1、 1 绝密启用前 22 00 22 00普普通通高高等等学学校校招招生生全全国国统统一一考考试试 33月月份份线线上上测测试试 （一一） 数数 学学（文文科科） 本本卷卷满满分分：11 55 00分分考考试试用用时时：11 22 00分分钟钟 祝祝考考试试顺顺利利 第第 卷卷（选选择择题题，共共分分） 一一、选选择择题题：本本题题共 共 1 1 2 2小 小题题，每每小小题 题 5 5分 分，共 共 6 6 0 0分 分，在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中， 只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的。 11 已知集合，则（） A B C D 22 复数（其中 为虚数单位）
2、在复平面内对应的点位于（） A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 33 . 设,则的大小顺序是（） A B C D 44 .（原创） 设为实数， 直线， 则“” 是“” 的（） A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 55 . 执行如右图所示的程序框图，输出的结果是（） A B C D 66 . 一个几何体的三视图如右图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为 （） 2 A B C D 77 . 正三角形中, 是线段上的点, 则= （） A 3B 6C 9D 1 2 88 . 已知函数 的部分图象如右图所示， 则函数 在上的值域为（） A B C
3、D 99 . 在平面直角坐标系中,双曲线的离心率为, 其焦点到渐近线的 距离为，过点的直线与双曲线交于两点. 若是的中点,则直线的斜率 为（） A 2B 4C 6D 8 1 0 . 元旦晚会一次猜奖游戏中，四个盒子里摆放了四件奖品（每个盒里仅放一 件）. 甲同学说： 号盒里是，号盒里是；乙同学说：号盒里是，号盒里是；丙同学 说：号盒里是，号盒里是；丁同学说：号盒里是，号盒里是. 如果他们每人都猜对 了一半，那么号盒里是（） A B C D 11 11 . 在锐角三角形中，内角的对边分别为. 若，且 ，则的取值范围为（） A B C D 11 22 定义在上且周期为 4的函数满足：当时，若 在区
4、间上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（） A B 3 C D 第第 卷卷（非非选选择择题题，共共分分） 二二、填填空空题题：本本题题共 共 4 4小 小题题，每每小小题 题 5 5分 分，共 共 2 2 0 0分 分。 11 33 . 在等比数列中，已知，则= 11 44 已知是定义在上的奇函数，若时，则曲线在点 处的切线斜率为_ _ _ _ _ _ 11 55 设不等式组所表示的平面区域为, 函数的图象与轴所围成的区 域为,向内随机投一个点,则该点不落在内的概率为_ _ _ _ _ _ 11 66 已知一个圆锥的底面直径为， 其母线与底面的夹角的余弦值为. 圆锥内有一个内接正方体，
5、 该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ 三三、解解答答题题：共共 77 00分分。解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤。第第 11 77 22 11题题为为 必必考考题题，每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答。第第 22 22 、22 33为为选选考考题题。考考生生根根据据要要求求作作答答。 （一一）必必考考题题：共 共 6 6 0 0分 分。 11 77 已知数列 中,. （1 ）求证：数列 是等比数列; （2 ）求数列 的前项和. 11 88 对某居民最近连续几年的月用水量进行
6、统计，得到该居民月用水量( 单位：吨) 的频率分布直 方图，如图一 4 （1 ）求的值，并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量； （2 ） 已知该居民月用水量与月平均气温 ( 单位：) 的关系可用回归直线模拟 2 0 1 9 年当地月平均气温 统计图如图二，把 2 0 1 9年该居民月用水量高于和低于的月份作为两层，用 分层抽样的方法选取个月，再从这个月中随机抽取个月，求这个月中该居民恰有 个月用水 量超过的概率 11 99 已知四棱锥中，底面是边长为的菱形， ，,. 点是棱的中点， 点在棱上，且，平面 （1 ）求实数的值； （2 ）求四棱锥的体积 22 00 . 已知椭圆过圆的圆心 ，且
7、右焦点与抛 物线的焦点重合. （1 ）求椭圆的方程; （2 ）过点作直线 交椭圆于, 两点,若 , 求直线 的方程. 22 11 已知函数是的导函数. （1 ）讨论函数的极值点个数； （2 ）若，若存在，使得，试比较与的 大小. 5 （二二）选选考考题题：共 共 1 1 0 0分 分。请请考考生生在在第 第 2 2 22 、22 3 3题 题中中任任选选一一题题作作答答。如如果果多多做做，则则按按所所做做的的第第一一题题计计 分分。 22 22 选 选修 修 4 4 4 4 ： ：坐坐标标系系与与参参数数方方程 程 在平面直角坐标系中, 已知曲线的参数方程为(为参数) ,以为极点, 轴的非负半
8、轴为极轴, 曲线的极坐标方程为:. （1 ）求曲线的普通方程和曲线的参数方程; （2 ）若点在曲线上运动，求点到曲线距离的最小值及对应的点的坐标. 22 33 选 选修 修 4 4 5 5 ： ：不不等等式式选选讲 讲 已知函数 （1 ）当时，证明：； （2 ）若的值域为，且，解不等式. 2020 普通高等学校招生全国统一考试 3 月份线上测试 （一） 数学数学（文科）参考答案（文科）参考答案 一、选择题： 1-5: CDBCB 6-10:ABDCA 11-12:CB 二、填空题： 13. 8 14.3 15. 16 1 16. 4 3 三、解答题： 17.（1）证明:因为 所以4 分 又因为
9、则，5 分 所以数列是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 6 分 （2）由()知所以7 分 所以 9 分 11 分 12 分 18.（1）由图一可知,()05 . 0 , 14075 . 0 220375 . 0 =+aa 3 分 该居民月平均用水量约为 6 分 n,a,bnaa nnnn +=+= + 12 1 ,bnannanab nnnnn 2)(2) 1(12) 1( 11 =+=+=+= + ，ab021 11 =+=. b b n n 2 1 = + n b ,bna n nn 2=+n,a n n = 2 23 2 1(22)(23)(2) n n Sn=+（） 23 2222
10、123 n n=+ +（） （） 2 )1 ( 21 )21 (2nn n + = 1 (1) 22 2 n nn + + = T月 (0.037520.0560.075 100.05 140.0375 18)410T=+= 月 （2）由回归直线方程知, 对应的月平均气温刚好为 ,7 分 再根据图二可得,该居民 2019 年月和月的用水量刚好为,且该居民 2019 年有个月每月用水 量超过,有个月每月用水量低于,8 分 因此,用分层抽样的方法得到的样本中,有个月(记为)每月用水量超过,有个月(记为 )每月用水量低于,从中抽取个,有, 共种结果, 10 分 其中恰有一个月用水量超过的有共种结果,
11、 11 分 设“这个月中恰有 个月用水量超过”为事件,则12 分 19.（1）连接，设，则平面平面，1 分 SA/平面， / ，2 分 ， ，4 分 ，5 分 6 分 （2）， 又 ， ， ， 平面，9 分 所以= hSV EBCDEBCDF四边形 3 1 ()321 2 1 3 2 2 3 1 3 2 3 1 +=SES EBCD四边形 = 3 32 12 分 0.42Tt=+T月 (102)0.420()tC=+= 510T月4 T月6T月 2 12 ,A AT月3 123 ,B BBT月2 1 21 11 21 32 12223 ,A AA B A BA BA B A BA B 1 21
12、 323 ,B BB BB B10 T月 1 11 22 12223 ,A B A BA B A BA B6 21T月C 63 ( ) 105 P C = ACACBEG=SAC EFBFG= EFBSAFG GEAGBC 1 2 AGAE GCBC = 11 23 SFAG SFSC FCGC = 1 3 = 5,2SASDSEAD SE= 2,60 ,3ABADBADBE= 222 SEBESB+=SEBESEABCD 20.解：(1)因为抛物线的焦点为()0 , 3,所以,1 分 因为在椭圆上, 所以,由,得,所以椭圆的方程 为5 分 (2)由得: ,即,可得 ,6 分 当 垂直轴时,
13、,此时满足题意,所以此时 直线 的方程为;7 分 当 不垂直轴时,设,直线 的方程为, 由消去得, 所以,8 分 代入可得: , 代入,得, 代入化简得: ,10 分 解得, 经检验满足题意,则直线 的方程为11 分 综上所述直线 的方程为或12 分 21.解：(1)( ) x mx x m xf =1 ，1 分 3c = (2,1)QC 22 41 1 ab += 22 3ab= 2 6a = 2 3b =C 22 1 63 xy += tan AQB SAQB = 1 sintan 2 QA QBAQBAQB=cos2QA QBAQB= 2QA QB= lx( 2, 31)QA QB= (
14、 2,31)4 1 32 =+ = l0x = lx 11 ( ,)A x y 22 (,)B xyl1ykx=+ 22 1 6 3 1 xy ykx += =+ y 22 (12)440kxkx+= 12 2 4 12 k xx k += + 12 2 4 12 x x k = + 2QA QB= () () 1122 2,12,12xyxy= 11 1ykx=+ 22 1ykx=+ 2 1212 (2)(2)2xxk x x+= 2 22 4(1)8 20 1212 kk kk + += + 1 4 k = l440xy+= l0?x =440xy+= 当0m时，( )0 xf，( )xf
15、在()+, 0上单调递增，无极值点；2 分 当0m时，( )mxxf则令, 0 ，故( )xf在()+,m上单调递增，在()m, 0上单减，故( )xf有 1 个极小值点，无极大值点. 4 分 综上：当0m时，( )xf有 0 个极值点；当0m时，( )xf有 1 个极值点. 5 分 （2）( ) x m xf=1 ，() ()()() 2 121122 1 0 121212 ln lnln 1 x m f xf xxmxxmxx fx xxxxxx = + ， 12 12 12 2 11 2 2 xxmm f xx xx + = = + + ， 故() 2 121 0 1212 ln 2 1
16、1 2 x m xxxm fxf xxxx + = + + = 2 1 1212 ln 2 x m xm xxxx + + = () 12 2 12112 2 ln xxxm xxxxx + + ，7 分 令() 2 1 1 x tt x =，( ) () t t tth + += 1 12 ln，8 分 则( ) () () () 0 1 1 1 41 2 2 2 + = + += tt t tt th，所以( )th在()+, 1上单调递增，则( )( )01 = hth， 9 分 () 12 0 2 xx fxf + = () 12 2 12112 2 ln xxxm xxxxx + +
17、 0，10 分 () 12 0 2 xx fxf + ，又( )xf 在()+, 0上单调递增，11 分 12 0 2 xx x + 12 分 22.解： （1）03: 1 =+ yxC;2 分 () 2 2 2 2cos :1, 2sin xx Cy y = += = 即为参数5 分 （2）设点M()sin,cos2，则 点M到曲线的距离 2 3sin 3 3 cos 3 6 3 2 3sincos2 + = + = d = () 2 3sincoscossin3+ （其中 3 3 cos, 3 6 sin=） = () 2 3sin3+ ，7 分 当()1sin=+时， 2 623 2 3
18、3 min = =d，此时, 2 Zkk+=+ 即 Zkk+=, 2 , 所 以 3 3 cos 2 sinsin= += k， 3 6 sincos=， 故 3 3 , 3 32 M10 分 23.（1）证明：()2 1 +=+=+ a abaaxbxbxax4 分 当且仅当1=ba时，取等号5 分 （2）( )bababxaxxf+=+=，2=+ba，6 分 又( )533333=+=+=babaf， 2 1 , 2 3 =ba7 分 由题意可得 + + 4 2 1 2 3 2 1 4 2 3 2 1 2 3 2 1 4 2 1 2 3 2 3 xx x xx x xx x 或或9 分 故原不等式的解集为 2 3 2 5 xxx或10 分 1 C
