1、大学物理学 第第4 4章章 动量和角动量动量和角动量本章主要内容：本章主要内容：1、了解动量、角动量的概念、了解动量、角动量的概念2、掌握动量及角动量定理的内容与应用、掌握动量及角动量定理的内容与应用3、掌握动量守恒和角动量守恒定律、掌握动量守恒和角动量守恒定律 4、碰撞碰撞定义定义 1、瞬时性、瞬时性 2、矢量性、矢量性 3、相对性、相对性zzyyxxmvpmvpmvp 1、质点的动量、质点的动量在直角坐标系中：在直角坐标系中：vmp=在国际单位制（在国际单位制（SI）千克千克米米/秒（秒（kgm/s）4.1 动量定理动量定理2、质点系的动量、质点系的动量nn221vmvmvmpppp1n2
2、1 nnvvvmmm,.,.,2121的的质质点点，速速度度分分别别为为设设niiiiivmpp1一、动一、动 量量讨论讨论二、质点的动量定理二、质点的动量定理由牛顿第二定律由牛顿第二定律tpFdd tFd表示力的时间累积，叫时间表示力的时间累积，叫时间d t 内内合外力合外力 的冲量的冲量。FtFIdd 1）微分形式：）微分形式：2）积分形式：）积分形式：21dtttFI若为恒力：若为恒力：tFI 1、冲量冲量2、动量定理动量定理ptFdd 1）微分形式：微分形式：ptFdd 2）积分形式：积分形式：2121ppttptFdd对上式积分，对上式积分，在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点
3、动量的增量。在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。ptFtt 21d 动量定理的积分式动量定理的积分式即：即：1、反映了过程量与状态量的关系。、反映了过程量与状态量的关系。同向。同向。与与、pI 23、只适用于惯性系。、只适用于惯性系。3、动量定理分量形式、动量定理分量形式xxttxxpptFI1221d yyttyypptFI1221d zzttzzpptFI1221d 系统所受合外力的冲系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分于系统动量在该方向上分量的增量。量的增量。在直角坐标系中，动量定理的在直角坐标系中，动量定理的分量式分量式
4、为为 说明说明1)冲力冲力:碰撞过程中物体间相互作用碰撞过程中物体间相互作用时间极短时间极短，相互作用，相互作用力力 很大很大，而且往往，而且往往随时间变化随时间变化，这种力通常称为，这种力通常称为冲力冲力。tptpptttFFtt 121221d若冲力很大若冲力很大,其它外力可忽略时其它外力可忽略时,则：则：若其它外力不可忽略时若其它外力不可忽略时,则则 是合外力的平均。是合外力的平均。F2)平均冲力平均冲力:冲力对碰撞时间的平均值。冲力对碰撞时间的平均值。即：即：tpF 4、动量定理的应用、动量定理的应用 1t2toFtF 三、质点系的动力学方程质点系的动力学方程由两个质点组成的质点系：由
5、两个质点组成的质点系：tppFFd)d(2121 N 个质点组成的质点系：个质点组成的质点系：NiNiiptF1i1ddtpfFmdd:1111 tpfFmdd:2222 021 ff即即质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。质点系的动力学方程质点系的动力学方程tpFdd 内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量的改内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量的改变无贡献。变无贡献。1f2F1F2m1m2f说明说明1、微分形式：、微分形式：ptFdd 动量定理的微分式动量定理的微分式 在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于系统在在一个过程中，系统所受合
6、外力的冲量等于系统在同一时间内动量的增量。同一时间内动量的增量。2、积分形式：积分形式：2121ddppttptF由由 得：得：tpFdd 对上式积分，对上式积分，ptFItt 21d动量定理的积分式动量定理的积分式四、质点系的动量定理四、质点系的动量定理3、动量定理分量形式动量定理分量形式xxttxxpptFI1221d yyttyypptFI1221d zzttzzpptFI1221d 在直角坐标系中，动量定理的分量式为在直角坐标系中，动量定理的分量式为 22dtttFI 系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量
7、。量在该方向上分量的增量。例题例题4-1 人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。撞击力。若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？解解 设人的质量为设人的质量为M，从高，从高h 处跳向地面，落地的速率为处跳向地面，落地的速率为v0，与地面碰撞的时间为，与地面碰撞的时间为t，重心下移了重心下移了s 。由由动量定理动量定理得得：tpptttFFtt121221d设人落地后作设人落地后作匀减速运动匀减速运动到静止，则：到静止，则：02vst sMvF220 ghv220 shMgF 设人从
8、设人从 2m 处跳下，重心下移处跳下，重心下移 1cm，则：，则：MgshMgF200 可能发生骨折。可能发生骨折。讨论讨论tMvF0asvv,atvv22020设人设人的体重为的体重为70 kg70 kg，此时平均冲力，此时平均冲力：(N)1037.12008.9705 FvFmmd 解解 选取车厢和车厢里的煤选取车厢和车厢里的煤 m 和即将落和即将落 入车厢的煤入车厢的煤 d m 为研究对象。为研究对象。取水平向右为正。取水平向右为正。t 时刻系统的水平总动量：时刻系统的水平总动量：mvmmv 0dt+dt 时刻系统的水平总动量时刻系统的水平总动量:vmmmvmv)d(d dt 时间内水平
9、总动量的增量：时间内水平总动量的增量：mvmvvmmpd)d(d 由动量定理得：由动量定理得：mvptFddd )N(15003500dd vtmF 例题例题4-2 一辆装煤车以一辆装煤车以v=3m/s 的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为m=500 kg。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？（摩擦忽略不计（摩擦忽略不计)4.2 动量守恒定律动量守恒定律知，知，由由tpFdd 时时当当0 F0dd tp动量守恒定律动量守恒定律,0 iF2、有以下几种情况：有以下几种情况：不受外力。不受外
10、力。C p则：则：C11 iNiiNiivmp即即系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。外力矢量和为零。外力矢量和为零。1、并不意味着每个质点的动量是不变的。并不意味着每个质点的动量是不变的。CpF 时时，0注意注意3、各速度应是相对同一惯性参考系各速度应是相对同一惯性参考系。4、动量守恒定律比牛顿运动定律更基本，应用更广泛。、动量守恒定律比牛顿运动定律更基本，应用更广泛。常常量量 xxpF0常量常量 yypF0常常量量 zzpF0 内力内力 外力。外力。内力使系统内质点交换动量，但不影响系统总动量。内力使系统内质点交换动量，但不影响系统总动量
11、。若系统所受的合外力虽然不为零若系统所受的合外力虽然不为零,但合外力在某一但合外力在某一 方向的分量为零方向的分量为零,则系统在该方向上动量守恒。即：则系统在该方向上动量守恒。即：例题例题4-3 质量为质量为m1，仰角为，仰角为 的炮车发射了一枚质量为的炮车发射了一枚质量为m2 的的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u，不计摩擦不计摩擦。求求 1）炮弹出口时炮车的速率）炮弹出口时炮车的速率v1 。2）发射炮弹过程中，炮车移动的距离）发射炮弹过程中，炮车移动的距离(炮身长为炮身长为L )。解解 1）选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，选坐标系如图。）选炮车和炮弹为系统
12、，地面为参考系，选坐标系如图。gm2Lu由由x 方向的动量守恒可得：方向的动量守恒可得：02211 xvmvm由相对速度：由相对速度：12vuv 得：得：12cosvuvx 0)cos(1211 vumvm gm1N水平方向不受外力，系统总动量沿水平方向不受外力，系统总动量沿 x 分量守恒。分量守恒。设炮弹相对地面的速度为设炮弹相对地面的速度为v2 。yxO车车 对对 地地弹弹 对对 车车弹弹 对对 地地vuv 解得：解得：cos2121ummmv “”号表示炮车反冲速度与号表示炮车反冲速度与x 轴正向相反。轴正向相反。2）若以）若以u(t)表示炮弹在发射过程中任一时刻，炮弹相对炮表示炮弹在发
13、射过程中任一时刻，炮弹相对炮 车的速率，则此时炮车相对地面的速率车的速率，则此时炮车相对地面的速率 cos)()(2121tummmtv 设炮弹经设炮弹经 t 秒出口，在秒出口，在 t 秒内炮车沿水平方向移动了：秒内炮车沿水平方向移动了：ttttummmttvS021201d)(cosd)(cos212LmmmS 例题例题4-4 光滑水平面与半径为光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块A,B的质量均的质量均为为m,弹簧的倔强系数为弹簧的倔强系数为k，其一端固定在，其一端固定在O点，另一端与滑块点，另一端与滑块A接触，开始时滑块接触，开始时滑块B静止
14、于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块A,使弹簧压缩一段距离使弹簧压缩一段距离x后再释放，滑块后再释放，滑块A脱离弹簧后与脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞，碰后作完全弹性碰撞，碰后B将沿半圆环轨道上升，升到将沿半圆环轨道上升，升到C点与轨道脱点与轨道脱离，离，OC与竖直方向成与竖直方向成60，求弹簧被压缩的距离，求弹簧被压缩的距离x.OOABC x解：解：设滑块设滑块A离开弹簧时速度为离开弹簧时速度为v,在弹簧在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒恢复原形的过程中机械能守恒222121mvkx A脱离弹簧后速度不变，与脱离弹簧后速度不变，与B作完全弹性碰撞，交换速度，作
15、完全弹性碰撞，交换速度，A静止，静止，B以初速以初速v沿圆环轨道上升。沿圆环轨道上升。B在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒2221121)cos(mvmgRmv当滑块当滑块B B沿半圆环轨道上升到沿半圆环轨道上升到C C点时，满足点时，满足 Rmvmg2cos联立求解可得联立求解可得 kmgRx27 OOABC x 例题例题4-5 两个带理想弹簧缓冲器的小车两个带理想弹簧缓冲器的小车A 和和 B，质量分别为，质量分别为m1、m2，B不动，不动，A 以速度以速度 与与B 碰撞，已知两车的的倔强系数分别为碰撞，已知两车的的倔强系数分别为k1、k
16、2，在不计摩擦的情况下，求，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其间的作用力为多少？两车相对静止时，其间的作用力为多少？0vA1m0vB2m2k1k解解 以两小车为研究对象。以两小车为研究对象。其碰撞过程中，系统的机械能守恒；其碰撞过程中，系统的机械能守恒；动量守恒。动量守恒。vmmvm)(2101 2222112212012121)(2121xkxkvmmvm 由牛顿第三定律：由牛顿第三定律：2211xkxk 2112kxkx 联立上式：联立上式：)(2121122101kkmmkkmmvx )(21212121011kkmmkkmmvxkF 例题补充例题补充 质量为质量为M 的木块在光滑
17、的固定斜面上由的木块在光滑的固定斜面上由 A 点静点静止下滑，经路程止下滑，经路程 l 到到 B 点时，木块被一水平射来的子弹击中点时，木块被一水平射来的子弹击中子弹（子弹（m、v）射入木块中，求射中后二者的共同速度。）射入木块中，求射中后二者的共同速度。解解 分为两个阶段：分为两个阶段：第一阶段：从第一阶段：从 A 运动到运动到 B，匀加速运动：，匀加速运动：sin2glvB)sin,2(202 gaalvvt 第二阶段：碰撞阶段第二阶段：碰撞阶段取木块与子弹组成的系统为研究对象，沿斜面方向，取木块与子弹组成的系统为研究对象，沿斜面方向，内力内力 外力，可用动量守恒定律求近似解。外力，可用动
18、量守恒定律求近似解。0ixiixivmvmVmMMvmvB)(cos 可解得：可解得：mMglMmvV sin2cosgmAB lv xgMN4.3 质心质心 质心运动定理质心运动定理一、质心一、质心N 个质点组成的系统个质点组成的系统 Njimmmm.1、位矢分别为位矢分别为 Njirrrr.1、NNNcmmmrmrmrmr .212211定义：质点系质心的位矢定义：质点系质心的位矢即即对质量连续分布的质点系对质量连续分布的质点系 Mmrrc dx1mzy Nmjmim OirMrmmrmriiNiiiNiic 11MmzzMmyyMmxxccc d,d,d在直角坐标系中：在直角坐标系中：1
19、）几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。）几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。2）有些物体的质心可能不在所求的物体上。）有些物体的质心可能不在所求的物体上。三、质心运动定理三、质心运动定理由质心位矢由质心位矢Mrmriic对对 t 求导，得：求导，得：MvmMtrmtrviiiicc dddd iivmpccvMpp 质心的动量质心的动量等于质点系的总动量等于质点系的总动量 注意注意由两个质点组成的质点系由两个质点组成的质点系2121111dd:trmfFm 2222222dd:trmfFm 021 ffN 个质点组成的质点系：个质点组成的质点系：22ddtrmFiii222
20、2212121ddddtrmtrmFF )(dd22 iirmtMrmtMii)(dd22 质心运动定理质心运动定理caMF FFi 22ddtrMc 1f2F1F2m1m2f上一张幻灯片 例题例题4-6 一长为一长为L，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度 ,为常量，为常量，x 从轻端算起，求其质心。从轻端算起，求其质心。Lx0 0 解解 取细杆的左端为坐标原点，在取细杆的左端为坐标原点，在距离坐标原点为距离坐标原点为 x 处取微元处取微元 d x。xLxxmddd0 LxLxmML00021dd LMxLxMmxxLc32dd002 oxmdx 例题补充例
21、题补充 如图所示，浮吊的质量如图所示，浮吊的质量M=20 t，从岸上吊起从岸上吊起m=2 t的重物后，再将的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角吊杆与竖直方向的夹角由由600转到转到300，设杆长，设杆长l=8 m，水的阻力与杆重略而不计，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移动的距离。求浮吊在水平方向上移动的距离。取质心为坐标原点。设取质心为坐标原点。设 在由在由600 转到转到300 时，吊车在时，吊车在水平方向上移动的距离为水平方向上移动的距离为x1，重物移动的距离为重物移动的距离为x2。解解 取吊车和重物组成的系统为研究对象。由于系取吊车和重物组成的系统为研究对象。由于系统所受的合外
22、力为零，质点系的质心保持原来的静止位统所受的合外力为零，质点系的质心保持原来的静止位置不动。置不动。ObamM cxl0600 mMmbMaxC在在=60 0 时时0 mbMa060sinlba 0)(12 xxmmbMa02130sin)(lxxba m266.0)30sin60(sin001 mMmlx在在=30 0 时：时：0)()(21 mMxbmxaMxC0)(12 xxmObamMcxl0302x1x0604.4 角动量定理角动量定理 sinmvrL 大小：大小：方向：由方向：由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。SI 中中：kgm 2/s质点的角动量与质点的角动量与参考点的选择参
23、考点的选择有关。有关。定义定义:r质量为质量为m的质点以速度在空间运动，某时刻对的质点以速度在空间运动，某时刻对O 点的位矢为点的位矢为 ，则，则它它对对O 点的角动量点的角动量(动量矩动量矩)为为：vrxyzom vvrL一、角动量一、角动量vmrprL1）矢量性矢量性2）相对性）相对性 原点原点O 选取的不同，则位置矢量不同，角动选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。量也不同。1、质点角动量、质点角动量yzxzPyPLzxyxPzPLzyxPPPzyxkjiPrLxyzyPxPL 3）的直角坐标系中的的直角坐标系中的分量式分量式L4）两个特例）两个特例做圆周运动质点做圆周运动质点 m
24、对圆心对圆心O 的角动量的角动量vmrL 2rmmvrL 大大小小：rvOmzL方向：方向：与与 同向，垂直于转动平面，同向，垂直于转动平面，与质点转动绕向成与质点转动绕向成右手螺旋关系。右手螺旋关系。L L做做匀速率圆周运动匀速率圆周运动的质点的质点对圆心的角动量是恒量。对圆心的角动量是恒量。做直线运动质点的角动量做直线运动质点的角动量 质量为质量为m 的质点作直线运动。的质点作直线运动。vmrprL 大小：大小：sinmvrL 方向：由右手螺旋定则确定。方向：由右手螺旋定则确定。t时刻质点对时刻质点对O点的角动量为：点的角动量为：vmrprL 大小：大小：2 sinrvmL 方向：与方向：
25、与 同向。同向。L1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则则。CL 2）若）若O 取在直线上，则：取在直线上，则：。0 L sinrt 时刻质点对时刻质点对O点的角动量为：点的角动量为：mpr2 ormp sinrvm 讨论讨论2、质点系的角动量、质点系的角动量 iLL)(iipr质点系的角动量等于质点系的角动量等于各质点对同一参考点的角动量的矢量和。各质点对同一参考点的角动量的矢量和。iiiprL 二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理1、力矩、力矩FdFrM sin1）大小：）大小：，d 为力臂。为力臂。方向：由方向：由右手螺旋定则右手螺旋定则确定
26、。确定。质量为质量为 m 的质点在力的质点在力 的作用下作曲线运的作用下作曲线运动。力动。力 对参考点对参考点O 的力矩的力矩 为为:FFMFrMSI 中中：NmOr MF sinr2）在直角坐标系中）在直角坐标系中yzxzFyFM zxyxFzFM xyzyFxFM 3）相对性：依赖于参考点）相对性：依赖于参考点O 的选择。的选择。zyxFFFzyxkjiFr niFrFrFrM 214）作用于质点的）作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩。合外力矩等于合外力的力矩。MFrFFFrn 合合)(212、质点的角动量定理、质点的角动量定理prL 将角动量将角动量 对时间求导，可得：对时间求导，可得
27、：tPrPtrdddd FrPv )(ddddPrttLtLFrMdd 质点的角动量定理质点的角动量定理质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。FrtL dd0 pv微分形式微分形式LtMdd 积分形式积分形式 2121ddttLLtML 21dtttML角动量定理角动量定理质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。21tttM d 表示作用于质点上的力矩在（表示作用于质点上的力矩在（t 2t 1）内的内的时间积累效应，称为力矩的时间积累效应，称为力矩的角冲量角冲量或或冲量矩。冲量矩。例题例题4-8 质量为质
28、量为m、线长为线长为l 的单摆，可绕点的单摆，可绕点O 在竖直平面在竖直平面内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求:摆线摆线与水平线成与水平线成角时，摆球所受到的力矩及摆球对点角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O 的角动量；的角动量；摆球到达点摆球到达点 B 时，角速度的大小。时，角速度的大小。解解 任意位置时受力为：重力；张力。任意位置时受力为：重力；张力。由由角动量定理角动量定理 cosddmglMtL tLtLdddddd 瞬时角动量瞬时角动量：gm重力对重力对O 点的力矩：点的力矩：cosmglM 方向：方向：张力对张力对O 点的
29、力矩为零。点的力矩为零。ddL 2mlLL dd 2lmmvlL o lmBATr sin232glmL 。点点时时，当当小小球球到到达达2/B cosdddd2mglmlLLtL lgmlL22 glmlglmL2sin232 olBA dcosd32glmLL dcosd3200glmLLL 三、质点系的角动量定理三、质点系的角动量定理 )(ddddiiprttL )dddd(tprptriiii )()(iiiifrFr )(iiifFr质点系所受的合外力矩质点系所受的合外力矩 质点系所受的合内力矩质点系所受的合内力矩 质点系角动量质点系角动量的时间变化率的时间变化率 微分形式微分形式L
30、tMdd 质点系所受的质点系所受的合外力矩合外力矩等于系统角动量对等于系统角动量对时间变化率时间变化率。tLMdd 积分形式积分形式LtMtt21d 质点系角动量的增量等于系统合质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。外力矩的角冲量。tL/dd 只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关，内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的关，内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的总角动量。总角动量。说明说明ijifrM 作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。0 MMOijfirjifd j
31、r )(ddiiFrtL)(iiFrM令令 设第设第 i 个质点与第个质点与第 j 个质点之间的相个质点之间的相互作用力分别为：互作用力分别为：jiijff和和 两质点相对参考点两质点相对参考点的位置矢量分别的位置矢量分别为：为：jirr和和jijfrM 则两个力对参考点的力矩为则两个力对参考点的力矩为dfMij 大小：大小：dfdfMijij 大小：大小：方向：方向：方向：方向：4.5 角动量守恒定律角动量守恒定律一、一、质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若质点所受的合力矩若质点所受的合力矩。，则则CLtL,M0dd0 若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则若对某一参考点，质
32、点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变。此质点对该参考点的角动量保持不变。质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。1、孤立体，、孤立体，。外外外外0,0 iiMf2、有心力，、有心力，与位矢与位矢 在同一直线上，从而在同一直线上，从而 。外外fr0 外外fr3、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时，、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时，则质点的角动量沿此方向的分量守恒。则质点的角动量沿此方向的分量守恒。则则例：若例：若CLMxx ,0讨论讨论 rr|
33、rr|S 21|rr|S 21 解解 如图，行星在太阳引力作如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，用下沿椭圆轨道运动，t时间内行时间内行星径矢扫过的面积星径矢扫过的面积常常量量常常量量，tSLdd由于行星只受由于行星只受有心力作用有心力作用，其，其角动量守恒角动量守恒sin21rrS 例题例题4-9 利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积时间内扫过的面积(面积速度面积速度)是常量。是常量。|trr|t|rr|tStdd2121limlimddS0t0t 面积速度面积速度:mL|vmr|m|
34、vr|22121 例题补充例题补充 用绳系一小球使它在光滑的水平面上作用绳系一小球使它在光滑的水平面上作匀速率匀速率圆圆周运动，周运动，其半径为其半径为r0，角速度为，角速度为 。现通过圆心处的小孔缓慢。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r 时小球的角速度。时小球的角速度。0 解解 选取平面上绳穿过的小孔选取平面上绳穿过的小孔O为原点。为原点。0=FrM所以小球对所以小球对O 点的点的角动量守恒角动量守恒。00rmvmvr 000 rvrv 0202 mrmr 0220 rr 因为绳对小球的的拉力因为绳对小球的的拉力 沿绳指向小孔
35、，则力沿绳指向小孔，则力 对对O 点的点的力矩力矩：CLM 时时，0二、质点系的角动量守恒定律二、质点系的角动量守恒定律 角动量守恒定律角动量守恒定律 质点系不受外力矩作用或所受外力矩对某参考点的力矩质点系不受外力矩作用或所受外力矩对某参考点的力矩之和为零时，质点系对该点的角动量守恒。之和为零时，质点系对该点的角动量守恒。1）质点系中各质点不受外力。）质点系中各质点不受外力。合外力矩等于零可以分三种情况：合外力矩等于零可以分三种情况：2）质点系中各质点受的外力都通过参考点。各质点受的外力对参考点的力矩）质点系中各质点受的外力都通过参考点。各质点受的外力对参考点的力矩都为零，合外力矩必定等于零。
36、都为零，合外力矩必定等于零。3）各质点受的外力对参考点的力矩不为零，但它们的矢量和为零。）各质点受的外力对参考点的力矩不为零，但它们的矢量和为零。合外力为零不一定合外力矩等于零！合外力为零不一定合外力矩等于零！说明说明 例题例题 质量为质量为M，长为长为l 的均匀细杆，可绕垂直于棒一端点的的均匀细杆，可绕垂直于棒一端点的 轴轴O 无摩擦地转动。若细杆竖直悬挂，现有一质量为无摩擦地转动。若细杆竖直悬挂，现有一质量为m 的弹性的弹性小球飞来，与细杆碰撞，问小球与细杆相碰过程中，球与杆小球飞来，与细杆碰撞，问小球与细杆相碰过程中，球与杆 组组成的系统的动量是否守恒？对于过成的系统的动量是否守恒？对于
37、过 O点的轴的角动量是否守恒？点的轴的角动量是否守恒？F合外力不为零，则系统的动量不守恒。合外力不为零，则系统的动量不守恒。合外力矩为零，则系统的角动量守恒。合外力矩为零，则系统的角动量守恒。守恒条件：守恒条件：00 iiMF不不等等价价0 iF0 iM例例:1F2F0 iF0 iM1F2FovmLM NgMgmORR1r2r1v2v1 2 221121vmrvmrLLL 例题例题4-11 两人质量相等两人质量相等,位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳，位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳，绳子与轮的质绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？解解 选两人及轮
38、为系统，选两人及轮为系统，O 为参考点，取垂直板面向外为正。为参考点，取垂直板面向外为正。系统所受外力如图。系统所受外力如图。产生力矩的只有重力。产生力矩的只有重力。21MMM 外外gmrgmr 212211sinsin mgrmgrM 0)(RmgmgNgmgm222111sinsin rmvrmvL )(21RmvRmv 系统所受的合外力矩为零，则系统所受的合外力矩为零，则角动量守恒角动量守恒。012 RmvRmv12vv 即两人同时到达顶点。即两人同时到达顶点。mm20v 例题例题4-12 如图所示，静止在水平光滑桌面上长为如图所示，静止在水平光滑桌面上长为L L的轻质细杆的轻质细杆和和
39、的小球，系统的小球，系统的小球的小球 l/3/3 处的处的O O点在水平面桌面上转动点在水平面桌面上转动的小球以水平速度的小球以水平速度沿和细杆垂直方向与沿和细杆垂直方向与的小球作对心碰撞，碰后以的小球作对心碰撞，碰后以求碰后细杆获得的角速度求碰后细杆获得的角速度 （质量忽略不计）两端分别固定质量为（质量忽略不计）两端分别固定质量为可绕距质量为可绕距质量为m2今有一质量为今有一质量为m质量为质量为m0v/2 2的速度返回，的速度返回，解解 取三个小球和细杆组成的系统，取三个小球和细杆组成的系统，O O点为参考点，各点为参考点，各系统所受的合外力系统所受的合外力矩为零。矩为零。所以，系统的角动量
40、守恒。所以，系统的角动量守恒。2032mllmv lv23 3223200lvm)l(m)lm(lmv223232解解 取小球与地球为系统，机械能守恒取小球与地球为系统，机械能守恒。RMmGmvRMmGmv3212102020由角动量守恒得由角动量守恒得 sinRmvRmv30联立解得联立解得0020129sinvMGRvR 129arcsin0020vMGRvR 例题例题4-13 质量为质量为m的小球的小球A,以速度以速度v0沿质量为沿质量为M半径为半径为R的地球表面切向水平向右的地球表面切向水平向右飞出，地轴飞出，地轴OO 与与v0平行，小球平行，小球A的运动轨道与轴的运动轨道与轴OO 相
41、交于点相交于点C,OC=3R,若不考虑若不考虑地球的自转和空气阻力，求小球地球的自转和空气阻力，求小球A在点在点C的速度与的速度与OO轴之间的夹角轴之间的夹角。AmMRoo0vCv 4.6 碰碰 撞撞一、碰撞及其分类一、碰撞及其分类完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的 速度运动，机械能损失最大。速度运动，机械能损失最大。1、碰撞：物体之间相互作用时间极短的现象。、碰撞：物体之间相互作用时间极短的现象。不一定接不一定接触触2、碰撞的特点：、碰撞的特点：t 极短，内力极短，内力 外力外力3、碰撞分类、碰撞分类 弹性碰撞弹性碰撞 碰撞后形
42、变消失，无机械能损失。碰撞后形变消失，无机械能损失。非弹性碰撞非弹性碰撞 碰撞后形变不能完全恢复，部分机械能碰撞后形变不能完全恢复，部分机械能 变成内能。变成内能。无外力：动量守恒无外力：动量守恒 （质点对质点）（质点对质点）无无外力矩：角动量守恒（质点对定轴转动的刚体）外力矩：角动量守恒（质点对定轴转动的刚体）二、守恒定律与碰撞二、守恒定律与碰撞质点与质点的碰撞质点与质点的碰撞动量守恒；动量守恒；质点与非定轴转动刚体碰撞，动量守恒，相对质心的角动质点与非定轴转动刚体碰撞，动量守恒，相对质心的角动量守恒；机械能是否守恒，与碰撞种类有关，只有弹性碰量守恒；机械能是否守恒，与碰撞种类有关，只有弹性
43、碰撞时，机械能守恒撞时，机械能守恒。质点与定轴转动刚体碰撞，因转轴冲力的作用，动量不守质点与定轴转动刚体碰撞，因转轴冲力的作用，动量不守恒，但角动量守恒；恒，但角动量守恒；1m2mv三、正碰三、正碰 两个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的相对运动是沿同一条直线的，两个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的相对运动是沿同一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。这种碰撞称为正碰或对心碰撞。1、碰撞定律、碰撞定律 设两个质量分别为设两个质量分别为m1、m2的小球的小球，碰撞前两球的速度分别为碰撞前两球的速度分别为v10、v20，碰撞碰撞后两球的速度分别为后两球的速度分别为v1、v2。10v1
44、m20v2m1v1m2v2m2f2m1f1m牛顿认为牛顿认为 碰撞后的碰撞后的分离速率分离速率 与碰撞前两球的与碰撞前两球的接近接近 速率速率 成正比，比值由两球的材料决定：成正比，比值由两球的材料决定：12vv 2010vv 201012vvvve e 称为恢复系数称为恢复系数 e=1 时，为弹性碰撞；时，为弹性碰撞；e=0 时为完全非弹性碰撞，时为完全非弹性碰撞，0 e 1 时，为一般非时，为一般非弹性碰撞。弹性碰撞。.2、一维正碰、一维正碰10v1m20v2m1v1m2v2m2f2m1f1m2211202101vmvmvmvm 根据动量守恒定律，得根据动量守恒定律，得 由碰撞定律，得由碰
45、撞定律，得201012vvvve联立解得联立解得2120102101)()1(mmvvmevv 2120101202)()1(mmvvmevv 碰撞过程中动能的损失为碰撞过程中动能的损失为)()()()(2122010212221202101212202210121212121mmvvmmemmvmvmmmvmvmEk e=1 时，为弹性碰撞。时，为弹性碰撞。)(2)(21201021mmvvmmEk e=0 时为完全非弹性碰撞。时为完全非弹性碰撞。0 e 1 时，为一般非弹性碰撞。时，为一般非弹性碰撞。2120210121mmvmvmvv 21101201222)(mmvmvmmv 2120
46、2102112)(mmvmvmmv 0 kE几种材料的几种材料的恢复系数恢复系数材料材料玻璃与玻璃玻璃与玻璃铝与铝铝与铝铁与铅铁与铅钢与软木钢与软木e值值0.930.200.120.55三、斜碰（二维碰撞）三、斜碰（二维碰撞）两球在碰撞前的相对速度不沿两球球心连线的碰撞叫斜碰。两球在碰撞前的相对速度不沿两球球心连线的碰撞叫斜碰。10v1m20v2m2f2m1f1m10v20v 如果两球是光滑的，碰撞时两球只在对心方向如果两球是光滑的，碰撞时两球只在对心方向发生发生 互相压缩，存在相互作用力，垂直方向上无相互相压缩，存在相互作用力，垂直方向上无相互作用。互作用。xy20vO10v1m2m 选两球
47、的连心线为选两球的连心线为x 轴，与连心线垂直方向为轴，与连心线垂直方向为y 轴。轴。y 方向上，有方向上，有 yyyyvvvv202101x 方向上，有方向上，有 xxxxvmvmvmvm2211202101 )(xxxxvvevv201012遵循的规律与一维正碰，完全相同。遵循的规律与一维正碰，完全相同。系统的动量守恒系统的动量守恒 2211202101vmvmvmvm 例题例题4-15 质量分别为质量分别为m和和m的两个小球，系于等长线上，构成连于同一悬挂点的的两个小球，系于等长线上，构成连于同一悬挂点的单摆，将单摆，将m拉至拉至h高处，由静止释放。在下列情况下，求两球上升的高度。高处，
48、由静止释放。在下列情况下，求两球上升的高度。1）碰撞是）碰撞是完全弹性的；完全弹性的；2）碰撞是完全非弹性的。）碰撞是完全非弹性的。解解 1）碰撞前小球）碰撞前小球m的速度的速度 ，由于碰撞是完全弹性的，所以满足动量守恒，由于碰撞是完全弹性的，所以满足动量守恒，并且碰撞前后动能相等。设两小球碰撞后的速度分别为并且碰撞前后动能相等。设两小球碰撞后的速度分别为v 和和v，则有，则有 ghv20 ghmmvvmmv20mghmvvmmv2022212121可解得可解得ghmmmvghmmmmv222 设碰撞后两物体上升的高度分别为设碰撞后两物体上升的高度分别为 H 和和 H，则，则HgmvmmgHmv2221 21,2hmmmmHghmmvumm2)(0 ghmmmu2 hmmmguH222 上升的高度为上升的高度为 22hmmmH 2）完全非弹性碰撞，设两球的共同速度为）完全非弹性碰撞，设两球的共同速度为u，由动量守恒定律可得，由动量守恒定律可得作业：作业：4-8，9，12，17(转动惯量还没学转动惯量还没学)，19，21
