1、第第 6 节节 空间向量及空间向量及空间位置关系空间位置关系 最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空 间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示， 能用向量的数量积判断向量的共线和垂直； 4.理解直线的方向向量及平面的法向量；5.能用向量语言表述线线、线面、面面的 平行和垂直关系；6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单 定理. 知 识 梳 理 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等
2、的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重 合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要条件是存在实数 ，使得 ab. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中 x，yR，a，b 为不共线向量，推 论的表达式为MP xMA yMB 或对空间任意一点 O，有OP OM xMA yMB 或 OP xOM yOA zOB ，其中 xyz1. (3)空间向量基本定理 如果向量 e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯 一一组实数
3、 1，2，3，使得 a1e12e23e3. 空间中不共面的三个向量 e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫作向量 a 与 b 的夹角，记作a，b ，其范围是0，若a，b 2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 ab. 非零向量 a，b 的数量积 a b|a|b|cosa，b. (2)空间向量数量积的运算律： 结合律：(a) b(a b)； 交换律：a bb a； 分配律：a (bc)a ba c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设 a(a1，a
4、2，a3)，b(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a b a1b1a2b2a3b3 共线 ab(b0，R) a1b1，a2b2，a3b3 垂直 a b0(a0，b0) a1b1a2b2a3b30 模 |a| a2 1a22a23 夹角 a，b(a0，b0) cosa，b a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23 5.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称AB 为直线 l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b
5、 是平面 内两不共线向量，n 为平 面 的法向量，则求法向量的方程组为 n a0， n b0. 6.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线 l1， l2的方向向量分别 为 n1，n2 l1l2 n1n2n1n2 l1l2 n1n2n1 n20 直线 l 的方向向量为 n， 平 面的法向量为 m l nmn m0 l nmnm 平面 ， 的法向量分别为 n，m nmnm nmn m0 微点提醒 1.在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：OA xOB yOC (其中 xy1)，O 为平面内任意一点. 2.在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：OP xOA yOB zOC
6、(其中 x yz1)，O 为空间任意一点. 3.向量的数量积满足交换律、分配律，即 a bb a，a (bc)a ba c 成立，但 不满足结合律，即(a b) ca (b c)不一定成立. 4.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向 量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)若直线 a 的方向向量和平面 的法向量平行，则 a.( ) (3)若a，b，c是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多有一个零向量.( ) (4)若 a b0，则
7、a，b是钝角.( ) (5)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( ) 解析 (1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个； (2)a；(3)若 a，b，c 中有一个是 0，则 a，b，c 共面，不能构成一个基底；(4) 若a，b，则 a b0，P 2 1， 3 1， 2 1 . 设平面 PAC 的法向量为 m(x，y，z). 由AP 2 1， 3 1， 2 1 ，AC (0，2 3，0)， 得 m AP 2 1x 3 1y 2 1z0， m AC 2 3y0， 即 y0， z2 2 x， 令 x1，则 z2 2 ， 所以 m 1，0，2 2 为平面 PAC 的一个法向量. 同理，可求得 n 1
8、， 3 3 ，1 为平面 BCEF 的一个法向量. 当 m n0，即 2 3时，平面 PAC平面 BCEF， 故存在满足题意的点 P，此时|BP| |PE| 2 3. 规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理. (2)探索性问题的关键是设点：空间中的点可设为(x，y，z)；坐标平面内的点 其中一个坐标为 0，如 xOy 面上的点为(x，y，0)；坐标轴上的点两个坐标为 0， 如 z 轴上的点为(0，0，z)；直线(线段)AB 上的点 P，可设为AP AB，表示出 点 P 的坐标，或直接利用向量运算. 【训练 3】
9、 (2019 桂林模拟)如图，棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于 2， ABC 和A1AC 均为 60 ，平面 AA1C1C平面 ABCD. (1)求证：BDAA1； (2)在直线 CC1上是否存在点 P，使 BP平面 DA1C1，若存在，求出点 P 的位置， 若不存在，请说明理由. (1)证明 设 BD 与 AC 交于点 O，则 BDAC，连接 A1O，在AA1O 中，AA12， AO1，A1AO60 ， A1O2AA21AO22AA1 AOcos 60 3， AO2A1O2AA21， A1OAO. 由于平面 AA1C1C平面 ABCD，且平面 AA1C1C平面 ABCDAC，A
10、1O平面 AA1C1C，A1O平面 ABCD. 以 OB，OC，OA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则 A(0，1，0)，B( 3，0，0)，C(0，1，0)，D( 3，0，0)，A1(0，0， 3)，C1(0，2， 3). 由于BD (2 3，0，0)，AA1 (0，1， 3)， AA1 BD 0(2 3)10 300， BD AA1 ，即 BDAA1. (2)解 假设在直线 CC1上存在点 P，使 BP平面 DA1C1， 设CP CC 1 ，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0，1， 3). 从而有 P(0，1， 3)，BP ( 3，1， 3)
11、. 设平面 DA1C1的法向量为 n3(x3，y3，z3)， 则 n3A1C1 ， n3DA1 ， 又A1C1 (0，2，0)，DA1 ( 3，0， 3)， 则 2y 30， 3x3 3z30， 取 n3(1，0，1)，因为 BP平面 DA1C1， 则 n3BP ，即 n 3 BP 3 30，得 1， 即点 P 在 C1C 的延长线上，且 C1CCP. 思维升华 1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积 运算可以解决一些距离、夹角问题. 3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量
12、表示，用已知向 量表示未知向量， 然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优 化运算的关键. 4.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空 间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向 量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算. 5.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都 容易建系：(1)有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直. 易错防范 1.在利用MN xAB yAC证明 MN平面 ABC 时， 必须说明 M 点或 N 点不在面 ABC 内(因为式只表示MN 与AB
13、 ，AC共面). 2.找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角. 3.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、 向量相等来确定点的坐标. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.平面 的法向量为(1，2，2)，平面 的法向量为(2，4，k)，若 ，则 k 等于( ) A.2 B.4 C.4 D.2 解析 ，两平面的法向量平行， 2 1 4 2 k 2，k4. 答案 C 2.在空间直角坐标系中，已知 A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3， 0)，则直线 AB 与 CD 的位置关系是( ) A.垂直 B
14、.平行 C.异面 D.相交但不垂直 解析 由题意得，AB (3，3，3)，CD (1，1，1)，所以AB 3CD ，所 以AB 与CD 共线，又 AB 与 CD 没有公共点，所以 ABCD. 答案 B 3.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F 分别是 BC， AD 的中点，则AE AF的值为( ) A.a2 B.1 2a 2 C.1 4a 2 D. 3 4 a2 解析 如图，设AB a，ACb，AD c， 则|a|b|c|a，且 a，b，c 三向量两两夹角为 60. AE 1 2(ab)，AF 1 2c， AE AF1 2(ab) 1 2c 1 4(a cb c
15、) 1 4(a 2cos 60 a2cos 60 )1 4a 2. 答案 C 4.如图，在空间四边形 OABC 中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45 ， OAB60 ，则 OA 与 BC 所成角的余弦值为( ) A.32 2 5 B.2 2 6 C.1 2 D. 3 2 解析 因为BC ACAB， 所以OA BC OA AC OA AB |OA |AC |cosOA ，AC |OA |AB |cosOA ，AB 84cos 135 86cos 120 16 224. 所以 cosOA ，BC OA BC |OA |BC | 2416 2 85 32 2 5 . 即 OA 与 BC 所
16、成角的余弦值为32 2 5 . 答案 A 5.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 a，M，N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A1MAN 2a 3 ，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( ) A.斜交 B.平行 C.垂直 D.MN 在平面 BB1C1C 内 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，由于 A1MAN 2a 3 ， 则 M a，2a 3 ，a 3 ，N 2a 3 ，2a 3 ，a ，MN a 3，0， 2a 3 . 又 C1D1平面 BB1C1C， 所以C1D1 (0，a，0)为平面 BB1C1C 的一个法向量. 因为MN C1D1 0， 所以MN C1
17、D1 ，又 MN平面 BB1C1C， 所以 MN平面 BB1C1C. 答案 B 二、填空题 6.(2019 西安调研)已知AB (1，5，2)，BC(3，1，z)，若ABBC，BP(x1， y，3)，且 BP平面 ABC，则实数 xy_. 解析 由条件得 352z0， x15y60， 3（x1）y3z0， 解得 x40 7 ，y15 7 ，z4， xy40 7 15 7 25 7 . 答案 25 7 7.正四面体 ABCD 的棱长为 2， E， F 分别为 BC， AD 中点， 则 EF 的长为_. 解析 |EF |2(ECCD DF )2 EC 2CD2DF22(EC CD EC DF CD
18、 DF ) 1222122(12cos 120 021cos 120 ) 2， |EF | 2，EF 的长为 2. 答案 2 8.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果AB (2，1，4)，AD (4，2，0)，AP (1，2，1).对于结论：APAB；APAD；AP是平 面 ABCD 的法向量；AP BD .其中正确的序号是_. 解析 AB AP0，AD AP 0， ABAP，ADAP，则正确； 又 ABADA，AP平面 ABCD， AP 是平面 ABCD 的法向量，则正确； BD AD AB (2，3，4)，AP(1，2，1)， BD 与AP 不平行，故错误. 答案 三
19、、解答题 9.(2018 青海质检)正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 C1C，B1C1的中点. 求证：MN平面 A1BD. 证明 如图所示，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 1，则 D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M 0，1，1 2 ，N 1 2，1，1 ， 于是MN 1 2，0， 1 2 ，DA1 (1，0，1)，DB (1，1，0). 设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n DA1 0，且 n DB 0，得 xz0， xy0. 取 x1，得 y1，
20、z1. 所以 n(1，1，1). 又MN n 1 2，0， 1 2 (1，1，1)0， 所以MN n. 又 MN平面 A1BD，所以 MN平面 A1BD. 10.如图所示，已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，ABCBCD90 ， ABBCPBPC2CD，侧面 PBC底面 ABCD.证明： (1)PABD； (2)平面 PAD平面 PAB. 证明 (1)取 BC 的中点 O，连接 PO，PBC 为等边三角形，即 POBC， 平面 PBC底面 ABCD，BC 为交线，PO平面 PBC， PO底面 ABCD. 以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB
21、平行的直线 为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设 CD1，则 ABBC2，PO 3. A(1，2，0)，B(1，0，0)，D(1，1，0)，P(0，0， 3). BD (2，1，0)，PA (1，2， 3). BD PA (2)1(1)(2)0( 3)0， PA BD ， PABD. (2)取 PA 的中点 M，连接 DM，则 M 1 2，1， 3 2 . DM 3 2，0， 3 2 ，PB (1，0， 3)， DM PB 3 2100 3 2 ( 3)0， DM PB ，即 DMPB. DM PA 3 210(2) 3 2 ( 3)0， DM PA ，
22、即 DMPA. 又PAPBP，PA，PB平面 PAB， DM平面 PAB. DM平面 PAD， 平面 PAD平面 PAB. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.有下列命题：若 pxayb，则 p 与 a，b 共面；若 p 与 a，b 共面，则 p xayb；若MP xMA yMB ，则 P，M，A，B 共面；若 P，M，A，B 共面， 则MP xMA yMB .其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 正确；中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 pxayb 就不成立；正 确；中若 M，A，B 共线，点 P 不在此直线上，则MP xMA yMB 不正确. 答
23、案 B 12.如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB 2，AF1，M 在 EF 上，且 AM平面 BDE.则 M 点的坐标为( ) A.(1，1，1) B. 2 3 ， 2 3 ，1 C. 2 2 ， 2 2 ，1 D. 2 4 ， 2 4 ，1 解析 设 AC 与 BD 相交于 O 点，连接 OE，由 AM平面 BDE，且 AM平面 ACEF，平面 ACEF平面 BDEOE，AMEO， 又 O 是正方形 ABCD 对角线交点， M 为线段 EF 的中点. 在空间坐标系中，E(0，0，1)，F( 2， 2，1). 由中点坐标公式，知点 M 的坐标 2 2 ， 2 2
24、，1 . 答案 C 13.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别是棱 BC，DD1上的点， 如果 B1E平面 ABF，则 CE 与 DF 的和的值为_. 解析 以 D1A1，D1C1，D1D 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 CEx，DFy， 则易知 E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1y)，B(1，1，1)， B1E (x1，0，1)，FB (1，1，y)， 由于 B1E平面 ABF， 所以FB B 1E (1，1，y) (x1，0，1)0xy1. 答案 1 14.如图，正ABC 的边长为 4，CD 为 AB 边上的高，E，F 分别是
25、AC 和 BC 边 的中点，现将ABC 沿 CD 翻折成直二面角 ADCB. (1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由； (2)在线段 BC 上是否存在一点 P，使 APDE？如果存在，求出BP BC的值；如果不 存在，请说明理由. 解 (1)AB平面 DEF，理由如下： 在ABC 中，由 E，F 分别是 AC，BC 的中点，得 EFAB. 又因为 AB平面 DEF，EF平面 DEF， 所以 AB平面 DEF. (2)以点 D 为坐标原点，直线 DB，DC，DA 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直 角坐标系(如图所示)，则 A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2 3，0)，E(0， 3，1)， 故DE (0， 3，1). 假设存在点 P(x，y，0)满足条件， 则AP (x，y，2)，AP DE 3y20， 所以 y2 3 3 . 又BP (x2，y，0)，PC(x，2 3y，0)，BPPC， 所以(x2)(2 3y)xy，所以 3xy2 3. 把 y2 3 3 代入上式得 x4 3，所以BP 1 3BC ， 所以在线段 BC 上存在点 P 使 APDE，此时BP BC 1 3.
