1、第第 7 节节 解三角形应用举例解三角形应用举例 最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算 有关的实际问题. 知 识 梳 理 1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1). 2.方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角.如B 点的方位角为 (如图 2). 3.方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东 30 ，北偏西 45 等. 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应
2、用正、余 弦定理求解. 微点提醒 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中， 可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题， 这时最好画两个 图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)东北方向就是北偏东 45 的方向.( ) (2)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为 180 .( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 0， 2 .( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的
3、位置关 系.( ) 解析 (2)；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 5P59 练习 1T2 改编)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45 ，CAB 105 后，就可以计算出 A，B 两点的距离为( ) A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D.25 2 2 m 解析 由正弦定理得 AB sinACB AC sin CBA， 又CBA30 ， ABACsinACB sin CBA 50 2 2 1 2 50 2(m). 答案 A 3. (必
4、修 5P58 例 2 改编)如图所示， D， C， B 三点在地面的同一条直线上， DCa， 从C， D两点测得A点的仰角分别为60 ， 30 ， 则 A点离地面的高度AB_. 解析 由已知得DAC30 ，ADC 为等腰三角形， AD 3a，所以在 RtADB 中，AB1 2AD 3 2 a. 答案 3 2 a 4.(2019 雅礼中学月考)如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40 ，灯塔 B 在观察站南偏东 60 ，则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A.北偏东 10 B.北偏西 10 C.南偏东 80 D.南偏西 80 解析 由条件及图可知，A
5、CBA40 ， 又BCD60 ，所以CBD30 ， 所以DBA10 ， 因此灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西 80 . 答案 D 5.(2017 浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 ，理论 上能把 的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”， 将 的值精确到 小数点后七位， 其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接 正六边形的面积 S6，S6_. 解析 如图， 连接正六边形的对角线， 将正六边形分成六个边长为 1 的正三角形， 从而 S661 21 2sin 60 3 3 2 . 答案 3 3 2 6.(2018 上饶模拟)如图，在ABC 中，已知点
6、 D 在 BC 边上，ADAC，sin BAC 2 2 3 ，AB3 2，AD3，则 BD 的长为_. 解析 因为 sinBAC2 2 3 ，且 ADAC， 所以 sin 2BAD 2 2 3 ， 所以 cosBAD2 2 3 ，在BAD 中，由余弦定理， 得 BD AB2AD22AB ADcos BAD （3 2）23223 232 2 3 3. 答案 3 考点一 求距离、高度问题 多维探究 角度 1 测量高度问题 【例 11】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公 路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在 西偏北
7、75 的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度 CD_m. 解析 由题意，在ABC 中，BAC30 ，ABC180 75 105 ，故ACB 45 . 又 AB600 m，故由正弦定理得 600 sin 45 BC sin 30 ， 解得 BC300 2(m). 在 RtBCD 中，CDBC tan 30 300 2 3 3 100 6(m). 答案 100 6 规律方法 1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的 角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. 2.在实际问题中， 可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题， 这时最好画两个 图形，一个空间图形，一个
8、平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. 3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题. 【训练 1】 如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两 个测点 C 与 D，测得BCD15 ，BDC30 ，CD30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 ，则塔高 AB 等于( ) A.5 6 B.15 3 C.5 2 D.15 6 解析 在BCD 中，CBD180 15 30 135 . 由正弦定理得 BC sin 30 30 sin 135 ， 所以 BC15 2. 在 RtABC 中， ABBCtan ACB15 2 315 6. 答案 D 角度 2
9、 测量距离问题 【例 12】 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的 山路 BC 和一条索道 AC，小王和小李打算不坐索道，而是花 2 个小时的时间进行 徒步攀登，已知ABC120 ，ADC150 ，BD1 km，AC3 km.假设小王 和小李徒步攀登的速度为每小时 1 250 米，请问：两位登山爱好者能否在 2 个小 时内徒步登上山峰？(即从 B 点出发到达 C 点) 解 在ABD 中，由题意知，ADBBAD30 ， 所以 ABBD1 km，因为ABD120 ，由正弦定理得 AB sin ADB AD sin ABD， 解得 AD 3 km， 在ACD 中， 由 AC2A
10、D2CD22AD CD cos 150 ， 得 93CD22 3 3 2 CD， 即 CD23CD60，解得 CD 333 2 km(负值舍去)， BCBDCD 331 2 km， 两个小时小王和小李可徒步攀登 1 25022 500 米， 即 2.5 千米，而 331 2 361 2 5 22.5， 所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰. 规律方法 1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其 他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. 2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 【训练 2】 海轮“和谐号”从
11、A 处以每小时 21 海里的速度出发， 海轮“奋斗号” 在 A 处北偏东 45 的方向，且与 A 相距 10 海里的 C 处，沿北偏东 105 的方向以 每小时 9 海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短 时间为_小时. 解析 设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 x 小时， 如图， 则由已知得ABC 中，AC10，AB21x，BC9x，ACB120 . 由余弦定理得：(21x)2100(9x)22109xcos 120 ， 整理，得 36x29x100， 解得 x2 3或 x 5 12(舍). 所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为2
12、3小时. 答案 2 3 考点二 测量角度问题 【例 2】 已知岛 A 南偏西 38 方向，距岛 A3 海里的 B 处有一艘缉私艇.岛 A 处的 一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛屿北偏西 22 方向行驶， 问缉私艇朝何方向 以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？ 参考数据：sin 38 5 3 14 ，sin 22 3 3 14 解 如图，设缉私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点，缉私艇的速 度为每小时 x 海里，则 BC0.5x，AC5，依题意， BAC180 38 22 120 ， 由余弦定理可得 BC2AB2AC22AB ACcos 120 ， 所以
13、 BC249，所以 BC0.5x7，解得 x14. 又由正弦定理得 sinABCAC sinBAC BC 5 3 2 7 5 3 14 ，所以ABC38 ， 又BAD38 ，所以 BCAD， 故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶， 恰好用 0.5 小时截住该走私船. 规律方法 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的 图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最 后将解得的结果转化为实际问题的解. 2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点 的方向角. 【训练 3】 如图，两座相距 60 m 的建筑物 A
14、B，CD 的高度分别为 20 m，50 m， BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角CAD 等于( ) A.30 B.45 C.60 D.75 解析 依题意可得 AD20 10 m，AC30 5 m， 又 CD50 m， 所以在ACD 中，由余弦定理得 cosCADAC 2AD2CD2 2AC AD （30 5） 2（20 10）2502 230 520 10 6 000 6 000 2 2 2 ， 又 0 CAD180 ，所以CAD45 ， 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45 . 答案 B 考点三 正(余)弦定理在平面几何中的应用 【例 3】 (20
15、19 洛阳二模)如图，已知扇形的圆心角AOB2 3 ，半径为 4 2，若 点 C 是AB 上的一动点(不与点 A，B 重合). (1)若弦 BC4( 31)，求BC 的长； (2)求四边形 OACB 面积的最大值. 解 (1)在OBC 中，BC4( 31)，OBOC4 2， 所以由余弦定理得 cosBOCOB 2OC2BC2 2OB OC 3 2 ， 所以BOC 6， 于是BC 的长为 64 2 2 2 3 . (2)设AOC， 0，2 3 ，则BOC2 3 ， S四边形OACBSAOCSBOC1 24 24 2sin 1 24 24 2 sin 2 3 24sin 8 3cos 16 3si
16、n 6 ， 由于 0，2 3 ， 所以 6 6， 5 6 ， 当 3时，四边形 OACB 的面积取得最大值 16 3. 规律方法 1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利 用正弦、余弦定理求解. 2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利 用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来. 【训练 4】 (2019 成都诊断)如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 A 2，B 2 3 ， AB6.在 AB 边上取点 E，使得 BE1，连接 EC，ED.若CED2 3 ，EC 7. (1)求 sinBCE 的值； (2)求 CD 的长.
17、 解 (1)在BEC 中，由正弦定理，知 BE sinBCE CE sin B， 因为 B2 3 ，BE1，CE 7， 所以 sinBCEBE sin B CE 3 2 7 21 14 . (2)因为CEDB2 3 ，所以DEABCE， 所以 cosDEA1sin2DEA 1sin2BCE1 3 28 5 7 14 . 因为 A 2，所以AED 为直角三角形，又 AE5， 所以 ED AE cosDEA 5 5 7 14 2 7. 在CED 中， CD2CE2DE22CE DE cosCED7282 72 7 1 2 49. 所以 CD7. 思维升华 利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题
18、意，整合题目条件，画出示意图，建 立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数 模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义. 易错防范 在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含 条件. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.在相距 2 km 的 A， B 两点处测量目标点 C， 若CAB75 ， CBA60 ， 则 A， C 两点之间的距离为( ) A. 6 km B. 2 km C. 3 km D.2 km 解析 如图，在ABC 中，由已知可得ACB45 ， AC sin 60 2 sin
19、45 ， AC2 2 3 2 6(km). 答案 A 2.如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共线的一点 C(ABC 的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)，然后给出了 三种测量方案：测量 A，C，b；测量 a，b，C；测量 A，B，a.则一定能确 定 A，B 间的距离的所有方案的序号为( ) A. B. C. D. 解析 对于可以利用正弦定理确定唯一的 A，B 两点间的距离，对于直接 利用余弦定理即可确定 A，B 两点间的距离. 答案 D 3.一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行， 30 分钟后
20、到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏 东 70 ， 在 B 处观察灯塔， 其方向是北偏东 65 ， 那么 B， C 两点间的距离是( ) A.10 2海里 B.10 3海里 C.20 3海里 D.20 2海里 解析 如图所示，易知， 在 ABC 中，AB20，CAB30，ACB45 ， 根据正弦定理得 BC sin 30 AB sin 45 ， 解得 BC10 2(海里). 答案 A 4.(2019 咸阳模拟)一架直升飞机在 200 m 高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的 俯角分别是 30 和 60 ，则塔高为( ) A.400 3 m B.400 3 3
21、m C.200 3 3 m D.200 3 m 解析 如图所示. 在 RtACD 中可得 CD200 3 3 BE， 在ABE 中，由正弦定理得 AB sin 30 BE sin 60 ， 则 AB200 3 ，所以 DEBC200200 3 400 3 (m). 答案 A 5.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75 ，30 ，此 时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于( ) A.240( 31)m B.180( 21)m C.120( 31)m D.30( 31)m 解析 如图， ACD30 ，ABD75 ，AD60 m， 在 RtACD 中，CD
22、AD tanACD 60 tan 30 60 3(m)， 在 RtABD 中，BD AD tanABD 60 tan 75 60 2 360(2 3)(m)， BCCDBD60 360(2 3)120( 31)(m). 答案 C 二、填空题 6.如图，在ABC 中，B45 ，D 是 BC 边上一点，AD5，AC7，DC3，则 AB_. 解析 在ACD 中，由余弦定理可得 cos C49925 273 11 14， 则 sin C5 3 14 . 在ABC 中，由正弦定理可得 AB sin C AC sin B， 则 ABACsin C sin B 75 3 14 2 2 5 6 2 . 答案
23、5 6 2 7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 AOB，C 是该小区的一个出 入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇 形的半径为_米. 解析 连接 OC，由题意知 CD150 米，OD100 米，CDO60 . 在COD 中，由余弦定理得 OC2CD2OD22CD OD cos 60 ，即 OC50 7. 答案 50 7 8.如图所示， 位于 A 处的信息中心获悉： 在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘 渔船遇险，在原地
24、等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 的值为_. 解析 在ABC 中，AB40，AC20，BAC120 ， 由余弦定理得 BC2AB2AC22AB AC cos 120 2 800BC20 7. 由正弦定理，得 AB sinACB BC sinBAC sinACBAB BC sinBAC 21 7 . 由BAC120 ，知ACB 为锐角，则 cosACB2 7 7 . 由 ACB30 ，得 cos cos(ACB30 ) cosACBcos 30 sinACBsin 30 21 1
25、4 . 答案 21 14 三、解答题 9.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度 为 10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15 ，经过 420 s 后看 山顶的俯角为 45 ，则山顶的高度为多少米？(取 21.4， 31.7) 解 如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由题意知A15 ，DBC45 ， 所以ACB30 ，AB5042021 000(m). 又在ABC 中， BC sin A AB sinACB， 所以 BC21 000 1 2 sin 15 10 500( 6 2). 因为 CDAD，所以 CDBC sin
26、DBC 10 500( 6 2) 2 2 10 500( 31) 7 350(m). 故山顶的高度为 10 0007 3502 650(m). 10.在ABC 中，A3 4 ，AB6，AC3 2，点 D 在 BC 边上，ADBD，求 AD 的长. 解 设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c， 由余弦定理，得 a2b2c22bccosBAC(3 2)26223 26cos3 4 18 36(36)90， 所以 a3 10. 又由正弦定理，得 sin BbsinBAC a 3 3 10 10 10 ， 由题设知 0B0). 又 BD 7，DAB 3，由余弦定理， 得( 7)2(3k)2(2k)223k2kcos 3， 解得 k1，AD2，AB3， sinABDADsinDAB BD 2 3 2 7 21 7 . (2)ABBC，cosDBCsinABD 21 7 ， sinDBC2 7 7 ， BD sinBCD CD sinDBC， CD 72 7 7 3 2 4 3 3 .
