1、第第 3 节节 二项式定理二项式定理 最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理； 2.会用二项式定理解决与二项展开式 有关的简单问题. 知 识 梳 理 1.二项式定理 (1)二项式定理：(ab)nC0nanC1nan 1bCr nan rbrCn nbn(nN+)； (2)通项公式：Tr1Crnan rbr，它表示第 r1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 C0n，C1n，Cnn. 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即 CknCn k n 增减性 二项式系数 Ckn 当 kn1 2 (nN+)时，是递增的 当 kn1 2 (nN+)时
2、，是递减的 二项式系数 最大值 当 n 为偶数时，中间的一项 2 C n n 取得最大值 当 n 为奇数时，中间的两项 1 2 C n n 与 1 2 C n n 取得最大值 3.各二项式系数和 (1)(ab)n展开式的各二项式系数和：C0nC1nC2nCnn2n. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和， 即 C0nC2nC4n C1nC3nC5n2n 1. 微点提醒 (ab)n的展开式形式上的特点 (1)项数为 n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母
3、 b 按升幂 排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式的系数从 C0n，C1n，一直到 Cn 1 n ，Cnn. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)Cknan kbk 是二项展开式的第 k 项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关.( ) (4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系 数不同.( ) 解析 二项式展开式中 Cknan kbk 是第 k1 项， 二项式系数最大的项为中间一项或 中间两项，故(1)(2
4、)均不正确. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(选修 23P27 练习 2 改编)(xy)n的二项展开式中，第 m 项的系数是( ) A.Cm n B.Cm 1 n C.Cm 1 n D.(1)m 1Cm1 n 解析 (xy)n展开式中第 m 项的系数为 Cm 1 n (1)m 1. 答案 D 3.(选修 23P27 例 6 改编) C02 019C12 019C22 019C2 019 2 019 C02 018C22 018C42 018C2 018 2 018的值为( ) A.2 B.4 C.2 019 D.2 0182 019 解析 原式 22 019 22 018 1224
5、. 答案 B 4.(2018 全国卷) x22 x 5 的展开式中 x4的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 解析 Tr1Cr5(x2)5 r 2 x r Cr52rx10 3r，由 103r4，得 r2，所以 x4 的系数为 C252240. 答案 C 5.(2019 南昌调研)已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列 a1，a2，a3， ak(1k11，kN)是一个递增数列，则 k 的最大值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 由二项式定理知，anCn 1 10(n1，2，3，11). 又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第 6 项， 所以 a
6、6C510，则 k 的最大值为 6. 答案 B 6.(2018 浙江卷)二项式 3 x 1 2x 8 的展开式的常数项是_. 解析 该二项展开式的通项公式为 Tr1Cr8x 8r 3 1 2x r Cr8 1 2 r x 84r 3 .令84r 3 0，解 得 r2，所以所求常数项为 C28 1 2 2 7. 答案 7 考点一 通项公式及其应用 多维探究 角度 1 求二项展开式中的特定项 【例 11】 (1)(2018 信阳二模)(x21) 1 x2 5 的展开式的常数项是( ) A.5 B.10 C.32 D.42 (2) 3 x 1 23x 10 的展开式中所有的有理项为_. 解析 (1)
7、由于 1 x2 5 的通项为 Cr5 1 x 5r (2)rCr5 (2)r x r5 2 ，故(x2 1) 1 x2 5 的展开式的常数项是 C15 (2)C55(2)542. (2)二项展开式的通项公式为 Tk1Ck10 1 2 k x 102k 3 . 由题意102k 3 Z，且 0k10，kN. 令102k 3 r(rZ)，则 102k3r，k53 2r， kN，r 应为偶数. r 可取 2，0，2，即 k 可取 2，5，8， 第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为45 4 x2， 63 8 ， 45 256x 2. 答案 (1)D (2)45 4 x2，63 8 ，
8、45 256x 2 规律方法 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符 合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 r1， 代回通项公式即可. 角度 2 求二项展开式中特定项的系数 【例 12】 (1)(多项式是积 的形式)(2017 全国卷) 1 1 x2 (1x)6的展开式中 x2 的系数为( ) A.15 B.20 C.30 D.35 (2)(多项式是和 的形式)已知(1ax)3(1x)5的展开式中含 x3的系数为2，则 a 等于( ) A.2 3 B.2 C.2 D.1 (3)(一题多解)(三项展开式问题)(x2xy)5的展开式中，x5y2的
9、系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 解析 (1)因为(1x)6的通项为Cr6xr， 所以 1 1 x2 (1x)6展开式中含x2的项为1 C26 x2和 1 x2 C 4 6x4，因为 C26C462C26265 2130， 所以 1 1 x2 (1x)6展开式中 x2的系数为 30. (2)(1ax)3(1x)5的展开式中 x3的系数为 C33a3C35(1)3a3102，则 a3 8，解得 a2. (3)法一 (x2xy)5(x2x)y5， 含 y2的项为 T3C25(x2x)3 y2. 其中(x2x)3中含 x5的项为 C13x4 xC13x5. 所以 x5y2的系数为
10、 C25C1330. 法二 (x2xy)5表示 5 个 x2xy 之积. x5y2可从其中 5 个因式中，两个取因式中 x2，剩余的 3 个因式中 1 个取 x，其余 因式取 y，因此 x5y2的系数为 C25C13C2230. 答案 (1)C (2)B (3)C 规律方法 1.求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项， 再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解. 2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考 虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可. 3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式
11、积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整 体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形. 【训练 1】 (1)(2017 全国卷改编)(xy)(2xy)5的展开式中 x3y3的系数为 _. (2)在(1 3 x)7 x a x 6 的展开式中，若 x2的系数为 19，则 a_. 解析 (1)由二项式定理可得， 展开式中含 x3y3的项为x C35(2x)2(y)3y C25(2x)3( y)240x3y3，则 x3y3的系数为 40. (2)(1 3 x)7 x a x 6 的展开式中x2的系数为 C67( 3 x)6C16( x)5 a
12、x 1 C67x2 C16x2a，则 aC16C6719，解得 a2. 答案 (1)40 (2)2 考点二 二项式系数与各项的系数问题 【例 2】 (1)(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a _. (2)(2018 汕头质检)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0 a2a8)2(a1a3a9)239，则实数 m 的值为_. 解析 (1)设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 令 x1，得 16(a1)a0a1a2a3a4a5， 令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5. ，得 16(a1)2(a1a3a
13、5)， 即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a1a3a58(a1)，所以 8(a1)32， 解得 a3. (2)令 x0，则(2m)9a0a1a2a9， 令 x2，则 m9a0a1a2a3a9， 又(a0a2a8)2(a1a3a9)2 (a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39， (2m)9 m939，m(2m)3， m3 或 m1. 答案 (1)3 (2)1 或3 规律方法 1.“赋值法”普遍适用于恒等式， 是一种重要的方法， 对形如(axb)n， (ax2bxc)m (a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2.若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(
14、x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项 系数之和为 a0a2a4f（1）f（1） 2 ，偶数项系数之和为 a1a3a5 f（1）f（1） 2 . 【训练 2】 (1)(2019 汉中模拟)已知 x32 x n 的展开式的各项系数和为 243，则展 开式中 x7的系数为( ) A.5 B.40 C.20 D.10 (2)(2019 湘潭三模)若(1x)(12x)8a0a1xa9x9， xR， 则 a1 2a2 22 a9 29的值为( ) A.29 B.291 C.39 D.391 解析 (1)由 x32 x n 的展开式的各项系数和为 243，令 x1 得 3n243，即 n5， x32
15、 x n x32 x 5 ，则 Tr1Cr5 (x3)5 r 2 x r 2r Cr5 x15 4r，令 154r7，得 r 2，展开式中 x7的系数为 22C2540. (2)(1x)(12x)8a0a1xa2x2a9x9，令 x0，得 a01；令 x2，得 a0 a1 2a2 22a9 2939， a1 2a2 22a9 29391. 答案 (1)B (2)D 考点三 二项式系数的性质 多维探究 角度 1 二项式系数的最值问题 【例 31】 (2019 马鞍山二模)二项式 3x 1 3 x n 的展开式中只有第 11 项的二项 式系数最大，则展开式中 x 的指数为整数的项的个数为( ) A
16、.3 B.5 C.6 D.7 解析 根据 3x 1 3 x n 的展开式中只有第 11 项的二项式系数最大，得 n20， 3x 1 3 x n 的展开式的通项为 Tr1Cr20 ( 3x)20 r 1 3 x r ( 3)20 r Cr 20 x20 4r 3， 要使 x 的指数是整数，需 r 是 3 的倍数，r0，3，6，9，12，15，18，x 的 指数是整数的项共有 7 项. 答案 D 角度 2 项的系数的最值问题 【例 32】 已知( 3 xx2)2n的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展开式的二项 式系数和大 992，则在 2x1 x 2n 的展开式中，二项式系数最大的项为_，系
17、数的绝对值最大的项为_. 解析 由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，故 2n32，解得 n5. 由二项式系数的性质知， 2x1 x 10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大，故二项 式系数最大的项为 T6C510(2x)5 1 x 5 8 064. 设第 k1 项的系数的绝对值最大， 则 Tk1Ck10 (2x)10 k 1 x k (1)kCk10 210 k x102k， 令 C k 10 210 kCk1 10 210 k1， Ck10 210 kCk1 10 210 k1，得 C k 102Ck 1 10， 2Ck10Ck 1 10， 即 11k2k， 2（k1
18、）10k，解得 8 3k 11 3 . kZ，k3. 故系数的绝对值最大的项是第 4 项， T4C310 27 x415 360x4. 答案 8 064 15 360x4 规律方法 1.二项式系数最大项的确定方法：当 n 为偶数时，展开式中第n 21 项 的二项式系数最大，最大值为 2 C n n ；当 n 为奇数时，展开式中第n1 2 项和第n3 2 项 的二项式系数最大，最大值为 1 2 C n n 或 1 2 C n n . 2.二项展开式系数最大项的求法 如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开 式各项系数分别为 A1，A2，An1，且第 k 项系
19、数最大，应用 A kAk1， AkAk1，从而 解出 k 来，即得. 【训练 3】 已知 m 为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为 a， (xy)2m 1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a7b，则 m( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 由题意可知，aCm 2m，bCm2m1. 13a7b，13 （2m）！ m！m！ 7 （2m1）！ m！（m1）！， 即13 7 2m1 m1 ，解得 m6. 答案 B 思维升华 1.二项式定理及通项的应用 (1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用. 有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当
20、配凑后逆用二项式定理. (2)运用二项式定理一定要牢记通项 Tk1Cknan kbk，注意(ab)n 与(ba)n虽然相 同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要 注意顺序问题. (3)在通项 Tk1Cknan kbk(nN*)中，要注意有 nN*，kN，kn，即 k0，1， 2，n. 2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值 是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部 分系数和，常赋的值为 0， 1. 易错防范 1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指 C0n， C1n， ， Cnn
21、， 它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的 常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关. 2.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念. 基础巩固题组 (建议用时：35 分钟) 一、选择题 1.已知 x1 x 7 的展开式的第 4 项等于 5，则 x 等于( ) A.1 7 B.1 7 C.7 D.7 解析 由 T4C37x4 1 x 3 5，得 x1 7. 答案 B 2.已知(1x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.21
22、2 解析 由题意，C3nC7n，解得 n10.则奇数项的二项式系数和为 2n 129. 答案 A 3.(2019 广州测试)使 x2 1 2x3 n (nN+)展开式中含有常数项的 n 的最小值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 Tr1Crn(x2)n r 1 2x3 r 1 2rC r nx2n 5r， 令 2n5r0，得 n5 2r，又 nN+， 所以 n 的最小值是 5. 答案 C 4.(2019 邯郸二模)在 x 3 x n 的展开式中， 各项系数和与二项式系数和之比为 64， 则 x3的系数为( ) A.15 B.45 C.135 D.405 解析 令 x 3 x n 中
23、 x 为 1， 得各项系数和为 4n， 又展开式的各项的二项式系数和 为 2n，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，4 n 2n64，解得 n6， 二项式的展开式的通项公式为 Tr1Cr6 3r x6 3 2 r，令 63 2r3，求得 r2，故展 开式中 x3的系数为 C26 32135. 答案 C 5.(2019 上饶二模)若(x2a) x1 x 10 的展开式中 x6的系数为 30，则 a 等于( ) A.1 3 B.1 2 C.1 D.2 解析 x1 x 10 展开式的通项公式为Tr1Cr10 x10 r 1 x r Cr10 x10 2r， 令102r4， 解得 r3，所以
24、 x4项的系数为 C310，令 102r6，解得 r2，所以 x6项的系数 为 C210，所以(x2a) x1 x 10 的展开式中 x6的系数为 C310aC21030，解得 a2. 答案 D 6.(13x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，求|a0|a1|a2|a3|a4|a5| ( ) A.1 024 B.243 C.32 D.24 解析 令 x1 得 a0a1a2a3a4a5|a0|a1|a2|a3|a4|a5|1 (3)5451 024. 答案 A 7.已知 C0n2C1n22C2n23C3n2nCnn729， 则 C1nC2nC3nCnn等于( ) A.63 B.64
25、C.31 D.32 解析 逆用二项式定理得 C0n2C1n22C2n23C3n2nCnn(12)n3n729， 即 3n36，所以 n6，所以 C1nC2nC3nCnn26C0n64163. 答案 A 8.若(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则 a0a2a4a2n等于( ) A.2n B.3 n1 2 C.2n 1 D.3 n1 2 解析 设 f(x)(1xx2)n， 则 f(1)3na0a1a2a2n， f(1)1a0a1a2a3a2n， 由得 2(a0a2a4a2n)f(1)f(1)， 所以 a0a2a4a2nf（1）f（1） 2 3 n1 2 . 答案 D 二、填空题 9.已
26、知(13x)n的展开式中含有 x2项的系数是 54，则 n_. 解析 (13x)n的展开式的通项为 Tr1Crn(3x)r，令 r2，得 T39C2nx2，由题意 得 9C2n54，解得 n4. 答案 4 10.(2019 石家庄调研)(1x)n的二项展开式中，仅第 6 项的系数最大，则 n _. 解析 (1x)n的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n 216，n 10. 答案 10 11.若将函数 f(x)x5表示为 f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中 a0，a1，a2，a5为实数，则 a3_(用数字作答). 解析 f(x)x5(1x1)5，它的通项为 T
27、k1Ck5(1x)5 k (1)k，令 5k3， 则 k2，所以 T3C25(1x)3(1)210(1x)3，a310. 答案 10 12.(2018 铜川二模) 2x1 x1 5 的展开式中常数项是_(用数字作答). 解析 2x1 x1 5 2x1 x 1 5 （1） 2x1 x 5 的展开式中通项公式：Tr1Cr5(1)5 r 2x1 x r ， 其中 2x1 x r 的通项公式： Tk1Ckr(2x)r k 1 x k 2r kCk rxr 2k， 令 r2k0，则 k0，r0；k1，r2；k2，r4. 因此常数项为 C05(1)5C25(1)32C12C45(1)22C24161. 答
28、案 161 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13.(2019 河南百校联盟模拟)(32xx4)(2x1)6的展开式中，含 x3项的系数为 ( ) A.600 B.360 C.600 D.360 解析 由二项展开式的通项公式可知，展开式中含 x3项的系数为 3C3623(1)3 2C4622(1)4600. 答案 C 14.在 1x 1 x2 019 10 的展开式中，含 x2项的系数为( ) A.10 B.30 C.45 D.120 解析 因为 1x 1 x2 019 10 （1x） 1 x2 019 10 (1x)10C110(1x)9 1 x2 019 C10 10 1 x2 01
29、9 10 ，所以 x2项只能在(1x)10的展开式中，所以含 x2的项为 C210x2，系 数为 C21045. 答案 C 15.(2019 安徽江南十校联考)若(xy1)3(2xya)5的展开式中各项系数的和为 32， 则该展开式中只含字母 x 且 x 的次数为 1 的项的系数为_(用数字作 答). 解析 令 xy1(a1)532a1，故原式(xy1)3(2xy1)5x(y 1)32x(1y)5，可知展开式中 x 的系数为 C13C33(1)3C15 27. 答案 7 16.设(1ax)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018， 若 a12a23a32 018a2 018 2 018a(a0)，则实数 a_. 解析 已知(1ax)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018，两边同时对 x 求导， 得 2 018(1ax)2 017(a)a12a2x3a3x22 018a2 018x2 017， 令 x1 得，2 018a(1a)2 017a12a23a32 018a2 0182 018a， 又 a0，所以(1a)2 0171，即 1a1，故 a2. 答案 2
