,6,共8个,所以P(B)=815.20.(2013辽宁,文20)(本小题满分12分)如图,抛物线C1:x2=4
15、y,C2:x2=-2py(p0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-2时,切线MA的斜率为-12.(1)求p的值;(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y=x2,且切线MA的斜率为-12,所以A点坐标为-1,14,故切线MA的方程为y=-12(x+1)+14.因为点M(1-2,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=-12(2-2)+14=-3-224,y0=-(1-2)22p=-3-222p.由得p=2
16、.(2)设N(x,y),Ax1,x124,Bx2,x224,x1x2,由N为线段AB中点知x=x1+x22,y=x12+x228.切线MA,MB的方程为y=x12(x-x1)+x124,y=x22(x-x2)+x224.由得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=x1+x22,y0=x1x24.因为点M(x0,y0)在C2上,即x02=-4y0,所以x1x2=-x12+x226.由得x2=43y,x0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=43y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=43y.21.(2013辽宁,文21)(本小题满分12分)(1)证明:当x0,1时
17、,22xsin xx;(2)若不等式ax+x2+x32+2(x+2)cos x4对x0,1恒成立,求实数a的取值范围.(1)证明:记F(x)=sin x-22x,则F(x)=cos x-22.当x0,4时,F(x)0,F(x)在0,4上是增函数;当x4,1时,F(x)0,所以当x0,1时,F(x)0,即sin x22x.记H(x)=sin x-x,则当x(0,1)时,H(x)=cos x-1-2时,不等式ax+x2+x32+2(x+2)cos x4对x0,1不恒成立.因为当x0,1时,ax+x2+x32+2(x+2)cos x-4=(a+2)x+x2+x32-4(x+2)sin2x2(a+2)
18、x+x2+x32-4(x+2)x22=(a+2)x-x2-x32(a+2)x-32x2=-32xx-23(a+2).所以存在x0(0,1)(例如x0取a+23和12中的较小值)满足ax0+x02+x032+2(x0+2)cos x0-40,即当a-2时,不等式ax+x2+x32+2(x+2)cos x-40对x0,1不恒成立.综上,实数a的取值范围是(-,-2.解法二:记f(x)=ax+x2+x32+2(x+2)cos x-4,则f(x)=a+2x+3x22+2cos x-2(x+2)sin x.记G(x)=f(x),则G(x)=2+3x-4sin x-2(x+2)cos x.当x(0,1)时
19、,cos x12,因此G(x)2+3x-422x-(x+2)=(2-22)x0.于是f(x)在0,1上是减函数,因此,当x(0,1)时,f(x)f(0)=a+2,故当a-2时,f(x)-2时,不等式ax+x2+x32+2(x+2)cos x4对x0,1不恒成立.由于f(x)在0,1上是减函数,且f(0)=a+20,f(1)=a+72+2cos 1-6sin 1.当a6sin 1-2cos 1-72时,f(1)0,所以当x(0,1)时,f(x)0,因此f(x)在0,1上是增函数,故f(1)f(0)=0;当-2a6sin 1-2cos 1-72时,f(1)0,故存在x0(0,1)使f(x0)=0,
20、则当0xf(x0)=0.所以f(x)在0,x0上是增函数,所以当x(0,x0)时,f(x)f(0)=0.所以,当a-2时,不等式ax+x2+x32+2(x+2)cos x4对x0,1不恒成立.综上,实数a的取值范围是(-,-2.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22.(2013辽宁,文22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB为O直径,直线CD与O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.证明:(1)FEB=CEB;(2)EF2=ADB
21、C.证明:(1)由直线CD与O相切,得CEB=EAB.由AB为O的直径,得AEEB,从而 EAB+EBF=2;又EFAB,得FEB+EBF=2,从而FEB=EAB.故FEB=CEB.(2)由BCCE,EFAB,FEB=CEB,BE是公共边,得RtBCERtBFE,所以BC=BF.类似可证:RtADERtAFE,得AD=AF.又在RtAEB中,EFAB,故EF2=AFBF,所以EF2=ADBC.23.(2013辽宁,文23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为=4sin ,cos-4=2
22、2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为x=t3+a,y=b2t3+1(tR为参数),求a,b的值.解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解x2+(y-2)2=4,x+y-4=0得x1=0,y1=4,x2=2,y2=2.所以C1与C2交点的极坐标为4,2,22,4.注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=b2x-ab2+1.所以b2=1,-ab2
23、+1=2,解得a=-1,b=2.24.(2013辽宁,文24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-a|,其中a1.(1)当a=2时,求不等式f(x)4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.解:(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=-2x+6,x2,2,2x4,2x-6,x4.当x2时,由f(x)4-|x-4|得-2x+64,解得x1;当2x4时,f(x)4-|x-4|无解;当x4时,由f(x)4-|x-4|得2x-64,解得x5;所以f(x)4-|x-4|的解集为x|x1或x5.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=-2a,x0,4x-2a,0xa,2a,xa.由|h(x)|2,解得a-12xa+12.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2,所以a-12=1,a+12=2,于是a=3.
