1、江苏省南京市江苏省南京市 20202020 届高三数学上学期期初联考试题（含解析）届高三数学上学期期初联考试题（含解析） 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分，请将答案填写在答题卷相应的位置分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ）上 ） 1.已知集合 A12xx ，B0x x ，则 AB_ 【答案】10xx 【解析】 【分析】 根据交集定义直接求得结果. 【详解】由交集定义可得：10ABxx 本题正确结果：10xx 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2.已知复数z 3 1 i i （i是虚数单位）
2、，则z的虚部是 . 【答案】-2 【解析】 【分析】 直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z的虚部可求 【详解】z 31324 1 2 1112 iiii i iii ， z的虚部是2 故答案为2 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 1600，检测结果的频率分布直 方图如图所示根据标准，单件产品质量在区间25，30)内为一等品，在区间15，20)，20， 25)和30，35)内为二等品，其余为三等品则样本中三等品件数为_ 【答案】200. 【解析】 分析】 根据频率分布直方图求得三等品对应频率
3、，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在10,15和35,40的为三等品 三等品对应的频率为：0.0125 2 50.125 三等品件数为：1600 0.125200 本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题. 4.现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字将这三张卡片随机排序组成一 个三位数，则该三位数是偶数的概率是_ 【答案】 1 3 . 【解析】 【分析】 计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有： 3 3 6A 个，其中偶数有： 2
4、2 2A 个 该三位数是偶数的概率： 21 63 p 本题正确结果： 1 3 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 5.函数 2 1 logyx的定义域为_ 【答案】 1 ,) 2 【解析】 【分析】 直接由根式内部的代数式大于等于 0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由 2 1 log0x，得 1 2 x ， 函数 2 1 logyx的定义域为 1 , 2 . 故答案为： 1 , 2 . 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题. 6.运行如图所示的伪代码，其结果为 【答案】17 【解析】 试题分析： 第一次循环， I=1， S=1+1=2；
5、 第二次循环， I=3， S=2+3=5； 第三次循环， I=5， S=5+5=10； 第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出 S=17 考点：循环结构流程图 7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线 C： 22 2 1 16 xy a (a0)的右顶点到双曲线的一条渐近线 的距离为 4 5 3 ，则双曲线 C 的方程为_ 【答案】 22 1 2016 xy . 【解析】 【分析】 由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得 2 a，从而得到所求 方程. 【详解】由双曲线方程知，右顶点为,0a，渐近线方程为： 4 yx a ，即40xay 右顶点到双曲线渐近线距
6、离 2 44 5 3 16 a d a ，解得： 2 20a 双曲线C的方程为： 22 1 2016 xy 本题正确结果： 22 1 2016 xy 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得 未知量. 8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球， 这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现我 们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_ 【答案】 3 2 . 【解析】 分析】 设球的半径为R，可知圆柱高为2R；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作 比得到结果.
7、 【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R 圆柱的表面积 22 1 2226SRRRR；球的表面积 2 2 4SR 圆柱的表面积与球的表面积之比为 2 1 2 2 63 42 SR SR 本题正确结果： 3 2 【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题. 9.函数( )Asin()f xx(A0，0)部分图象如图所示 若函数( )yf x在区间m， n上的值域为 2 ，2，则nm的最小值是_ 【答案】3. 【解析】 【分析】 根据三角函数图象求得函数解析式 2sin 4 f xx ；利用 2f x 和 2f x 求得x 的取值，可知当 12 kk时取最小值，从
8、而得到结果. 【详解】由图象知： max2f x 2A，又 2 2628T 4 22sin2 2 f 2k，kZ 2sin22sin 44 f xxkx 当 2f x 时， 1 2 44 xk 或 1 5 2 44 xk ， 1 kZ 1 81xk或 1 85xk， 1 kZ 当 2f x 时， 2 2 42 xk ， 2 kZ 2 82xk 若n m 最小，则 12 kk min3nm 本题正确结果：3 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是 能够通过特殊角三角函数值确定角的取值. 10.在公比为q且各项均为正数的等比数列 n a中， n S为 n
9、a的前n项和若 1 2 1 a q ，且 52 7SS，则首项 1 a的值为_ 【答案】 1 4 . 【解析】 【分析】 首先验证1q 时， 不符合题意， 可知1q ； 利用 2 523 17SSaqq和 2 31 1aa q 可构造方程求得q，代入求得结果 【详解】当1q 时，由 52 7SS得： 11 527aa，解得： 1 7 3 a 与 1 1a 矛盾，可知1q 2 523453 17SSaaaaqq， 2 31 1aa q 2 60qq，又0q ，解得：2q = 1 1 4 a 本题正确结果： 1 4 【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方
10、程. 11.已知 ( )f x是定义在区间(1，1)上的奇函数，当x0 时，( )(1)f xx x 已知m满足 不等式 2 (1)(1)0fmfm，则实数m的取值范围为_ 【答案】(0，1). 【解析】 【分析】 根 据 二 次 函 数 性 质 和 奇 偶 性 可 知 f x在 1,1 上 单 调 递 减 ； 将 不 等 式 变 为 2 11fmf m，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】 f x为定义在 1,1 上的奇函数 00f 1,0x 时， 2 2 11 24 f xxxx f x在1,0上单调递减 f x为奇函数 f x在0,1上单调递减 f x在 1,1
11、 上单调递减 由 2 110fmfm得： 22 111fmfmf m 2 2 1 11 11 1 11 m m mm ，解得：01m，即m的取值范围为：0,1 本题正确结果：0,1 【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函 数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要 求，造成求解错误. 12.已知圆 O：x 2y24 和圆 O 外一点 P( 0 x， 0 y)，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A， B，且AOB120若点 C(8，0)和点 P 满足 POPC，则的范围是_ 【答案】 1 ,1 3 . 【解
12、析】 【分析】 根据4PO 可知 22 00 16xy，利用POPC构造方程可求得 0 2 1 5x ；根据 0 44x 且0可解不等式求得结果. 【详解】120AOB，2OAOB 4 cos60 AO PO，即 22 00 16xy 又 2 2 00 8PCxy且POPC 2 22 00 816xy 且0 解得： 2 0 22 511 5x 22 00 16xy 0 44x 2 1 454 ，解得： 1 ,1 3 本题正确结果： 1 ,1 3 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程 的求解；关键是能够利用表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等
13、式. 13.如图，已知梯形ABCD，/ /ADBC， 2 3 BC AD ，取BD中点E，连接AE并延长交CD于 F，若 2AB ADFA CD ，则 AB AD _ 【答案】 3 3 . 【解析】 【分析】 作/ /FGAD， 根据三角形相似得到比例关系证得 3 4 DF DC ； 利用平面向量线性运算可用AD uuu v ， AB表示出CD，FA，根据数量积的运算律可整理得到 2231 22 ABAD，从而得到结果. 【详解】作/ /FGAD，交BD于点G AEDFEG GFEG ADDE ，又 2 FGGDDEEG BCBDDE 又 2 3 BC AD ，可得：2DEEG 33 44 D
14、FDGEG DCDBEG 21 33 CDCBBAADDABAADADAB 33133 44344 FAADDFADDCADADABADAB 2213331 22 34422 FA CDADABADABABAD ABAD 又 2AB ADFA CD 2231 22 ABAD，即 22 31 22 ABAD 3 3 AB AB ADAD 本题正确结果： 3 3 【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律 等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较 难题. 14.已知函数 1 ln ,1 11 ,1 22 x x f x
15、xx ,若 12 xx，且 12 2f xf x，则 12 xx的取值范 围是_. 【答案】32ln2,) 【解析】 【分析】 首先可根据题意得出 12 xx、不可能同时大于1， 然后令 12 1xx的性质进行分析即可得出结果。 【详解】 根据题意以及函数图像可知， 12 xx、不可能同时大于1， 因为 12 xx，所以可以令 12 1xx，则 2 10 x -，即2x ； 令 ( ) 0gx =，则 2 10 x -=，即2x ； 令 ( ) 0gx 10 f ， 11 ln1 21f 曲线 yf x在 1x 处切线为： 111yffx，即1y （2）由（1）知： ( )() 11 10 x
16、 fxx xx - = -= 当0,1x时， 0fx；当1,x时， 0fx f x在0,1上单调递减，在 1,上单调递增 min 11f xf 又 2ln20f ， 31 ln30f ， 42ln40f 由零点存在定理知： f x在3,4上有一个零点 f x在 1,上单调递增 该零点为1,上的唯一零点 3k （3）由题意得： 2 1 1ln0 2 g xxbxx x 2 111 10 xbx gxxbx xx 12 ,x x为 g x的两个极值点，即 12 ,x x为方程 2 110xbx 的两根 12 1xxb， 12 1x x 2 1 1 x x 3 2 b 121 1 15 2 xxx
17、x ，又 1 1 1 0x x ，解得： 1 1 0 2 x 222 1 12121211 2 21 111 1ln2ln 22 x g xg xxxbxxxx xx 令 2 2 11 2ln 2 h xxx x ， 1 0 2 x 则 2 2 42 333 1 2121 0 x xx h xx xxxx h x在 1 0, 2 上单调递减 min 115 2ln2 28 h xh 即 12 min 15 2ln2 8 g xg x 15 2ln2 8 k 即实数k的最大值为：152ln2 8 【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到求解曲线在某一点处 的切线方程、结合零点存在性定理讨论零点所在区间、极值点与导数之间的关系、恒成立问 题的求解等；本题解题的关键是能够通过极值点与导数的关系，将不等式转化为参数与某一 函数最值之间的比较问题，通过构造函数的方式来使问题得以解决，属于难题.
