1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文科)本试题卷共5页,22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束
2、后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013湖北,文1)已知全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,2,B=2,3,4,则BUA=(). A.2B.3,4C.1,4,5D.2,3,4,5答案:B解析:UA=3,4,5,B=2,3,4,故BUA=3,4.故选B.2.(2013湖北,文2)已知00)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是().A.12B.6C.3D.56答案:B解析:y=3cos x+sin x=2sinx+3的图象向左平移m个单位长度后得y=2sinx+m+
3、3的图象.又平移后的图象关于y轴对称,即y=2sinx+m+3为偶函数,根据诱导公式m的最小正值为6,故选B.7.(2013湖北,文7)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为().A.322B.3152C.-322D.-3152答案:A解析:因为AB=(2,1),CD=(5,5),所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos=|AB|ABCD|AB|CD|=ABCD|CD|=(2,1)(5,5)52+52=322.故选A.8.(2013湖北,文8)x为实数,x表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-x在R上为().A.奇函数B.
4、偶函数C.增函数D.周期函数答案:D解析:由题意f(1.1)=1.1-1.1=0.1,f(-1.1)=-1.1-1.1=-1.1-(-2)=0.9,故该函数不是奇函数,也不是偶函数,更不是增函数.又对任意整数a,有f(a+x)=a+x-a+x=x-x=f(x),故f(x)在R上为周期函数.故选D.9.(2013湖北,文9)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为().A.31 200元B.36 000元C.36 800元D
5、.38 400元答案:C解析:设需A,B型车分别为x,y辆(x,yN),则x,y需满足36x+60y900,y-x7,xN,yN,设租金为z,则z=1 600x+2 400y,画出可行域如图,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z最小等于36 800,故选C.10.(2013湖北,文10)已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是().A.(-,0)B.0,12C.(0,1)D.(0,+)答案:B解析:f(x)=ln x-ax+x1x-a=ln x-2ax+1,函数f(x)有两个极值点,即ln x-2ax+1=0有两个不同的根(在正实数集上
6、),即函数g(x)=lnx+1x与函数y=2a在(0,+)上有两个不同交点.因为g(x)=-lnxx2,所以g(x)在(0,1)上递增,在(1,+)上递减,所以g(x)max=g(1)=1,如图.若g(x)与y=2a有两个不同交点,须02a1.即0a12,故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(2013湖北,文11)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=.答案:-2+3i解析:z1在复平面上的对应点为(2,-3),关于原点的对称点为(-2,3),
7、故z2=-2+3i.12.(2013湖北,文12)某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为;(2)命中环数的标准差为.答案:(1)7(2)2解析:平均数为7+8+7+9+5+4+9+10+7+410=7,标准差为(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)210=2.13.(2013湖北,文13)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入m的值为2,则输出的结果i=.答案:4解析:由程序框图,i=1后:A=12,B=11,AB?
8、否;i=2后:A=22,B=12,AB?否;i=3后:A=42,B=23,AB?否;i=4后:A=82,B=64,AB?是,输出i=4.14.(2013湖北,文14)已知圆O:x2+y2=5,直线l:xcos +ysin =102,故圆上有4个点到该直线的距离为1.15.(2013湖北,文15)在区间-2,4上随机地取一个数x,若x满足|x|m的概率为56,则m=.答案:3解析:由题意-2,4的区间长度为6,而满足条件的x取值范围的区间长度为5,故m取3,x-2,3.16.(2013湖北,文16)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径
9、为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是寸.(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)答案:3解析:由题意盆内所盛水的上底面直径为28+122=20(寸),下底面半径为6寸,高为9寸,故体积为V=139(102+62+106)=588,而盆上口面积为142=196,故平地降雨量为588196=3(寸).17.(2013湖北,文17)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中ABC
10、是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=(用数值作答).答案:(1)3,1,6(2)79解析:由图形可得四边形DEFG对应的S,N,L分别是3,1,6.再取两相邻正方形可计算S,N,L的值为2,0,6.加上已知S=1时N=0,L=4,代入S=aN+bL+c可计算求出a=1,b=12,c=-1,故当N=71,L=18时,S=71+1218-1=79.三、解答题:本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
11、步骤.18.(2013湖北,文18)(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面积S=53,b=5,求sin Bsin C的值.解:(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=12或cos A=-2(舍去).因为0A0,上式不成立;当n为奇数时,(-2)n=-2n-2 012,即2n2 012,则n11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为n|n=2k+1,kN,k5.20
12、.(2013湖北,文20)(本小题满分13分)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1d2d3.过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中.(1)证明:中截面DEFG是梯形;(2)在ABC中,记BC=a,BC边上的高为h,面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B
13、2C2的体积V)时,可用近似公式V估=S中h来估算.已知V=13(d1+d2+d3)S,试判断V估与V的大小关系,并加以证明.(1)证明:依题意,A1A2平面ABC,B1B2平面ABC,C1C2平面ABC,所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1d2d3.因此四边形A1A2B2B1,A1A2C2C1均是梯形.由AA2平面MEFN,AA2平面AA2B2B,且平面AA2B2B平面MEFN=ME,可得AA2ME,即A1A2DE.同理可证A1A2FG,所以DEFG.又M,N分别为AB,AC的中点,则D,E,F,G分别为A1B1,A2B2,A2C2,A1C1
14、的中点,即DE,FG分别为梯形A1A2B2B1,A1A2C2C1的中位线.因此DE=12(A1A2+B1B2)=12(d1+d2),FG=12(A1A2+C1C2)=12(d1+d3),而d1d2d3,故DEFG,所以中截面DEFG是梯形.(2)解:V估V.证明如下:由A1A2平面ABC,MN平面ABC,可得A1A2MN.而EMA1A2,所以EMMN,同理可得FNMN.由MN是ABC的中位线,可得MN=12BC=12a即为梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG=12d1+d22+d1+d32a2=a8(2d1+d2+d3),即V估=S中h=ah8(2d1+d2+d3).又S=12ah,所以
15、V=13(d1+d2+d3)S=ah6(d1+d2+d3).于是V-V估=ah6(d1+d2+d3)-ah8(2d1+d2+d3)=ah24(d2-d1)+(d3-d1).由d1d20,d3-d10,故V估0,b0,已知函数f(x)=ax+bx+1.(1)当ab时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当x0时,称f(x)为a,b关于x的加权平均数.判断f(1),fba,fba是否成等比数列,并证明fbafba;a,b的几何平均数记为G.称2aba+b为a,b的调和平均数,记为H.若Hf(x)G,求x的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(-,-1)(-1,+),f(x)=a(x+1)-(ax+b
16、)(x+1)2=a-b(x+1)2.当ab时,f(x)0,函数f(x)在(-,-1),(-1,+)上单调递增;当ab时,f(x)0,fba=2aba+b0,fba=ab0,故f(1)fba=a+b22aba+b=ab=fba2,即f(1)fba=fba2,(*)所以f(1),fba,fba成等比数列.因a+b2ab,即f(1)fab,由(*)得fbaba.由知fba=H,fba=G.故由Hf(x)G,得fbaf(x)fba.(*)当a=b时,fba=f(x)=fba=a.这时,x的取值范围为(0,+);当ab时,0ba1,从而baba,由f(x)在(0,+)上单调递增与(*)式,得baxba,
17、即x的取值范围为ba,ba;当a1,从而baba,由f(x)在(0,+)上单调递减与(*)式,得baxba,即x的取值范围为ba,ba.22.(2013湖北,文22)(本小题满分14分)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(mn),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D,记=mn,BDM和ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l与y轴重合时,若S1=S2,求的值;(2)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1= S2?并说明理由.解:依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为C1:x2
18、a2+y2m2=1,C2:x2a2+y2n2=1.其中amn0,=mn1.(1)解法1:如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则S1=12|BD|OM|=12a|BD|,S2=12|AB|ON|=12a|AB|,所以S1S2=|BD|AB|.在C1和C2的方程中分别令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,于是|BD|AB|=|yB-yD|yA-yB|=m+nm-n=+1-1.若S1S2=,则+1-1=,化简得2-2-1=0.由1,可解得=2+1.故当直线l与y轴重合时,若S1=S2,则=2+1.图1解法2:如图1,若直线l与y轴重合,则|BD|=|OB|+|OD|=m+n,
19、|AB|=|OA|-|OB|=m-n;S1=12|BD|OM|=12a|BD|,S2=12|AB|ON|=12a|AB|.所以S1S2=|BD|AB|=m+nm-n=+1-1.若S1S2=,则+1-1=,化简得2-2-1=0.由1,可解得=2+1.故当直线l与y轴重合时,若S1=S2,则=2+1.(2)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=S2.图2根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则因为d1=|-ak-0|1+k2=ak1+k2,d2=|ak-0|1+k2=ak1+k2,所以d1=d2.又S1=12|B
20、D|d1,S2=12|AB|d2,所以S1S2=|BD|AB|=,即|BD|=|AB|.由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(-1)|AB|,|AD|=|BD|+|AB|=(+1)|AB|,于是|AD|BC|=+1-1.将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得xA=ama2k2+m2,xB=ana2k2+n2.根据对称性可知xC=-xB,xD=-xA,于是|AD|BC|=1+k2|xA-xD|1+k2|xB-xC|=2xA2xB=mna2k2+n2a2k2+m2.从而由和式可得a2k2+n2a2k2+m2=+1(-1).令t=+1(-1),则由mn,可得t1,
21、于是由可解得k2=n2(2t2-1)a2(1-t2).因为k0,所以k20.于是式关于k有解,当且仅当n2(2t2-1)a2(1-t2)0,等价于(t2-1)t2-121,可解得1t1,即1+1(-1)1,解得1+2,所以当11+2时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=S2.解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=S2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则因为d1=|-ak-0|1+k2=ak1+k2,d2=|ak-0|1+k2=ak1+k2,所以d1=d2.又S1=12|BD|d1,S2=12|AB|d
22、2,所以S1S2=|BD|AB|=.因为|BD|AB|=1+k2|xB-xD|1+k2|xA-xB|=xA+xBxA-xB=,所以xAxB=+1-1.由点A(xA,kxA),B(xB,kxB)分别在C1,C2上,可得xA2a2+k2xA2m2=1,xB2a2+k2xB2n2=1,两式相减可得xA2-xB2a2+k2(xA2-2xB2)m2=0,依题意xAxB0,所以xA2xB2.所以由上式解得k2=m2(xA2-xB2)a2(2xB2-xA2).因为k20,所以由m2(xA2-xB2)a2(2xB2-xA2)0,可解得1xAxB.从而1+1-11+2,所以当11+2时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=S2.
