1、第6章幂函数、指数函数和对数函数全章综合检测卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A=y|y=x13,B=x|y=ln (x-1),则AB=()A.1,+)B.(0,1)C.(1,+)D.(-,1)2.2022江苏淮安高一上期末已知函数f(x)=(3m-2)xm+2(mR)是幂函数,则函数g(x)=loga(x-m)+1(a0,且a1)的图象所过定点的坐标是()A.(2,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(-1,2)3.2022吉林油田高级中学高三上调研函数y=ln |ex-e-x|的部分图象是()4.已知函数f(
2、x)=a-x+log1ax(a0且a1),则f(x)在区间1,2上的最大值为()A.f(1)B.f(1)或f(2)C.1D.f(b),b(1,2)5.2021江苏宿迁高一上期末2004年中国探月工程正式立项,从嫦娥一号升空,到嫦娥五号携月壤返回,中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为现实.月球距离地球约38万千米.有人说,在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,其厚度就可以超过月球距离地球的距离.那么至少对折的次数n是(参考数据:lg 20.3,lg 3.80.6)()A.40B.41C.42D.436.2022湖北武汉汉阳一中、江夏一中高一上联考已知函数f(x)是定义在R上的
3、偶函数,且在(0,+)上单调递减.设a= f(log314),b=f(2-32),c=f(2-23),则()A.acbB.bcaC.cbaD.bac7.若x2-loga(x+1)x10时,x2f(x1)-x1f(x2)x2ex1-x1ex2.若f(1)=e+1,则不等式f(ln x)ln x+x的解集为()A.(0,e)B.(1,e)C.(1,+)D.(e,+)二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得 0分.9.已知函数f(x)=(12)x-1,x0,x12,x0,则下列结论中错误的是()A.f
4、(x)的值域为(0,+)B.f(x)的图象与直线y=2有两个交点C.f(x)是单调函数D.f(x)是偶函数10.2022山东滨州行知中学高一上期末已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则()A.函数f(x)的图象与x轴有两个交点B.函数f(x)的最小值为-4C.函数f(x)的最大值为4D.函数f(x)的图象关于直线x=2对称11.2022江苏南京雨花台中学、山东潍坊部分学校联考已知正实数x,y满足log2x+log12y(12)x-(12)y,则()A.1x1yB.x30D.2x-y1212.2022江苏南京五中高一月考已知函数f(x)=1-2x1+2x,g(x)=lg(x2+
5、1-x),则()A.函数f(x)为偶函数B.函数g(x)为奇函数C.函数F(x)=f(x)+g(x)在区间-1,1上的最大值与最小值之和为0D.设F(x)=f(x)+g(x),则F(2a)+F(-1-a)0.15.如图所示,已知函数y=log2(4x)的图象上的两点A,B和函数y=log2x的图象上的点C,线段AC平行于y轴,当ABC为正三角形时,点B的横坐标为.16.2022江苏镇江四校高一联考已知函数f(x)的定义域为R,对于任意的x都有f(x+4)=3f(x),当x-2,2时,f(x)=-(1e)|x+1|,x-2,0,|lgx|,x(0,2,则f(4)=;若当x(2,6时,f(x)t2
6、-4t恒成立,则实数t的取值范围是.(本题第一空2分,第二空3分.)四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)2022江苏省盐城中学高一上期末已知定义在R上的函数f(x)=4x+k4-x(kR).(1)若函数f(x)是偶函数,求实数k的值;(2)若不等式f(x)6对x0,1恒成立,求实数k的取值范围.18.(12分)如图所示,函数F(x)的图象是由指数函数f(x)=ax(a0且a1)与幂函数g(x)=xb的图象“拼接”而成的.(1)求F(x)的解析式;(2)比较ab与ba的大小;(3)已知(m+4)-b(3-2m)-b,求实数m的取值范围.19
7、.(12分)目前我国一些高耗能产业的产能过剩,严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.某行业计划从 2022年开始,每年的年产能比上一年的年产能减少的百分比为x(0x0,a1),若视a为常数,将y表示成关于x的函数f(x),且函数y=f(x)的图象经过点(2,12).(1)求f(x)的解析式,并写出f(|x|)的单调区间;(2)解关于x的不等式f(2x)+kf(x)-120.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.21.(12分)已知函数f(x)=log2k4x-(k-1)2x+k+12.(1)当k=0时,求函数f(x)的值域;(2)若f(x)的最大值是-1,求实数k的值;(
8、3)已知0k0),因为函数H(x)在(0,+)上单调递增,所以函数y=ln |ex-e-x|在(0,+)上单调递增,排除D.故选B.4.B因为f(x)=(1a)x+log1ax(a0且a1),所以当a1时,01a1,函数f(x)在1,2上单调递减,所以f(x)max=f(1);当0a1,函数f(x)在1,2上单调递增,所以f(x)max=f(2).综上,f(x)的最大值为f(1)或f(2).5.C设对折n次时,纸的厚度为y(单位:毫米).由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,则y=0.12n.令y=0.12n38104106,即2n3.81012,所以lg 2nlg 3.8+12,
9、即n12.60.3=42,所以至少对折的次数n是42.故选C.6.A由题意可得a=f(log314)=f(-log34)=f(log34).因为log34log33=1, 02-322-232-232-320,所以f(log34)f(2-23)f(2-32),即acb.故选A.7.D8.B二、多项选择题9.ACD10.AB11.BC由题意,log2xyy,即xy1时,log2xy0,而(12)x(12)y,所以(12)x-(12)y0,故log2xy(12)x-(12)y不成立.当x=y时,log2xy=0,(12)x-(12)y=0,log2xy(12)x-(12)y不成立,故0x1y,x3
10、0,则y-x+11,ln(y-x+1)0,故C正确.2x-y14.(4分)(2)ab=(116)12=(12)2,ba=(12)116,(6分)又函数y=(12)x在R上是减函数,所以(12)116(12)2,即abba.(8分)(3)由(1)可得(m+4)-120,3-2m0,m+43-2m,解得-13m32,所以实数m的取值范围是(-13,32).(12分)19.(1)依题意得(1-x)n=a,则1-x=na,所以x=1-na(nN*).(4分)(2)设第n年的年产能不超过2021年的年产能的25%,则(1-10%)n25%,即(910)n14,nlg910lg 14,n(2lg 3-1)
11、-2lg 2,则n2lg21-2lg3.(8分)因为2lg21-2lg320.3011-20.477=30123,所以n30123.(10分)因为13301230,a1,所以a=22,所以f(x)=(22)x.(4分)f(|x|)=(22)|x|的增区间为(-,0,减区间为0,+).(6分)(2)由(1)知f(x)=(22)x,所以f(2x)+kf(x)-12=(22)2x+k(22)x-120.令t=(22)x0,则t2+kt-120,(8分)所以t-k+k2+22,所以(22)x-k+k2+22,(10分)解得xlog22-k+k2+22,所以原不等式的解集为 (-,log22-k+k2+
12、22.(12分)方案二选择条件.(1)由ay=x,得f(x)=logax.(1分)因为y=f(x)的图象过点(2,12),所以loga2=12,又a0,a1,所以a=4,所以f(x)=log4x.(4分)f(|x|)=log4|x|的减区间为(-,0),增区间为(0,+).(6分)(2)由(1)知f(x)=log4x,所以f(2x)+kf(x)-12=log4(2x)+klog4x-120,即(1+k)log4x0.(8分)当1+k=0,即k=-1时,x0;当1+k0,即k-1时,log4x0,x1;当1+k0,即k-1时,log4x0,0-1时,原不等式的解集为1,+);当k12,所以f(x
13、)log212=-1,所以f(x)的值域是(-1,+).(3分)(2)由(1),知当k=0时,函数f(x)没有最大值.设t=2x(t0),则log2k4x-(k-1)2x+k+12=log2kt2-(k-1)t+k+12,令g(t)=kt2-(k-1)t+k+12,t0.若k0,则函数g(t)的图象开口向上,所以函数g(t)没有最大值,即函数f(x)没有最大值.若k0,g(t)max=g(k-12k)=k(k-12k)2-(k-1)k-12k+k+12=12,所以k=-1.综上,k=-1.(7分)(3)当x0时,t=2x1,设m(t)=kt2-(k-1)t+k+12,因为0k1,所以k-12k
14、1时,m(t)为增函数,即f(x)为增函数,所以函数f(x)的定义域为a,b时,f(x)的值域为a+1,b+1等价于函数f(x)的图象与直线y=x+1有两个交点(a,a+1),(b,b+1),且a0,b0,即log2k4x-(k-1)2x+k+12=x+1有两个正根,即k4x-(k-1)2x+k+12=2x+1有两个正根,所以kt2-(k-1)t+k+12=2t,即kt2-(k+1)t+k+12=0有两个大于1的根.(10分)又k+12k1,所以k12-(k+1)1+k+120,=(k+1)2-4k(k+12)0,解得12k33.所以实数k的取值范围是(12,33).(12分)22.(1)因为
15、h(x)=ex为f(x),g(x)的“T(2,1)函数”,所以2f(x)+g(x)=ex,所以2f(-x)+g(-x)=e-x.又f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以-2f(x)+g(x)=e-x.由得f(x)=14(ex-e-x),g(x)=12(ex+e-x).(4分)(2)假设存在实数m,n,使得h(x)为f(x),g(x)的“T(m,n)函数”,则h(x)=mf(x)+ng(x)=mln(ex+1)+nx.因为h(x)是偶函数,所以h(-x)=h(x),即mln(e-x+1)-nx=mln(ex+1)+nx,即mlnex+1e-x+1+2nx=0.(6分)因为lnex+1e-x+1=lnex(ex+1)ex(e-x+1)=ln ex=x,所以(2n+m)x=0.因为(2n+m)x=0对任意xR恒成立,所以m=-2n,(8分)所以h(x)=-2nln(ex+1)+nx=nlnex(ex+1)2=nln1ex+1ex+2.(9分)因为ex+1ex+22ex1ex+2=4,当且仅当ex=1ex,即x=0时取等号,所以ln1ex+1ex+2ln14=-2ln 2.因为h(x)的值域为ln 2,+),所以n0,且-2n=1.(11分)由得m=1,n=-12.综上,存在实数m=1,n=-12符合题意.(12分)
