1、第第 6 节节 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 知 识 梳 理 1.正、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径， 则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 a sin A b sin B c sin C2R a2b2c22bccos_A； b2c2a22cacos_B； c2a2b22abcos_C 常见 变形 (1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C； (2)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R； (3)abcsin_As
2、in_Bsin_C； (4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin C csin A cos Ab 2c2a2 2bc ； cos Bc 2a2b2 2ac ； cos Ca 2b2c2 2ab 2.SABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B abc 4R 1 2(abc) r(r 是三角形内切圆的 半径)，并可由此计算 R，r. 3.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 absin A bsin ABabsin A sin Bcos Asin B，则 AB.( ) (3)在ABC
3、 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( ) (4)当 b2c2a20 时，ABC 为锐角三角形；当 b2c2a20 时，ABC 为直 角三角形；当 b2c2a20 时，三角形 ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 5P56A5 改编)在ABC 中，AB5，AC3，BC7，则BAC( ) A. 6 B. 3 C.2 3 D.5 6 解析 在ABC 中， 设 ABc5， ACb3， BCa7， 由余弦定理得 cosBAC b 2c2a2 2bc 92549 30 1 2， 由 A(0，)，得 A2 3 ，即BAC2 3 . 答案 C 3.(必修
4、5P65B2 改编)在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为 _. 解析 由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B， 即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B， 即 AB 或 AB 2， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形 4.(2018 西安质检)已知ABC 中，A 6，B 4，a1，则 b 等于( ) A.2 B.1 C. 3 D. 2 解析 由正弦定理 a sin A b sin B，得 1 sin 6 b sin 4 ， 1 1 2 b 2 2 ，b 2. 答案 D 5.(2018全国卷)在ABC
5、 中，cos C 2 5 5 ，BC1，AC5，则 AB( ) A.4 2 B. 30 C. 29 D.2 5 解析 由题意得 cos C2cos2 C 212 5 5 2 13 5. 在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C5212 251 3 5 32， 所以 AB4 2. 答案 A 6.(2019 荆州一模)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2 2， cos A3 4，sin B2sin C，则ABC 的面积是_. 解析 由 sin B2sin C，cos A3 4，A 为ABC 一内角 可得 b2c，sin A 1cos2A 7
6、4 ， 由 a2b2c22bccos A，可得 84c2c23c2， 解得 c2(舍负)，则 b4. SABC1 2bcsin A 1 224 7 4 7. 答案 7 考点一 利用正、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2017 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 C60 ，b 6，c3，则 A_. (2)(2019 南昌二模)已知ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 若(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，则 A( ) A. 6 B. 3 C.5 6 D.2 3 (3)(2018 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的
7、对边分别为 a，b，c，若ABC 的 面积为a 2b2c2 4 ，则 C( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解析 (1)由正弦定理，得 sin Bbsin C c 6 3 2 3 2 2 ， 结合 bc 得 B45 ，则 A180 BC75 . (2)(ab)(sin Asin B)(cb)sin C， 由正弦定理得(ab)(ab)c(cb)，即 b2c2a2bc. 所以 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2，又 A(0，)，所以 A 3. (3)因为 a2b2c22abcos C， 且 SABCa 2b2c2 4 ， 所以 SABC2abcos C 4 1 2absin C，
8、所以 tan C1. 又 C(0，)，故 C 4. 答案 (1)75 (2)B (3)C 规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其 解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函 数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理， 也可用余弦定理. 用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情 况判断解的个数. 【训练 1】 (1)(2017 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已 知 sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2
9、，c 2，则 C( ) A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 (2)(2019 郑州二模)在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 2cos2AB 2 cos 2C1，4sin B3sin A，ab1，则 c 的值为( ) A. 13 B. 7 C. 37 D.6 (3)在ABC 中，已知 a2，b 6，A45 ，则满足条件的三角形有( ) A.1 个 B.2 个 C.0 个 D.无法确定 解析 (1)由题意得 sin(AC)sin A(sin Ccos C)0， sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0， 则 sin C(sin A
10、cos A) 2sin Csin A 4 0， 因为 C(0，)，所以 sin C0，所以 sin A 4 0， 又因为 A(0，)，所以 A 4，所以 A 3 4 . 由正弦定理 a sin A c sin C，得 2 sin 3 4 2 sin C， 则 sin C1 2，又 C(0，)，得 C 6. (2)由 2cos2AB 2 cos 2C1， 可得 2cos2AB 2 1cos 2C0， 则有 cos 2Ccos C0，即 2cos2Ccos C10， 解得 cos C1 2或 cos C1(舍)， 由 4sin B3sin A，得 4b3a， 又 ab1， 联立，得 a4，b3，
11、所以 c2a2b22abcos C1691213，则 c 13. (3)bsin A 6 2 2 3，bsin Aab. 满足条件的三角形有 2 个. 答案 (1)B (2)A (3)B 考点二 判断三角形的形状 【例 2】 (1)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若c bcos A，则 ABC 为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 (2)设ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 bcos Cccos Basin A， 则ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
12、解析 (1)由c bcos A，得 sin C sin B0， 所以 sin Csin Bcos A， 即 sin(AB)sin Bcos A， 所以 sin Acos B0，所以 cos B0，sin A1，即 A 2， ABC 为直角三角形. 答案 (1)A (2)B 规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的 关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥 梁. 2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏 掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【训练 2】 若将本
13、例(2)中条件变为“cacos B(2ab)cos A”，判断ABC 的 形状. 解 cacos B(2ab)cos A，C(AB)， 由正弦定理得 sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A， sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A， cos A(sin Bsin A)0， cos A0 或 sin Bsin A， A 2或 BA 或 BA(舍去)， ABC 为等腰或直角三角形. 考点三 和三角形面积、周长有关的问题多维探究 角度 1 与三角形面积有关的问题 【例 31】 (2017 全国卷)ABC
14、 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已 知 sin A 3cos A0，a2 7，b2. (1)求 c； (2)设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积. 解 (1)由 sin A 3cos A0 及 cos A0， 得 tan A 3，又 0A0，sin A 3cos A， 即 tan A 3. 0A，A 3. 由余弦定理得 a216b2c22bccos A (bc)23bc(bc)23 bc 2 2 ， 则(bc)264，即 bc8(当且仅当 bc4 时等号成立)， ABC 周长abc4bc12，即最大值为 12. 答案 12 规律方法 1.对于面积公式 S1
15、 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A，一般是已知哪一个 角就使用哪一个公式. 2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练 3】 (2019 潍坊一模)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 (a2c)cos Bbcos A0. (1)求 B； (2)若 b3，ABC 的周长为 32 3，求ABC 的面积. 解 (1)由已知及正弦定理得 (sin A2sin C)cos Bsin Bcos A0， (sin Acos Bsin Bcos A)2sin Ccos B0， sin(AB)2sin Ccos B0， 又
16、 sin(AB)sin C，且 C(0，)，sin C0， cos B1 2，0B，B 2 3. (2)由余弦定理，得 9a2c22accos B. a2c2ac9，则(ac)2ac9. abc32 3，b3，ac2 3， ac3，SABC1 2acsin B 1 23 3 2 3 3 4 . 思维升华 1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系 或边的关系. 2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或 边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解. 3.在ABC 中， 若 a2b2c2， 由 cos Ca 2b2c2 2ab 0.
17、cos A 3 2 ，即 4 bc 3 2 ，则 bc8 3 3 . ABC 的面积 S1 2bcsin A 1 2 8 3 3 1 2 2 3 3 . 答案 B 二、填空题 6.(2018 浙江卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a 7，b 2，A60 ，则 sin B_，c_. 解析 由 a sin A b sin B，得 sin B b asin A 21 7 ， 又 a2b2c22bccos A， c22c30，解得 c3(c1 舍去). 答案 21 7 3 7.(2019 合肥模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积 的“三斜公式”，
18、设ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，则“三斜求积”公式为 S 1 4 a2c2 a2c2b2 2 2 .若 a2sin C4sin A，(a c)212b2，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为_. 解析 根据正弦定理及 a2sin C4sin A，可得 ac4， 由(ac)212b2，可得 a2c2b24， 所以 SABC 1 4 a2c2 a2c2b2 2 2 1 4（164） 3. 答案 3 8.在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且 B 为锐角，若sin A sin B 5c 2b， sin B 7 4 ，SABC5 7 4
19、 ，则 b 的值为_. 解析 由sin A sin B 5c 2b a b 5c 2ba 5 2c， 由 SABC1 2acsin B 5 7 4 且 sin B 7 4 得1 2ac5， 联立，得 a5，且 c2. 由 sin B 7 4 且 B 为锐角知 cos B3 4， 由余弦定理知 b22542523 414，b 14. 答案 14 三、解答题 9.(2018 北京卷)在ABC 中，a7，b8，cos B1 7. (1)求A； (2)求 AC 边上的高. 解 (1)在ABC 中，因为 cos B1 7， 所以 sin B 1cos2B4 3 7 . 由正弦定理得 sin Aasin
20、B b 3 2 . 由题设知 2B，所以 0A 2. 所以A 3. (2)在ABC 中， 因为 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B3 3 14 ， 所以 AC 边上的高为 asin C73 3 14 3 3 2 . 10.已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a2ab2b20. (1)若 B 6，求 A，C； (2)若 C2 3 ，c14，求 SABC. 解 (1)由已知 B 6，a 2ab2b20 结合正弦定理化简整理得 2sin2Asin A1 0， 于是 sin A1 或 sin A1 2(舍). 因为 0A0， 所以 a2b0，即 a2
21、b， 联立解得 b2 7，a4 7. 所以 SABC1 2absin C14 3. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos C2 2 3 ，bcos A acos B2，则ABC 的外接圆面积为( ) A.4 B.8 C.9 D.36 解析 由题意及正弦定理得 2Rsin Bcos A2Rsin Acos B2Rsin(AB)2(R 为 ABC 的外接圆半径).即 2Rsin C2. 又 cos C2 2 3 及 C(0，)，知 sin C1 3. 2R 2 sin C6，R3. 故ABC 外接圆面积 SR29. 答案 C
22、 12.(2019 武汉模拟)在ABC 中，C2 3 ，AB3，则ABC 的周长为( ) A.6sin A 3 3 B.6sin A 6 3 C.2 3sin A 3 3 D.2 3sin A 6 3 解析 设ABC 的外接圆半径为 R，则 2R 3 sin2 3 2 3，于是 BC2Rsin A 2 3sin A，AC2Rsin B2 3sin 3A . 于是ABC 的周长为 2 3 sin Asin 3A 32 3sin A 3 3. 答案 C 13.(2019 汉中一模)在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 1 2bsin C cos Asin Acos C，
23、且 a2 3，则ABC 面积的最大值为_. 解析 因为 1 2bsin C cos Asin Acos C， 所以1 2bcos Asin Ccos Asin Acos C， 所以1 2bcos Asin(AC)，所以 1 2bcos Asin B， 所以cos A 2 sin B b ， 又sin B b sin A a ，a2 3， 所以cos A 2 sin A 2 3 ，得 tan A 3， 又 A(0，)，则 A 3， 由余弦定理得(2 3)2b2c22bc 1 2b 2c2bc2bcbcbc， 即 bc12，当且仅当 bc2 3时取等号， 从而ABC 面积的最大值为1 212 3
24、2 3 3. 答案 3 3 14.(2018 天津卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsin A acos B 6 . (1)求角 B 的大小； (2)设 a2，c3，求 b 和 sin(2AB)的值. 解 (1)在ABC 中，由正弦定理 a sin A b sin B， 得 bsin Aasin B， 又由 bsin Aacos B 6 ， 得 asin Bacos B 6 ， 即 sin Bcos B 6 ， 可得 tan B 3. 又因为 B(0，)，可得 B 3. (2)在ABC 中，由余弦定理及 a2，c3，B 3， 有 b2a2c22accos B7，故 b 7. 由 bsin Aacos B 6 ，可得 sin A 3 7. 因为 ac，故 cos A 2 7. 因此 sin 2A2sin Acos A4 3 7 ， cos 2A2cos2A11 7. 所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 .
