1、小学数学解题策略（35）解行程问题的方法第三十五讲 解行程问题的方法已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行程问题。 解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行计算。行程问题的基本数量关系是：速度时间=路程路程速度=时间路程时间=速度行程问题常见的类型是：相遇问题，追及问题（即同向运动问题），相离问题（即相背运动问题）。（一）相遇问题两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。相遇问题根
2、据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。它们的基本关系式如下：总路程=（甲速+乙速）相遇时间相遇时间=总路程（甲速+乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度1.求路程（1）求两地间的距离例1 两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56千米，另一辆汽车每小时行63千米，经过4小时后相遇。甲乙两地相距多少千米？（适于五年级程度）解：两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是它行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是这辆汽车行驶的路程。两车行驶路程之和，就是两地距离。564=224（千米）634=252（千米）224+252=
3、476（千米）综合算式：564+634=224+252=476（千米）答略。例2 两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶42千米。5小时后，两列火车相距多少千米？（适于五年级程度）解：此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离480千米中，减去两车5小时共行的路程，所得就是两车的距离。480-（40+42）5=480-825=480-410=70（千米）答：5小时后两列火车相距70千米。例3 甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米。二人第一次相遇后，都继续前进，分别到达B、A两地后又
4、立即按原速度返回。从开始走到第二次相遇，共用了6小时。A、B两地相距多少千米？（适于五年级程度）解：从开始走到第一次相遇，两人走的路程是一个AB之长；而到第二次相遇，两人走的路程总共就是3个AB之长（图35-1），这三个AB之长是： （5+4）6=54（千米）所以，A、B两地相距的路程是：543=18（千米）答略。例4 两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶60千米，第二列火车每小时行驶55千米。两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了20千米。求甲、乙两地间的距离。（适于五年级程度）解：两车相遇时，两车的路程差是20千米。出现路程差的原因是两车行驶的速度不同，第一列火车每
5、小时比第二列火车多行（60-55）千米。由此可求出两车相遇的时间，进而求出甲、乙两地间的距离。（60+55）20（60-55）=115205=460（千米）答略。*例5 甲、乙二人同时从A、B两地相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走5千米，两个人在距离中点1.5千米的地方相遇。求A、B两地之间的距离。（适于五年级程度）解：由题意可知，当二人相遇时，甲比乙多走了1.52千米（图35-2），甲比乙每小时多行（6-5）千米。由路程差与速度差，可求出相遇时间，进而求出A、B两地之间的距离。（6+5）1.52（6-5）=111.521=113=33（千米）答略。由两车“在离中点2千米处相遇”可知，甲车
6、比乙车少行：22=4（千米）所以，乙车行的路程是：甲车行的路程是：A、B两站间的距离是：24+20=44（千米）同普通客车相遇。甲、乙两城间相距多少千米？（适于六年级程度）快车从乙城开出，普通客车与快车相对而行。已知普通客车每小时行60千米，快车每小时行80千米，可以求出两车速度之和。又已知两车相遇时间，可以按“速度之和相遇时间”，求出两车相对而行的总行程。普通客车已行驶普通客车与快车速度之和是：60+80=140（千米/小时）两车相对而行的总路程是：1404=560（千米）两车所行的总路程占全程的比率是：甲、乙两城之间相距为：综合算式：答略。2）求各行多少 例1 两地相距37.5千米，甲、乙
7、二人同时从两地出发相向而行，甲每小时走3.5千米，乙每小时走4千米。相遇时甲、乙二人各走了多少千米？（适于五年级程度）解：到甲、乙二人相遇时所用的时间是：37.5（3.5+4）=5（小时）甲行的路程是：3.55=17.5（千米）乙行的路程是：45=20（千米）答略。例2 甲、乙二人从相距40千米的两地同时相对走来，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米。相遇后他们又都走了1小时。两人各走了多少千米？（适于五年级程度）解：到甲、乙二人相遇所用的时间是：40（4+6）=4（小时）由于他们又都走了1小时，因此两人都走了：4+1=5（小时）甲走的路程是：45=20（千米）乙走的路程是：65=30（千米）答
8、略。例3 两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出，第一列火车每小时行48.65千米，第二列火车每小时行47.35千米。在相遇时第一列火车比第二列火车多行了5.2千米。到相遇时两列火车各行了多少千米？（适于五年级程度）解：两车同时开出，行的路程有一个差，这个差是由于速度不同而形成的。可以根据“相遇时间=路程差速度差”的关系求出相遇时间，然后再分别求出所行的路程。从出发到相遇所用时间是：5.2（48.65-47.35）=5.21.3=4（小时）第一列火车行驶的路程是：48.654=194.6（千米）第二列火车行驶的路程是：47.354=189.4（千米）答略。*例4 东、西两车站相距564千米，两
9、列火车同时从两站相对开出，经6小时相遇。第一列火车比第二列火车每小时快2千米。相遇时这两列火车各行了多少千米？（适于五年级程度）解：两列火车的速度和是：5646=94（千米/小时）第一列火车每小时行：（94+2）2=48（千米）第二列火车每小时行：48-2=46（千米）相遇时，第一列火车行：486=288（千米）第二列火车行：466=276（千米）答略。2.求相遇时间例1 两个城市之间的路程是500千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车的平均速度是每小时55千米，货车的平均速度是每小时45千米。两车开了几小时以后相遇？（适于五年级程度）解：已知两个城市之间的路程是500千米，又知
10、客车和货车的速度，可求出两车的速度之和。用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间。500（55+45）=500100=5（小时）答略。例2 两地之间的路程是420千米，一列客车和一列货车同时从两个城市答略。例3 在一次战役中，敌我双方原来相距62.75千米。据侦察员报告，敌人已向我处前进了11千米。我军随即出发迎击，每小时前进6.5千米，敌人每小时前进5千米。我军出发几小时后与敌人相遇？（适于五年级程度）解：此题已给出总距离是62.75千米，由“敌人已向我处前进了11千米”可知实际的总距离减少到（62.75-11）千米。（62.75-11）（6.5+5）=51.7511.5=4
11、.5（小时）答：我军出发4.5小时后与敌人相遇。例4 甲、乙两地相距200千米，一列货车由甲地开往乙地要行驶5小时；一列客车由乙地开往甲地需要行驶4小时。如果两列火车同时从两地相对开出，经过几小时可以相遇？（得数保留一位小数）（适于五年级程度）解：此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。先分别求出速度再求和，根据“时间=路程速度”的关系，即可求出相遇时间。200（2005+2004）=200（40+50）=200902.2（小时）答：两车大约经过2.2小时相遇。例5 在复线铁路上，快车和慢车分别从两个车站开出，相向而行。快车车身长是180米，速度为每秒钟9米；慢车车身长210米，车速为每秒
12、钟6米。从两车头相遇到两车的尾部离开，需要几秒钟？（适于五年级程度）解：因为是以两车离开为准计算时间，所以两车经过的路程是两个车身的总长。总长除以两车的速度和，就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间。（180+210）（9+6）=39015=26（秒）答略。3.求速度例1 甲、乙两个车站相距550千米，两列火车同时由两站相向开出，5小时相遇。快车每小时行60千米。慢车每小时行多少千米？（适于五年级程度）解：先求出速度和，再从速度和中减去快车的速度，便得出慢车每小时行：5505-60=110-60=50（千米）答略。例2 A、B两个城市相距380千米。客车和货车从两个城市同时相对开出，经过4小时
13、相遇。货车比客车每小时快5千米。这两列车每小时各行多少千米？（适于五年级程度）解：客车每小时行：（3804-5）2=（95-5）2=45（千米）货车每小时行：45+5=50（千米）答略。例3 甲、乙两个城市相距980千米，两列火车由两城市同时相对开出，经过10小时相遇。快车每小时行50千米，比慢车每小时多行多少千米？（适于五年级程度）解：两城市的距离除以两车相遇的时间，得到两车的速度和。从两车的速度和中减去快车的速度，得到慢车的速度。再用快车速度减去慢车的速度，即得到题中所求。50-（98010-50）=50-（98-50）=50-48=2（千米）答略。例4 甲、乙两地相距486千米，快车与慢
14、车同时从甲、乙两地相对开出，经过6小时相遇。已知快车与慢车的速度比是54。求快车和慢车每小时各行多少千米？（适于六年级程度）两车的速度和是：4866=81（千米/小时）快车每小时行：慢车每小时行：答略。例5 两辆汽车同时从相距465千米的两地相对开出，4.5小时后两车还相距120千米。一辆汽车每小时行37千米。另一辆汽车每小时行多少千米？（适于五年级程度）解：如果两地间的距离减少120千米，4.5小时两车正好相遇。也就是两车4.5小时行465-120=345千米，345千米除以4.5小时，可以求出两车速度之和。从速度之和减去一辆车的速度，得到另一辆车的速度。答略。例6 甲、乙两人从相距40千米
15、的两地相向而行。甲步行，每小时走5千米，先出发0.8小时。乙骑自行车，骑2小时后，两人在某地相遇。乙骑自行车每小时行多少千米？（适于五年级程度）解：两人相遇时，甲共走：0.8+2=2.8（小时）甲走的路程是：52.8=14（千米）乙在2小时内行的路程是：40-14=26（千米）所以，乙每小时行：262=13（千米）综合算式：40-5（0.8+2）2=40-52.82=40-142=262=13（千米）答略。例7 甲、乙二人从相距50千米的两地相对而行。甲先出发，每小时步行5千米。1小时后乙骑自行车出发，骑了2小时，两人相距11千米。乙每小时行驶多少千米？（适于五年级程度）解：从相距的50千米中
16、，去掉甲在1小时内先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到：50-5-11=34（千米）这时，原题就改变成“两地相隔34千米，甲、乙二人分别从两地同时相对而行。甲步行，乙骑自行车，甲每小时走5千米。经过2小时两人相遇。乙每小时行多少千米？”由此可知，二人的速度和是：342=17（千米/小时）乙每小时行驶的路程是：17-5=12（千米）综合算式：（50-5-11）2-5=342-5=17-5=12（千米）答略。（二）追及问题追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面
17、的公式：距离差=速度差追及时间追及时间=距离差速度差速度差=距离差追及时间速度差=快速-慢速解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。*例1 甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。他们同时向同一个方向前进。甲在前，以每小时5千米的速度步行；乙在后，以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。几小时后乙能追上甲？（适于高年级程度）解：求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是：10-5=5（千米）再看，相差的路程9千米中含有多少个5千米，即得到乙几小时追上甲。95=1.8（小时）综合算式：9（10-5）=95=1.8（小时
18、）答略。*例2 甲、乙二人在相距6千米的两地，同时同向出发。乙在前，每小时行5千米；甲在后，每小时的速度是乙的1.2倍。甲几小时才能追上乙？（适于高年级程度）解：甲每小时行：51.2=6（千米）甲每小时能追上乙：6-5=1（千米）相差的路程6千米中，含有多少个1千米，甲就用几小时追上乙。61=6（小时）答：甲6小时才能追上乙。*例3 甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙？（适于高年级程度）解：此题的运动路线是环形的。求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平时所说的“落一圈”，这一圈相当于在直线上的
19、400米，也就是追及的路程。因此，甲追上乙的时间是：400（350-250）=400100=4（分钟）答略。*例4 在解放战争的一次战役中，我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地，正以每小时5.5千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。在追上敌人后，只用半小时就全歼敌军。从开始追击到全歼敌军，共用了多长时间？（适于高年级程度）解：敌我两军行进的速度差是：8.5-5.5=3（千米/小时）我军追上敌军用的时间是：63=2（小时）从开始追击到全歼敌军，共用的时间是：2+0.5=2.5（小时）综合算式：60（8.5-5.5）+0.5=63+0.5=2.5（小时）答略。*例5 一排解
20、放军从驻地出发去执行任务，每小时行5千米。离开驻地3千米时，排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。通讯员以每小时10千米的速度回到驻地，取了地图立即返回。通讯员从驻地出发，几小时可以追上队伍？（适于高年级程度）解：通讯员离开队伍时，队伍已离开驻地3千米。通讯员的速度等于队伍的2倍（105=2），通讯员返回到驻地时，队伍又前进了（32）千米。这样，通讯员需追及的距离是（3+32）千米，而速度差是（10-5）千米/小时。根据“距离差速度差=时间”可以求出追及的时间。（3+32）（10-5）=4.55=0.9（小时）答略。（三）相离问题相离问题就是两个人或物体向相反方向运动的应用题，也叫做相背运动问题
21、。解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和时间=两个人或物体之间的距离”。例1 哥哥由家向东到工厂去上班，每分钟走85米，弟弟同时由家往西到学校去上学，每分钟走75米。几分钟后二人相距960米？（适于四年级程度）解：二人同时、同地相背而行，只要求出速度和，由“时间=距离速度和”即可求出所行时间。因此，得：960（85+75）=960160=6（分钟）答略。例2 甲、乙二人从同一城镇某车站同时出发，相背而行。甲每小时行6千米，乙每小时行7千米。8小时后，甲、乙二人相距多少千米？（适于四年级程度）解：先求出二人速度之和，再乘以时间就得到二人之间的距离。（6+7）8=138=104（
22、千米）答略。*例3 东、西两镇相距69千米。张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行，6小时后二人分别到达东、西两镇。已知张每小时比王多行1.5千米。二人每小时各行多少千米？出发地距东镇有多少千米？（适于高年级程度）解：由二人6小时共行69千米，可求出他们的速度和是（696）千米/小时。张每小时比王多行1.5千米，这是他们的速度差。从而可以分别求出二人的速度。张每小时行：（696+1.5）2=（11.5+1.5）2=132=6.5（千米）王每小时行：6.5-1.5=5（千米）出发地距东镇的距离是：6.56=39（千米）答：张每小时行6.5千米，王每小时行5千米；出发地到东镇的距离是39千米。27
