1、以立体几何的相关定义、公理和定理为出发点，认识和理解直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理/A BC D1.aba ba已知直线，直线，则“”是“”的.充分不必要条件.必要不充分条件.充分必要条件.既不充分又不必要条件 A./aab由线面平行的判定定理可知充分条件成立，但时，与 的位置关系是平行或异面，即必要条件不成解立，析：故选 A.B.C.D2.下列命题中，错误的是平行于同一条直线的两个平面平行平行于同一个平面的两个平面平行一个平面与两个平行平面相交，交线平行一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交A/3./.A B C(2010)Dmnm nnmmnmnnmnmnmn
2、mnmn已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，是异面直线，则其中正确的命题有.浙江宁波.B.mnmmnnmnmn对于，有可能也在 上，因此命题不成立；对于，过直线 作垂直于 的平面，由，可知 与 平行，于是必有 与平行，因此命题成立；对于，由条件易知平行于 或在 上，平行于 或在 上，因此必有；对于，取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不解析：综合可知选成立111111;11111;11 ()/4.()/.ABCDABC DADBCAB DBDCADDCADBDC已知正方体中，下列结论中，正确的结论是 只填序号
3、 平面平面；平面教材改编题1111111111111/./5.(2010 );ABCDABC DEFGHEFGHBCEABBFBBBEH ADEH FGEFGH如图，若 是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中 为线段上异于 的点，为线段上异于 的点，且，则下列结论中不正确的是福建卷四边形是矩形；是棱改编柱；是棱台(.)根据棱台的定义 侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥 因此，几何体 不是棱台，解析：故填 EFGHEHFGEFGH从正面考虑，本题的实质是考查四边形的形状，由题意可证，则可得四边形是矩形，从而解决问题也可以从反面考虑，直接从棱台特点入手，发现结评析：论错误/=1_
4、.2_/.3_1/aaaaabaaa定义：如果直线 与平面 公共点，则直线 与平面 平行，记作判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线，则该直线与此平面平行用符号表示为：，且性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线直线与平面平行。用符号表示为：，_.l 1_./2_ _/.2ababP 定义：如果平面 与平面 公共点，则平面 与平面 平行，记作特别提醒：两个平面平行，其中一个平面内的任一直线与另一个平面必平行，即“面 面线 面”判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面，则这两个平面平行用符号表示为：，平面与平面平行的判定与性 质，3_./_./.a
5、baaba b 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 用符号表示为：，特别提醒：线线平行、面面平行有传递性，而线面平行没有传递性，如，不一定得到，同时，也不一定得到/aa ba lba b 没有；平行；平行；没有；平行；平行；【要点指南】/.()A BC 1.Dmnmmmmm nnm 、是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：若，则；若，则；若，则若，则其中是真命题的是.例.题型一题型一 平行判断的基本应用平行判断的基本应用-CD A.ACB CACADB CADACm 确定命题正确常常需要严格的证明，判断命题错误只需一个反例就可以了如图在正方体中，平面垂直平面
6、，直线平行平面，但直线并不垂直平面，故错误，排除、；由线面平行的判定定理知，缺少的条件，故错误解，析：故选 12 运用立方体的模型判断命题的真假，是解此类问题最常见的方法，解题时除了考虑正方体各侧面、各侧棱、侧面对角线、正方体的对角线外，也应考虑正方体的对角面内的各条线段，经过反复验证，错误命题就会被排除掉在判断命题真假时，常就地取材，借助笔、手指、桌面、书本面等作为直线和平面的模型，构造符合条件的实体模型，然后考虑结论是否成立这是解决此类问题的最直观有效评析：的方法./.1 ABCDmnm nmnmnm nm nm anm nmn 已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：，；，；，；，其中
7、正确命题的序号是.素材：./C./nmbmm nn对于，由于两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此是正确的；对于，分别位于两个平面内的两条直线必没有公共点，但不能确定它们一定平行，因此是错误的；对于，直线 可能位于平面 内，此时结论显然不成立，因此是错误的；对于，由且得，又，故，是正确的综上所解述，析：故选.2./.ABCDABEFMNAEDBAMDNMNEBC把正方形、放置成如图的一个空间图形，、分别是、上的点，且证明：平面例题型二题型二 直线与平面平行的判定和性质直线与平面平行的判定和性质EBCMN证明线面平行常用的方法：一是判定定理，关键是在平面上找一条直线与
8、平行；二是先证明面面平行，再证明线分析：面平行1111111111111111/././1.MMMBEMNNNBCNM NMMEMMMABABEANNBNNNCDCDBDABCDAMDNMMNNMN M NMNEBCM NEBCMNEBC过作于，过 作于，连接，则有，且，且又，故，所以又平面，平面，所以平面：证方法明：/=()./././.2ANBCBCQEQANDNAD BQNQNBANDNAMAMDNMENBNQNBMEANAMAEQMN EQNQMEMNEBCEQEBCMNEBC如图，连接并延长与或的延长线交于点，连接因为，所以而，所以在中，所以又平面，平面，所以平面：证方法明：11./
9、./././.AKAKAMDNAEDBABABKKMNKEBCMK EBMKEBCEBEBCMKEBCNK ADNK BCNKEBCBCEBCNKEBCMKNKKMNKEBCMNMNKMNEBC而，所以，所以 与重合考虑平面与平面由，平面，平面，得平面由，得又平面，平面，所以平面又，所以平面平面，而平面，所平面：以证明“”MNMN本题呈现了证明线面平行的一般方法，前两种证法本质上都是利用判定定理，但找与平行的直线操作不一样，证法三是先证面面平行，再利用面面平行的性质来证明线面平行本题证明平行关系用的是比例关系，更有一般性若、是所在边的中点，直接利用中位线评析：定理更简捷本题的背景是几何体中的局
10、部 场景，但所用的证明方法非常有代表性1111111/.2.ABCDABC DMOABACOMBBC C如下图，在正方体中，、分别是、的中点求证：平面素材11111111111 /./.1ABBCMABOACMO BCMOBBC CBCBOBMBBCCCC连接，如右图因为是的中点，是的中点方法证明：所以平，所以又平面，平面，面：11111111111111/././././.2ABNMNONMN BBMNBBC CBBBBC CMNBBC CONBBC CMNNNMONBBOC COMMOMBBC CN取的中点，连接、，如图，则又平面，平面，所以平面同理可得平面又，方法证明：所以平所以平面平面
11、而平：面，面11111111111/3./.ABCABCDBCABAC DDBCABDAC D如图，三棱柱，是上一点，且平面，是的中点，求证：平面平面例题型三题型三 平面与平面平行的判定和性质平面与平面平行的判定和性质1111111111111111111111111./././.ACACEA ACCEACEDABAC DABCAC DEDAB EDEACDBCDBCBABDACDC DADADADBDDD连接交于点因为四边形是平行四边形，所以 是的中点连接因为平面，平面平面，所以因为 是的中点，所以 是的中点又因为是的中点，所证明：所以平面平面以，又，证明面面平行的常用方法：面面平行的定义；
12、面面平行的判定定理；两个平面同时与第三个平面平行，则这两个评析：平面平行1311 3.ABCDA B C DABBBEBBB EAECDDFA DGADC G 如右图，在正四棱柱中，为上使的点，平面交于，交的延长线于，则异面直线与所成角的大小为素材/3 .3.133tan 63C FAD D GC GDADC GAEC FABB ADCC DAE GAEC GC FD FBEFD GFDAD GRt C D GC DD GCDC GDDGD 如右图，连接，由，知为异面直线与所成的角因为和分别是平行平面和平面与平面的交线，所以，从而再由，可得在中，得，解析：故 11111111111/2/3/.
13、ACEFGHBCCCC DA ABF HDEGBB D DBDFB D H如图所示，在正方体中，、分别是、的中点，求证：；平面；平面平面备选例题 111111111111111111././.1/B BMHMMCHMABABC DHMC DHMC DHDMCBMC FC MBFC M BFHDBF取的中点，连接、因为，所以，则四边形是平行四边形，所以又，所以四边形是平行四边形，所以，所：以证明/=/=/=/=111111111111111111111111 .21 2/./.12/3BDOOEOEDCDGDCOEDGOEGDEG DODOBB D DGEBB D DEGBB D DD H BF
14、BD B DB DHDHB DBFBDBDFB DHDDDBBFB取的中点，连接，则又，所以所以四边形是平行四边形，所以又平面，平面，所以平面由知，又，、平面，、证明：平面，且，所以平11/.BDFB D H面平面/=/=/=1两个平面的位置关系是空间中各种元素位置的“最高境界”，解决空间两个平面的位置关系的思维方法是“以退为进”，即面面问题退证线面问题，再退证线线问题充分揭示了面面、线面、线线相互之间的转化关系 12312323证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直证明一个平面内的两条相交
15、直线与另一个平直面平行；证明两个平线面与平面相互同时和第三平行的证明方法：平面和平面相互个平面平行；证明两个平面的法平行的证明方法：向量相互平行11111111.EFABCDABC DAACCAEC FEBFD如图所示，已知、分别是正方体的棱、上的点，且求证：四边形是平行四边形11111111111/./ABCDABC DA ADDB BCCD E FBD F EBEBFD在正方体中，平面平面，由两平行平面与第三平面相交得交线平行，故同理可证，故四边形为平行错解：四边形11()EBFDEBFD错解主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理，立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用
16、平面几何知识解题正确的思路应分为两步，第一步，将立体几何问题化归为平面几何问题，即先证明四边形为平面四边形 四点共面，第二步，再证明平面四边形为平行四边形，或者用平行四边形的充要错解条分析：件证明111111111/.1 A ADDEG ADD DGGCEGADBCGEBCEBGECAEC FDGFCDGCFD FGCEBD FBFD在平面中，作交于 点，连接易证，所以四边形为平行四边形，所以又由，得，所以四边形为平正解:所以四行四边方法：形，所以，边形为平于是，行四边形/=/=/=/=/=/=1111111111111111/.2:A ADDAAH EDDDHHFAHD ED HAEC FD HFCDCHFDCABHFABHABFAHBFAHEDBFEDEBFD在平面中，过 作，交于点，连接，得四边形为平行四边形于是，所以四边形为平行四边形，则又，所以，所以四边形为平行正解所以四边形方四边形，所以又已证得，故为平，法：行四边形/=/=/=/=/=/=/=
