1、第第 2 节节 两两条条直线的位置关系直线的位置关系 最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直； 2.能用解方程组 的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离 公式，会求两条平行直线间的距离. 知 识 梳 理 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2k1k2.特别地， 当直线 l1，l2的斜率都不存在时，l1与 l2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1，l2斜率都存在，设为 k1，k2，则 l1l2k1k21，当一条直 线斜率为零，另一条直线斜率不存在时
2、，两条直线垂直. 2.两直线相交 直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组 A 1xB1yC10， A2xB2yC20 的解一一对应. 相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行方程组无解； 重合方程组有无数个解. 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平 面 上 任 意 两 点A(x1， y1) ， B(x2， y2) 间 的 距 离 公 式 为 |AB| （x2x1）2（y2y1）2. 特别地，原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|x2y2. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点 P0(x0，y0)到直线 l：AxBy
3、C0 的距离 d|Ax 0By0C| A2B2 . (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 间的距离 d |C1C2| A2B2. 微点提醒 1.两直线平行的充要条件 直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 平行的充要条件是 A1B2 A2B10 且 B1C2B2C10(或 A1C2A2C10). 2.两直线垂直的充要条件 直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 垂直的充要条件是 A1A2 B1B20. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)当直线 l1和
4、l2的斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.( ) (2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 解析 (1)两直线 l1，l2有可能重合. (2)如果 l1l2，若 l1的斜率 k10，则 l2的斜率不存在. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(必修 2P78 练习 2T2 改编)两条平行直线 3x4y120 与 ax8y110 之间 的距离为( ) A.23 5 B.23 10 C.7 D.7 2 解析 由题意知 a6，
5、直线 3x4y120 可化为 6x8y240，所以两平行 直线之间的距离为 |1124| 3664 7 2. 答案 D 3.(必修 2P79A3 改编)已知 P(2，m)，Q(m，4)，且直线 PQ 垂直于直线 xy1 0，则 m_. 解析 由题意知 m4 2m1，所以 m42m，所以 m1. 答案 1 4.(2019 郑州调研)直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则 m ( ) A.2 B.3 C.2 或3 D.2 或3 解析 直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行， 则有 2 m m1 3 4 2， 故 m2 或3. 答案 C 5.(2018 昆明诊断)圆(
6、x1)2y22 的圆心到直线 yx3 的距离为( ) A.1 B.2 C. 2 D.2 2 解析 圆(x1)2y22 的圆心坐标为(1，0)，由 yx3 得 xy30，则圆 心到直线的距离 d |103| 12（1）2 2. 答案 C 6.(2019 吉安期中)经过抛物线 y22x 的焦点且平行于直线 3x2y50 的直线 l 的方程是( ) A.6x4y30 B.3x2y30 C.2x3y20 D.2x3y10 解析 因为抛物线 y22x 的焦点坐标为 1 2，0 ，直线 3x2y50 的斜率为 3 2， 所以所求直线 l 的方程为 y3 2 x1 2 ，化为一般式，得 6x4y30. 答案
7、 A 考点一 两直线的平行与垂直 【例 1】 (1)(2019 河北五校联考)直线 l1：mx2y10，l2：x(m1)y10， 则“m2”是“l1l2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知三条直线 2x3y10，4x3y50，mxy10 不能构成三角形， 则实数 m 的取值集合为( ) A. 4 3， 2 3 B. 4 3， 2 3， 4 3 C. 4 3， 2 3 D. 4 3， 2 3， 2 3 解析 (1)由 l1l2得m(m1)1(2)，得 m2 或 m1，经验证，当 m 1 时，直线 l1与 l2重合，舍去，所以“m2
8、”是“l1l2”的充要条件. (2)由题意得直线 mxy10 与 2x3y10，4x3y50 平行，或者直线 mxy10 过 2x3y10 与 4x3y50 的交点.当直线 mxy10 与 2x 3y10，4x3y50 分别平行时，m2 3或 4 3；当直线 mxy10 过 2x 3y10 与 4x3y50 的交点时，m2 3.所以实数 m 的取值集合为 4 3， 2 3， 2 3 . 答案 (1)C (2)D 规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要 考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件
9、. 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结 论. 【训练 1】 (一题多解)已知直线 l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)ya21 0. (1)当 l1l2时，求 a 的值； (2)当 l1l2时，求 a 的值. 解 (1)法一 当 a1 时，l1：x2y60， l2：x0，l1不平行于 l2； 当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于 l2； 当 a1 且 a0 时， 两直线方程可化为 l1：ya 2x3，l2：y 1 1ax(a1)，由 l1l2 可得 a 2 1 1a， 3（a1）， 解得 a1. 综上可知，a1. 法二 由 l1l
10、2知 A 1B2A2B10， A1C2A2C10， 即 a（a1）120， a（a21）160 a 2a20， a（a21）6a1. (2)法一 当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1与 l2不垂直，故 a1 不符 合； 当 a1 时，l1：ya 2x3，l2：y 1 1ax(a1)， 由 l1l2，得 a 2 1 1a1a 2 3. 法二 l1l2，A1A2B1B20， 即 a2(a1)0，得 a2 3. 考点二 两直线的交点与距离问题 【例 2】 (1)求经过直线 l1：3x2y10 和 l2：5x2y10 的交点，且垂直于 直线 l3：3x5y60 的直线 l 的方程为_. (
11、2)(2019 广州模拟)已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则 a 的 取值范围是_. (3)(2019 西安模拟)若两平行直线 3x2y10，6xayc0 之间的距离为 2 13 13 ，则 c 的值是_. 解析 (1)先解方程组 3x2y10， 5x2y10， 得 l1，l2的交点坐标为(1，2)， 再由 l3的斜率3 5求出 l 的斜率为 5 3， 于是由直线的点斜式方程求出 l： y25 3(x1)，即 5x3y10. (2)由题意得，点 P 到直线的距离为|443a1| 5 |153a| 5 . 又|153a| 5 3，即|153a|15，解之得 0a10，
12、 所以 a 的取值范围是0，10. (3)依题意知，6 3 a 2 c 1，解得 a4，c2，即直线 6xayc0 可化为 3x2yc 20，又两平行线之间的距离为 2 13 13 ，所以 c 21 32（2）2 2 13 13 ，解 得 c2 或6. 答案 (1)5x3y10 (2)0，10 (3)2 或6 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条 件写出直线方程. 2.利用距离公式应注意：(1)点 P(x0，y0)到直线 xa 的距离 d|x0a|，到直线 y b 的距离 d|y0b|；(2)应用两平行线间的距离公
13、式要把两直线方程中 x，y 的 系数分别化为相等. 【训练 2】 (1)(2019 贵阳监测)已知曲线 yax(a0 且 a1)恒过点 A(m，n)，则点 A 到直线 xy30 的距离为_. (2)(一题多解)直线 l 过点 P(1，2)且到点 A(2，3)和点 B(4，5)的距离相等，则 直线 l 的方程为_. 解析 (1)由题意，可知曲线 yax(a0 且 a1)恒过点(0，1)，所以 A(0，1)，点 A(0，1)到直线 xy30 的距离 d|013| 2 2. (2)法一 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxyk 20. 由题意知|2k3k2| k2
14、1 |4k5k2| k21 ， 即|3k1|3k3|，k1 3. 直线 l 的方程为 y21 3(x1)， 即 x3y50. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意. 法二 当 ABl 时，有 kkAB1 3，直线 l 的方程为 y2 1 3(x1)，即 x3y 50. 当 l 过 AB 中点时，AB 的中点为(1，4). 直线 l 的方程为 x1. 故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1. 答案 (1) 2 (2)x3y50 或 x1 考点三 对称问题 多维探究 角度 1 对称问题的求解 【例 31】 若点(a，b)关于直线 y2x 的对称点在 x 轴上，则
15、 a，b 满足的条件 为( ) A.4a3b0 B.3a4b0 C.2a3b0 D.3a2b0 解析 设点(a，b)关于直线 y2x 的对称点为(t，0)，则有 b0 at21， b0 2 2at 2 ， 解得 4a3b0. 答案 A 角度 2 对称问题的应用 【例 32】 (一题多解)光线沿直线 l1：x2y50 射入，遇直线 l：3x2y7 0 后反射，求反射光线所在的直线方程. 解 法一 由 x2y50， 3x2y70，得 x1， y2. 反射点 M 的坐标为(1，2). 又取直线 x2y50 上一点 P(5，0)，设 P 关于直线 l 的对称点 P(x0，y0)， 由 PPl 可知，k
16、PP2 3 y0 x05. 而 PP的中点 Q 的坐标为 x05 2 ，y0 2 ，又 Q 点在 l 上， 3 x05 2 2 y0 270. 由 y0 x05 2 3， 3 2（x05）y070， 得 x017 13， y032 13. 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29x2y330. 法二 设直线 x2y50 上任意一点 P(x0，y0)关于直线 l 的对称点为 P(x，y)， 则y 0y x0x 2 3， 又 PP的中点 Q xx0 2 ，yy 0 2 在 l 上，3 xx0 2 2 yy0 2 70，由 y0y x0x 2 3， 3xx 0 2 （yy0）70.
17、 可得 P 点的横、纵坐标分别为 x05x12y42 13 ，y012x5y28 13 ， 代入方程 x2y50 中，化简得 29x2y330， 所求反射光线所在的直线方程为 29x2y330. 规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点， 点 M 与点 N 关于直线 l 对称， 则线段 MN 的中点在直线 l 上，且直线 l 与直线 MN 垂直. 2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题. 3.若直线 l1，l2关于直线 l 对称，则有如下性质：(1)若直线 l1与 l2相交，则交点在 直线 l 上；(2)若点 B 在直线 l1上，则其关于直线 l 的对称点
18、B在直线 l2上. 【训练 3】 已知三角形的一个顶点 A(4，1)，它的两条角平分线所在直线的方 程分别为 l1：xy10 和 l2：x10，则 BC 边所在直线的方程为_. 解析 A 不在这两条角平分线上， 因此 l1， l2是另两个角的角平分线所在直线.点 A 关于直线 l1的对称点 A1，点 A 关于直线 l2的对称点 A2均在边 BC 所在直线 l 上. 设 A1(x1，y1)， 则有 y11 x1411， x14 2 y 11 2 10， 解得 x 10， y13，所以 A1(0，3). 同理设 A2(x2，y2)，易求得 A2(2，1). 所以 BC 边所在直线方程为 2xy30
19、. 答案 2xy30 思维升华 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直 线 l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么 另一条直线的斜率一定要特别注意. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问 题. 易错防范 1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都 有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑. 2.在运用两平行直线间的距离公式 d |C1C2| A2B2时，一定要注意将两方程中 x，y 的系数分别化为相同的形式. 数学抽象活用直线系方程 1.
20、数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则， 能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系 方程就是其具体表现之一. 2.直线系方程的常见类型 (1)过定点 P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k 是参数，直线系中未包括 直线 xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； (2)平行于已知直线 AxByC0 的直线系方程是：AxBy0( 是参数且 C)； (3)垂直于已知直线 AxByC0 的直线系方程是：BxAy0( 是参数)； (4)过两条已知直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系 方
21、程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，但不包括 l2). 类型 1 相交直线系方程 【例 1】 (一题多解)已知两条直线 l1： x2y40 和 l2： xy20 的交点为 P， 求过点 P 且与直线 l3：3x4y50 垂直的直线 l 的方程. 解 法一 解 l1与 l2组成的方程组得到交点 P(0，2)，因为 k33 4，所以直线 l 的 斜率 k4 3，方程为 y2 4 3x，即 4x3y60. 法二 设所求 l 的直线为：4x3yc0，由法一可知：P(0，2)，将其代入方程， 得 c6，所以直线 l 的方程为 4x3y60. 法三 设所求直线 l 的方程为：x2y4(xy2
22、)0，即(1)x(2)y4 20，因为直线 l 与 l3垂直，所以 3(1)4(2)0，所以 11，所以直 线 l 的方程为 4x3y60. 类型 2 平行直线系方程 【例 2】 求过点 A(1，4)且与直线 2x3y50 平行的直线方程. 解 设所求直线方程为 2x3yc0(c5)，由题意知，213(4)c0， 所以 c10，故所求直线方程为 2x3y100. 【例 3】 已知直线 l1与直线 l2：x3y60 平行，l1能和 x 轴、y 轴围成面积为 8 的三角形，请求出直线 l1的方程. 解 设直线 l1的方程为：x3yc0(c6)，则令 y0，得 xc；令 x0，得 yc 3，依照题意
23、有： 1 2|c| c 3 8，c 4 3.所以 l1的方程是：x3y 4 3 0. 【例 4】 (一题多解)已知直线方程 3x4y70，求与之平行而且在 x 轴、y 轴 上的截距和是 1 的直线 l 的方程. 解 法一 设存在直线 l：x a y b1，则 ab1 和 b a 3 4组成的方程组的解为 a 4，b3. 故 l 的方程为：x 4 y 31，即 3x4y120. 法二 根据平行直线系方程的内容可设直线 l 为：3x4yc0(c7)，则直线 l 在两坐标轴上截距分别对应的是c 3， c 4，由 c 3 c 41，知 c12.故直线 l 的方 程为：3x4y120. 类型 3 垂直直
24、线系方程 【例 5】 求经过 A(2，1)，且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程. 解 因为所求直线与直线 2xy100 垂直， 所以设该直线方程为 x2yc0， 又直线过点 A(2，1)， 所以有 221c0，解得 c0， 即所求直线方程为 x2y0. 类型 4 直线系方程的应用 【例 6】 已知三角形三边所在的直线方程分别为：2xy40，xy70， 2x7y140，求边 2x7y140 上的高所在的直线方程. 解 设所求高所在的直线方程为 2xy4(xy7)0， 即(2)x(1)y(47)0， 可得(2)2(1)(7)0，解得11 5 ， 所以所求高所在的直线方程为 7x2y19
25、0. 【例 7】 求过直线 2x7y40 与 7x21y10 的交点， 且和 A(3， 1)， B(5， 7)等距离的直线方程. 解 设所求直线方程为 2x7y4(7x21y1)0， 即(27)x(721)y(4)0， 由点 A(3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得 |（27）（3）（721）14| （27）2（721）2 |（27）5（721）74| （27）2（721）2 ， 整理可得|433|11355|，解得 29 35或 1 3， 所以所求的直线方程为 21x28y130 或 x1. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.直线 2xym0 和 x2yn0 的
26、位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定 解析 直线 2xym0 的斜率 k12，直线 x2yn0 的斜率为 k21 2， 则 k1k2，且 k1k21. 答案 C 2.已知两直线方程分别为 l1：xy1，l2：ax2y0，若 l1l2，则 a( ) A.2 B.2 C.1 2 D.1 2 解析 因为 l1l2，所以 k1k21，即a 21，解得 a2. 答案 B 3.(一题多解)过两直线 l1： x3y40 和 l2： 2xy50 的交点和原点的直线方 程为( ) A.19x9y0 B.9x19y0 C.19x3y0 D.3x19y0 解析 法一 由 x3y40，
27、 2xy50，得 x19 7 ， y3 7， 则所求直线方程为：y 3 7 19 7 x 3 19x，即 3x19y0. 法二 设直线方程为 x3y4(2xy5)0， 即(12)x(3)y450，又直线过点(0，0)， 所以(12) 0(3) 0450， 解得 4 5，故所求直线方程为 3x19y0. 答案 D 4.从点(2，3)射出的光线沿与向量 a(8，4)平行的直线射到 y 轴上，则反射光线 所在的直线方程为( ) A.x2y40 B.2xy10 C.x6y160 D.6xy80 解析 由直线与向量 a(8，4)平行知，过点(2，3)的直线的斜率 k1 2，所以直线 的方程为 y31 2
28、(x2)，其与 y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于 y 轴的 对称点为(2，3)，所以反射光线过点(2，3)与(0，2)，由两点式知 A 正确. 答案 A 5.(2019 运城二模)在平面直角坐标系内，过定点 P 的直线 l：axy10 与过定 点 Q 的直线 m：xay30 相交于点 M，则|MP|2|MQ|2( ) A. 10 2 B. 10 C.5 D.10 解析 由题意知 P(0，1)，Q(3，0)，过定点 P 的直线 axy10 与过定点 Q 的直线 xay30 垂直， MPMQ，|MP|2|MQ|2|PQ|29110. 答案 D 6.(2019 安庆模拟)若直线 l1
29、：x3ym0(m0)与直线 l2：2x6y30 的距离 为 10，则 m( ) A.7 B.17 2 C.14 D.17 解析 直线 l1：x3ym0(m0)，即 2x6y2m0，因为它与直线 l2：2x 6y30 的距离为 10，所以|2m3| 436 10，求得 m 17 2 . 答案 B 7.已知坐标原点关于直线 l1：xy10 的对称点为 A，设直线 l2经过点 A，则当 点 B(2，1)到直线 l2的距离最大时，直线 l2的方程为( ) A.2x3y50 B.3x2y50 C.3x2y50 D.2x3y50 解析 设 A(x0，y0)，依题意可得 x0 2 y0 210， y0 x0
30、1， 解得 x 01， y01， 即 A(1，1).设 点 B(2，1)到直线 l2的距离为 d，当 d|AB|时取得最大值，此时直线 l2垂直于 直线 AB，又 1 kAB 3 2，直线 l2 的方程为 y13 2(x1)，即 3x2y50 . 答案 B 8.一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线 l：xy10 上的 P 点，再从 P 点出 发爬行到点 A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B.2 C.3 D.4 解析 点(0，0)关于直线 l：xy10 的对称点为(1，1)，则最短路程为 （11）2（11）22. 答案 B 二、填空题 9.(2018 郑州模拟)如果直线
31、ax2y3a0 与直线 3x(a1)ya7 平行，则 a _. 解析 直线 ax2y3a0 与直线 3x(a1)ya7 平行，即直线 ax2y 3a0 与直线 3x(a1)y(a7)0 平行，a 3 2 a1 3a （a7），解得 a 3. 答案 3 10.(2019 安徽四校联考)已知入射光线经过点 M(3，4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过点 N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_. 解析 设点 M(3，4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)，则反射光线 所在直线过点 M，所以 b4 a（3）1， 3a 2 b4 2 30， 解得 a1，b0.又反射光线经 过
32、点 N(2，6)，所以所求直线的方程为y0 60 x1 21，即 6xy60. 答案 6xy60 11.(一题多解)(2018 南昌模拟)已知点 A(1，0)，B(3，0)，若直线 ykx1 上存在 一点 P，满足 PAPB，则 k 的取值范围是_. 解析 法一 设 P(x0， kx01)， 依题意可得 kPA kPB1， 即kx 01 x01 kx 01 x03 1， 即(k21)x20(2k4)x040， 则 (2k4)216(k21)0， 化简得 3k24k0， 解得4 3k0，故 k 的取值范围是 4 3，0 . 法二 若直线 ykx1 上存在点 P，满足 PAPB，则直线 ykx1
33、与以 AB 为 直径的圆(x2)2y21 有公共点，故 |2k1| 1k21，即 3k 24k0，故4 3k0， k 的取值范围为 4 3，0 . 答案 4 3，0 三、解答题 12.已知方程(2)x(1)y2(32)0 与点 P(2，2). (1)证明：对任意的实数 ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并 求出这一定点的坐标； (2)证明：该方程表示的直线与点 P 的距离 d 小于 4 2. (1)解 显然 2 与(1)不可能同时为零，故对任意的实数 ，该方程都表示 直线. 方程可变形为 2xy6(xy4)0， 2xy60， xy40， 解得 x2， y2， 故直线经过的定点为 M
34、(2，2). (2)证明 过 P 作直线的垂线段 PQ， 由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|， 当且仅当 Q 与 M 重合时，|PQ|PM|， 此时对应的直线方程是 y2x2，即 xy40. 但直线系方程唯独不能表示直线 xy40， M 与 Q 不可能重合，即|PM|4 2， |PQ|0，c0)恒过点 P(1，m)且 Q(4，0)到动直线 l 的最大距离为 3，则 1 2a 2 c的最小值为( ) A.9 2 B.9 4 C.1 D.9 解析 因为动直线 l：axbyc20(a0，c0)恒过点 P(1，m)，所以 abm c20，设点 Q(4，0)到直线 l 的距离为 d，当 d|PQ|时取最
35、大值，所以 （41）2（m）23，解得 m0.所以 ac2，则 1 2a 2 c 1 2(ac) 1 2a 2 c 1 2 5 2 c 2a 2a c 1 2( 5 22 c 2a 2a c )9 4，当且仅当 c2a 4 3时取等号. 答案 B 15.若ABC 的顶点 A(5，1)，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2xy50， AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x2y50，则直线 BC 的方程为_. 解析 由 AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x2y50 可以知道 kAC2，又 A(5，1)， AC 边所在直线方程为 2xy110， 联立直线 AC 与直线 CM 方程得 2x
36、y110， 2xy50， 解得 x4， y3，所以顶点 C 的坐标为 C(4，3). 设 B(x0，y0)，AB 的中点 M 为 x05 2 ，y 01 2 ， 由 M 在直线 2xy50 上，得 2x0y010， B 在直线 x2y50 上，得 x02y050， 联立 2x 0y010， x02y050. 解得 x 01， y03， 所以顶点 B 的坐标为(1，3). 于是直线 BC 的方程为 6x5y90. 答案 6x5y90 16.在平面直角坐标系 xOy 中，将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度，沿 y 轴 正方向平移 5 个单位长度，得到直线 l1.再将直线 l1沿 x
37、轴正方向平移 1 个单位长 度，沿 y 轴负方向平移 2 个单位长度，又与直线 l 重合.若直线 l 与直线 l1关于点 (2，3)对称，则直线 l 的方程是_. 解析 由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykxb，将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度，沿 y 轴正方向平移 5 个单位长度，得到直线 l1：y k(x3)5b，将直线 l1沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，沿 y 轴负方向平移 2 个单位长度，则平移后的直线方程为 yk(x31)b52，即 ykx3 4kb，b34kb，解得 k3 4，直线 l 的方程为 y 3 4xb，直线 l1 为 y3 4 x11 4 b，取直线 l 上的一点 P m，b3m 4 ，则点 P 关于点(2，3)的对称点为 4m，6b3m 4 ， 6b3m 4 3 4(4m)b 11 4 ，解得 b1 8. 直线 l 的方程是 y3 4x 1 8，即 6x8y10. 答案 6x8y10
