1、第第 7 节节 函数的函数的图像图像 最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表 法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，解决方程 解的个数与不等式解的问题. 知 识 梳 理 1.利用描点法作函数的图像 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、 单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小 值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换 (2)对称变换 yf(x)的图像 关于x轴对称yf(x)的图像； yf(x)的图像 关于
2、y轴对称yf(x)的图像； yf(x)的图像 关于原点对称yf(x)的图像； yax(a0，且 a1)的图像 关于直线yx对称 ylogax(a0，且 a1)的图像. (3)伸缩变换 yf(x) 纵坐标不变 各点横坐标变为原来的1 a（a0）倍 yf(ax). yf(x) 横坐标不变 各点纵坐标变为原来的A(A0)倍 yAf(x). (4)翻折变换 yf(x)的图像 x轴下方部分翻折到上方 x轴及上方部分不变 y|f(x)|的图像； yf(x)的图像 y轴右侧部分翻折到左侧 原y轴左侧部分去掉，右侧不变 yf(|x|)的图像. 微点提醒 记住几个重要结论 (1)函数 yf(x)与 yf(2ax
3、)的图像关于直线 xa 对称. (2)函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图像关于点(a，b)中心对称. (3)若函数 yf(x)对定义域内任意自变量 x 满足：f(ax)f(ax)，则函数 yf(x) 的图像关于直线 xa 对称. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)函数 yf(1x)的图像，可由 yf(x)的图像向左平移 1 个单位得到.( ) (2)函数 yf(x)的图像关于 y 轴对称即函数 yf(x)与 yf(x)的图像关于 y 轴对 称.( ) (3)当 x(0，)时，函数 yf(|x|)的图像与 y|f(x)|的图像相同.( ) (4)若函数
4、yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图像关于直线 x1 对 称.( ) 解析 (1)yf(x)的图像向左平移 1 个单位得到 yf(1x)，故(1)错. (2)两种说法有本质不同，前者为函数的图像自身关于 y 轴对称，后者是两个函数 的图像关于 y 轴对称，故(2)错. (3)令 f(x)x，当 x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两函数图像不同， 故(3)错. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 1P56A9 改编)下列图像是函数 y x 2，x0 时，x(2，8. 答案 (2，8 考点一 作函数的图像 【例 1】 作出下列函数的图像： (1)
5、y 1 2 |x| ；(2)y|log2(x1)|； (3)yx22|x|1. 解 (1)先作出 y 1 2 x 的图像，保留 y 1 2 x 图像中 x0 的部分，再作出 y 1 2 x 的 图像中 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y 1 2 |x| 的图像，如图实线部分. 2 2 (2)将函数 ylog2x 的图像向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上 去，即可得到函数 y|log2(x1)|的图像，如图. (3)y x 22x1，x0， x22x1，x0，排除 A；当 x 时，y1，排除 B， 选项 D 满足. 法二 当 x1 时，f(1)11sin 12sin
6、 12，排除 A，C；又当 x时， y，排除 B，而 D 满足. (2)f(x)2x2e|x|，x2，2是偶函数， 又 f(2)8e2(0，1)，排除选项 A，B； 当 x0 时，f(x)2x2ex，f(x)4xex， 所以 f(0)10， 所以函数 f(x)在(0，2)上有解， 故函数 f(x)在0，2上不单调，排除 C，故选 D. 答案 (1)D (2)D 规律方法 1.抓住函数的性质，定性分析： (1)从函数的定义域， 判断图像的左右位置； 从函数的值域， 判断图像的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从周期性，判断图像的循环往复； (4)从函数的奇偶性，判断图像
7、的对称性. 2.抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 【训练 2】 (2018 浙江卷)函数 y2|x| sin 2x 的图像可能是( ) 解析 设f(x)2|x|sin 2x， 其定义域为R且关于坐标原点对称， 又f(x)2| x| sin( 2x)f(x)，所以 yf(x)是奇函数，故排除选项 A，B；令 f(x)0，所以 sin 2x 0，所以 2xk(kZ)，即 xk 2 (kZ)，故排除选项 C.故选 D. 答案 D 考点三 函数图像的应用 多维探究 角度 1 研究函数的性质 【例 31】 已知函数 f(x)x|x|2x，则下列结论正确的
8、是( ) A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，) B.f(x)是偶函数，递减区间是(，1) C.f(x)是奇函数，递减区间是(1，1) D.f(x)是奇函数，递增区间是(，0) 解析 将函数 f(x)x|x|2x 去掉绝对值得 f(x) x 22x，x0， x22x，x0. 若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 _. 解析 在同一坐标系中，作 yf(x)与 yb 的图像. 当 xm 时，x22mx4m(xm)24mm2， 要使方程 f(x)b 有三个不同的根，则有 4mm20.又 m0，解得 m3. 答案 (3，) 规律方法 1.利用函数的图
9、像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上 图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像 研究，但一定要注意性质与图像特征的对应关系. 2.利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程 f(x)g(x)的根就是 函数 f(x)与 g(x)图像交点的横坐标；不等式 f(x)1 B.a1，0e， 即 g(x) e ex，x0， ln（ex），xln(e0)1，排除 D，因而 B 项成立. 答案 B 7.(2018 咸阳二模)已知函数 f(x) d ax2bxc(a，b，c，dR)的图像如图所示，则 ( ) A.a0，b0，c0 B.a0，c0 C.a0，
10、c0，d0 D.a0，b0，d0 解析 由题图可知，x1 且 x5， 则 ax2bxc0 的两根为 1，5， 由根与系数的关系，得b a6， c a5， a，b 异号，a，c 同号， 又 f(0)d c0 时，设解析式为 ya(x2)21(a0). 图像过点(4，0)，0a(42)21，得 a1 4. 答案 f(x) x1，1x0， 1 4（x2） 21，x0 11.使 log2(x)x1 成立的 x 的取值范围是_. 解析 在同一直角坐标系内作出 ylog2(x)，yx1 的图像，知满足条件的 x(1，0). 答案 (1，0) 12.若关于 x 的方程|x|ax 只有一个解，则实数 a 的取
11、值范围是_. 解析 在同一个坐标系中画出函数 y|x|与 yax 的图像，如图所示.由图像知 当 a0 时，方程|x|ax 只有一个解. 答案 (0，) 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13.函数 yln|x| x2 1 x2在2，0(0，2上的大致图像为( ) 解析 当 x(0，2时，函数 yln|x|1 x2 ln x1 x2 ，当 x1 e时，y0，当 x 0，1 e 时，yln x1 x2 0，所以函数 yln x1 x2 在(0，2上 只有零点1 e，又函数 y ln|x| x2 1 x2在2，0)(0，2上是偶函数. 答案 B 14.若函数 f(x)（2m）x x2m 的图
12、像如图所示，则 m 的取值范围为( ) A.(，1) B.(1，2) C.(0，2) D.(1，2) 解析 由图可知，f(x)的定义域为 R，所以 m0. 又因为 x时，f(x)0，所以 2m0m0 时， f(x)（2m）x x2m 2m xm x ， 所以 f(x)在(0， m)上单调递增，( m，)上单调递减，所以 m1m1， 综上，实数 m 的取值范围是(1，2). 答案 D 15.(2019 江淮十校联考)若直角坐标系内 A，B 两点满足：(1)点 A，B 都在 f(x)图像 上；(2)点 A，B 关于原点对称，则称点对(A，B)是函数 f(x)的一个“和谐点对”， (A，B)与(B，
13、A)可看作一个“和谐点对”.已知函数 f(x) x22x（x0）， 2 ex （x0）， 则 f(x) 的“和谐点对”有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 作出函数 yx22x(x0)的图像关于原点对称的图像(如图中的虚线部分)， 看它与函数 y 2 ex(x0)的图像的交点个数即可，观察图像可得交点个数为 2，即 f(x)的“和谐点对”有 2 个. 答案 B 16.函数 f(x)x1 x 的图像与直线 ykx1 交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1y2_. 解析 因为 f(x)x1 x 1 x1，所以 f(x)的图像关于点(0，1)对称，而直线 ykx 1 过(0，1)点，故两图像的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0，1)对称，所以y 1y2 2 1，即 y1y22. 答案 2
