中考数学复习专项二解答题专项十二次函数与几何图形综合题课件.ppt_163文库

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1、中考数学复习专项二解答题专项十二次函数与几何图形综合题课件中考解读：中考解读：二次函数与几何图形综合题为陕西中考解答题必考题，题位为第24题，分值为10分，涉及求点的坐标、求函数解析式（利用待定系数法）、三角形的全等和相似的性质和判定、等腰三角形和直角三角形的性质和判定、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的性质和判定、点的存在性、两点之间线段最短、垂线段最短、面积的最值等。这类题目结构新颖，形式美观、动静结合、解法活而不难，但有较强的综合性，要逐步突破。其主要考查类型为（1）二次函数与图形判定；（2）二次函数与相似三角形（全等三角形）；（3）二次函数与图形面积；（4）二次函数与图形变

2、换；（5）二次函数与最值问题。解答题专项核心素养及解题思想和方法核心素养及解题思想和方法1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。2.数形结合思想和分类讨论思想。3.常用解题方法：代数法和几何法。类型1 二次函数与图形判定解答题专项代数模型一、平面直角坐标系中两点距离公式代数模型一、平面直角坐标系中两点距离公式代数模型二、中点坐标公代数模型二、中点坐标公式式解答题专项代数模型三、平行四边形四顶点坐标模型代数模型三、平行四边形四顶点坐标模型解答题专项几何模型一、两圆一线法：精确定位几何模型一、两圆一线法：精确定位“两定一动两定一动”型等腰三角形（含等边三角形）存型等腰三角形（含等边三

3、角形）存在性问题中的动点坐标。在性问题中的动点坐标。【问题情境】如图，已知点A，B和直线l，在l上求作点P，使PAB为等腰三角形。【问题探究】如图，分别以点A，B为圆心，以线段AB为半径作圆，再作线段AB的中垂线，两圆和AB的中垂线分别与直线l的交点均为符合条件的P点。【问题解决】利用“两圆一线”法确定符合条件的动点，然后分别表示出点A,B,P的坐标，再表示出线段AB,AP,BP的长度，由三条线段关系(AB=AP或AB=BP或PA=PB)建立等量关系，解决问题。等量关系可利用：(1)勾股定理建立;(2)方程思想建立；(3)成比例线段或相似关系建立。解答题专项几何模型特例一在平面直角坐标系中，已

4、知点A(-3,0)，B(0,4),在x轴上找一点P,使ABP为等腰三角形，求满足条件的所有P点坐标。方法一：方法一：代数法。由于动点P在x轴上，设P(m,0),由两点距离公式表示AB,AP,BP，然后列方程可得。举一反三:如果P点在坐标轴上，满足条件的点有几个？方法二：方法二：“两圆一线”法精确定位，可直接口算出圆与x轴交点坐标，“一线”与x轴交点坐标可用勾股定理构建方程求解。如图，由勾股定理可知AB=5,当AB=AP1=AP3=5时，易得P1(-8，0)，P3(2,0)；当AB=BP4时，P4(3,0)；当AP2=BP2时，设在RtP2OB中，P2(m,0),由勾股定理，得(m+3)2=m2

5、+42。解得m=76,所以P2 。7,06解答题专项几何模型二、几何模型二、“一圆两线一圆两线”法：精确定位法：精确定位“两定一动两定一动”型直角三角形存在性问题中的型直角三角形存在性问题中的动点坐标。动点坐标。【问题情境】如图，已知点A，B和直线l，在l上求作点P，使PAB为直角三角形。【问题探究】如图，先以AB为直径作圆与直线l相交、再分别过A，B作线段AB的垂线，垂线和圆与直线l的交点即为所求的P点。【问题解决】分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，AP，BP的长度，根据图形特殊性分别建立等量关系。等量关系可利用：(1)AB2=AP2+BP2或AP2=AB2+BP2或BP2=A

6、B2+AP2，即勾股定理；(2)相似(常见一线三等角)；(3)三角函数。解答题专项几何模型特例二如图11，在平面直角坐标系中，已知点A(-3,0)，B(0,4),在坐标轴上找一点C,使ABC为直角三角形，求满足条件的所有C点坐标。【简析】本例可采用“代数法”，借助两点距离公式，用勾股定理建立等量模型，分类讨论求解。也可采用“一圆两线”法。方法一：方法一：代数法。利用两点距离公式分别表示出AB，AC，BC，然后利用勾股定理建立等量关系即可解决问题。解答题专项方法二：方法二：“一圆两线”法。如图12，精确画图后，利用相似或勾股定理求出符合条件的点的坐标。【通解通法】解特殊三角形点的存在性问题有两种

7、方法：(1)代数法盲解盲算，代数法一般分三步：罗列三边长、分类列方程(等量关系有勾股定理、相似、三角函数等)、求解并检验。(2)几何法：即“两圆一线”和“一圆两线”精准定位，分三步：分类、画图、计算。解题过程中，二者有效结合，有力彰显数形结合思想。几何模型三、几何模型三、“平行线构造平行线构造”法：精确确定法：精确确定“三定一动三定一动”型或型或“两定两动两定两动”型特殊四边形型特殊四边形(包括菱形、矩形、正方形，这里以平行四边形为例包括菱形、矩形、正方形，这里以平行四边形为例)存在性问题存在性问题【问题情境】如图13，已知平面内不共线的三点A，B，C或两点A，B，求作一点或两点C，P,使得A

8、，B，C，P四个点组成平行四边形。【问题探究】(1)如图14，顺次连接AB，BC，CA，分别过A，B，C作对边的平行线，三条平行线交点即为所求点P。解答题专项(2)对于已知两点，求两点C，P，题目中的C，P两动点位置受某种条件约束。如图15，若以AB为一边，根据题目约束条件，可将AB进行上下左右平移，找到适合条件的两个点的坐标。如图16，若以AB为对角线，找出AB中点，旋转经过中点的直线，寻找适合条件的两个点的坐标。【问题解决】(1)用四顶点坐标公式解决“三定一动”平行四边形存在性问题的方法，直接利用平行四边形四顶点坐标模型为等量关系列方程求出P点坐标；(2)转化成点的平移(平行)的几何模型求

9、出点的坐标。(2)用四顶点坐标模型解决“两定两动”平行四边形存在性问题的方法：首先确定已知两个点坐标，设出一个特殊位置的动点坐标。然后确定相对顶点，分三种情况分类讨论，把第四个点的坐标用含有未知数的代数式表示。最后代入相应的函数关系式即可求出待定点的坐标。解答题专项几何模型特例三如图17，在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(2,2)，C(0,3)。在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形。【简析】如图18，分别过A，B，C三点作对边的平行线，三条平行线互相交于点D1，D2，D3。方法一：方法一：如图19，以D1点为例，在平行四边形ABD1C中，以AB为一

10、边时，设D1(xD,yD),这里点A与点D1，点C与点B为对应顶点，利用四顶点坐标公式，易得D1解答题专项点坐标；以D3点为例，AB为对角线，这里点A与点B，点C与点D3为对应顶点,用上述方法易得D3点坐标。方法二：方法二：平移法。如图19，以AB为一边时，以D1点为例，首先确定点D1与点C在同一条直线上，且CD1AB。故A(-1,0)。“平移法”秒杀D1点坐标。本题还可以利用点D1与点B在同一条直线上，且得D1点坐标；以AB为对角线时，以D3点为例，通过构造BGD3COA,易得D3点坐标。【通解通法】平行四边形的存在性问题，可以利用上述“平行线”构造法和对角线互相平分来精确确定适合条件的点

11、的存在性问题，然后利用全等或平移(平行)相关性质求出相应点的坐标。也可以利用代数模型求解。“三定一动”或“两定两动”平行四边形存在性问题代数法求解步骤：(1)写出或设出三个(两个)顶点的坐标；(2)确定对应顶点，利用对应顶点建立等量关系；直接求出或用含有未知数的代数式表示出第四个点的坐标；(3)将设出的点的坐标代入相应的函数关系式，求出待定点的坐标。解答题专项例例1 1 如图，抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于A(-2,0)，B(1,0)两点,交y轴于点C。(1)求该抛物线的解析式。(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使BCP为等腰三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。解答题

12、专项解答题专项解答题专项解答题专项类型2 二次函数与相似三角形(全等三角形)核心素养及解题思想和方法核心素养及解题思想和方法1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。2.常用解题思想：数形结合思想、分类讨论思想、方程思想。3.常用解题方法：代数法和几何法。代数模型代数模型1.如果给定的两个点的纵坐标相同，如(x1,y)(x2,y)，则可以得到对称轴为直线x=。2.一次函数y=kx+n(k0)的图像l与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像C的交点，由方程组的解的数目来确定：(1)方程组有两组不同的解时l与C有两个交点;(2)方程组只有一组解时l与C只有一个交点；(3)方程组无

13、解时l与C没有交点。解答题专项几何模型几何模型、三角形相似模型、三角形相似模型解答题专项【知识必备及方法归纳】(1)相似的判定：a.两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似；b.两角对应相等两个三角形相似；c.三边对应成比例的两个三角形相似；d.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；e.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。(2)“相似”与“”：一般地，若ABC与DEF相似，则不存在对应关系，需分类讨论；若ABCDEF，则具备对应关系，只有一种情况，不需讨论。【通解通法】1.1.两个定三角形是否相似：

14、两个定三角形是否相似：(1)已知一角相等：等角分显性和隐性，方法为运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，若是“相似”，对应成比例有两种情况，分类求解；若是“”，则对应成比例只有一种情形;利用定角定比结论，即确定的角，其三角函数值确定，巧用三角函数求解。(2)若无角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。解答题专项2.2.一个定三角形和动三角形相似：一个定三角形和动三角形相似：(1)已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来(用字母表示)，然后把两个目标三角形(题中要求相似的那两个三角形)中相等的那个已知

15、角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例(要注意是否有两种情况)，列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。(2)未知是否有一角相等的情形：这种情形在相似中属于高端问题。破解方法是:在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标用字母表示后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题，只需再验证已

16、知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求(动)点标，再验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。解答题专项例例2 2 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C。抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-，且经过A，C两点，与x轴的另一交点为B。(1)直接写出点B的坐标；求抛物线的解析式。(2)抛物线上是否存在点M，过点M作MNx轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。1232解答题专项解答题专项解答题专项类型类型3 二次函数与图形面积二次函数与图形

17、面积核心素养及解题思想和方法核心素养及解题思想和方法1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。2.数学思想方法：数形结合思想和分类讨论思想。3.常用解题方法：宽高模型和平行线构造模型。代数模型代数模型解答题专项几何模型几何模型宽高模型如图，已知ABC,分别过A，B，C三点向水平直线l作垂线，垂足分别为D，E，F,AE交BC于点K，设DF=a,AK=h,则SABC=ha。我们把DF叫水平宽，AK叫铅垂高。结论推导：任意三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。平行线构造模型如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B，点C在x轴下方的抛物线上，在抛物线上找一点P,使SACP=SACB

18、。“平行构图”：因为ACP和ACB同底，若面积相等，则高线相等。所以过B点在AC上方作直线l1AC，在AC下方作直线l2AC,且直线l1，l2到AC距离相等。(其他倍比关系同上法)12解答题专项【通解通法】设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,直线AC的解析式为y=kx+m。1.如图，水平宽铅垂高模型。以P2点为例，首先设出待求点P2的坐标为(x,ax2+bx+c),G(x,kx+m)。SACP=SACB，同底，则铅垂高相等。P2G=kx+m-(ax2+bx+c),那么|yc|=kx+m-(ax2+bx+c),列方程求解。2.如图，因为l1AC，以P1为例，利用平行关系和点B坐标，求出直线l1

19、解析式，然后联立直线l1解析式与抛物线解析式，解方程组得出P1点坐标。解答题专项例例3 3(2015陕西中考)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点。(1)求点A，B，C的坐标。(2)求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数解析式。(3)设(2)中所求抛物线的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点。在以A，B，C，M，A，B，C，M这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积。解答题专项解答题专项类型4 二次函数与图形变换核心素养及解题思想和方法核心素养及解题思想和方法1.核心素养：

20、数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。2.数学思想方法:数形结合思想和分类讨论思想。3.平移模型、旋转模型和轴对称模型。一、平移模型一、平移模型如图，在平面直角坐标系中，点A(0,yA)，B(xB,0)，C(xC,0),将ABC向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，此时点A(m,yA-n)，B(xB+m,-n)，C(xC+m,-n)。注：平移不改变图形的形状和大小。解答题专项【通解通法】1.知识必备：根据图形平移的性质：平移不改变图形的形状和大小。抛物线平移的过程中，形状、大小、开口均不变，即a的值不变。2.如图，抛物线C1：y=ax2+bx+c向右平移m个单位长度，再向上平移n个单

21、位长度。求平移后的抛物线C2的解析式或满足某个特殊图形相应条件的问题。【解法】当平移距离一定时，抛物线C1平移到抛物线C2后,易得点C的坐标，a的值不变，设C2：y=ax2+bx+c，利用顶点坐标公式即可求出待定系数b，c的值；当平移距离待定时，设出相应点的坐标，利用特殊图形的性质，列方程建立等量关系解题。二、旋转模型二、旋转模型如图，在平面直角坐标系中，点A(0,yA)，B(xB,0)，C(xC,0),将ABC绕点B顺解答题专项(或逆)时针旋转180，此时点A(-2xB,-yA)，C(2xB-xC,0)。注：旋转不改变图形的形状和大小。【通解通法】1.知识必备：初中阶段旋转一般旋转180，实

22、际上指的是关于某个点成中心对称。根据旋转的性质：旋转不改变图形的形状和大小。抛物线在旋转过程中，形状、大小不变，开口方向相反，两抛物线关于某个点成中心对称。特例：关于原点对称，a的值变为相反数，顶点的横、纵坐标互为相反数。2.如图，抛物线C1：y=ax2+bx+c绕点A旋转180得到抛物线C2，求旋转后的抛物线C2的解析式或满足某个特殊图形相应条件的问题。【解法】(1)确定原抛物线的旋转中心;(2)抛物线C2的二次项系数为-a，利用中心对称的性质构造全等求出相应点的坐标或设出相应点的坐标，利用特殊图形的性质，列方程建立等量关系解题。解答题专项三、轴对称模型三、轴对称模型如图，在平面直角坐标系中

23、，点A(0,yA)，B(xB,0)，C(xC,0),ABC与ABC关于y轴对称，此时点B(-xB,0)，C(-xC,0)。注：轴对称又称折叠、对称或翻折。【通解通法】1.知识必备：根据轴对称的性质：成轴对称图形的两个图形，形状、大小不变，对应点的连线被对称轴垂直平分。如图，抛物线C1：y=ax2+bx+c沿直线x=m对折得到抛物线C2，求折叠后的抛物线C2的解析式或满足某个特殊图形相应条件的问题。【解法】(1)确定原抛物线特殊点的坐标;(2)抛物线C2的二次项系数为a，利用轴对称的性质和两抛物线的对称轴，求出相应点的坐标或设出相应点的坐标，利用特殊图形的性质，列方程建立等量关系解题。解答题专项

24、例例4 4 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A(2，2)，对称轴是直线 x=1，顶点为 B。(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标；(2)点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，连接AM，用含m的代数式表示AMB的正切值；(3)将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上，原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标。解答题专项解答题专项类型5 二次函数与线段最值、面积最值问题核心素养及解题思想和方法核心素养及解题思想和方法1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。2.数学思想方法：数形结合

25、思想、分类讨论思想、转化思想。3.常用解题方法：代数法和几何法。一、二次函数与线段最值问题一、二次函数与线段最值问题常见模型一常见模型一【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小或|PA-PC|的值最大，求适合条件的点P的坐标或最值。【通解通法】1.知识必备：(1)两点之间，线段最短；(2)二次函数顶点式：。2.抛物线中的“两定一动”型(将军饮马)和线段之差最大问题。解答题专项【问题解决】1.抛物线上的将军饮马：(1)找点。如图，找出点A关于对称轴的对称点A，连接AC与对称轴交于点P,点P即为所求。(2)说理。在A

27、C|AC。(3)求解。求出直线AC的解析式，运用勾股定理即可求出点P的坐标。解答题专项常见模型二常见模型二【问题情境】1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的一个交点为B，与y轴交于点C,顶点坐标为F,点P为对称轴上一点，点H为BF上一点，求BP+PH的最小值。2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的一个交点为B，与y轴交于点C,点P为抛物线上一点，当点C到BP的距离最大时，求满足条件的直线BP的解析式及点P的坐标。【通解通法】1.知识必备：(1)垂线段最短；(2)在直角三角形中，斜边大于直角边。2.抛物线中“一定两动”型和“斜大于直”问题。解答题专项【问题解决】1.“一定两动”型问题

28、：(1)找点。如图，要求BP+PH最短，由题意可知，B为定点，P，H为特定条件的两个动点。方法为：找出点B关于抛物线对称轴的对称点A,过点A作AHBF交BF于点H，交抛物线的对称轴于点P,点P即为所求。(2)说理。由作图可知,PB=PA,BP+PH=AH。又AHBF,AH最短，BP+PH的值最小。(3)求解。先求出直线BF的解析式，由AHBF求出直线AH的解析式，点P在对称轴上，利用AH的解析式求出点P的坐标即可解决问题。2.“斜大于直”问题：如图，由题意，得C，B两点确定，相当于直线BP绕BC旋转过程中，当BPCB时，点C到BP的距离最大。理论依据：斜大于直。方法为：先求出BC的解析式，再由

29、BPBC求出BP的解析式，然后联立BP与抛物线的解析式，即可求得点P的坐标。此外，二次函数与满足某一条件的铅垂高最大问题也是中考经常考查的题目，常与面积最值问题结合考查，这里不再一一赘述。解答题专项二、二次函数与面积最值问题二、二次函数与面积最值问题常见模型三常见模型三【问题情境】在平面直角坐标系中，如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，在抛物线上找一点C,使得ACD的面积最大。求点C的坐标或SACD的面积的最大值。【通解通法】1.知识必备：(1)S=底高=水平宽铅垂高；(2)二次函数顶点式：;(3)符合某种条件的一次函数与二次函数联立求交点坐标和一元二次方程根

30、的判别式；(4)两直线平行时，k值相等(斜率相等)。2.抛物线中“两定一动”型面积问题。注：一动实际上是满足条件的唯一点的存在问题探究，本质上属于特殊定点的存在性问题。1212解答题专项【问题解决】首先设出满足条件的点P的坐标(x,ax2+bx+c)。方法方法1 1：割补法。把所求图形的面积适当割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。【解析】如图，过点C作x轴的垂线，交x轴于点F,SACD=S四边形AODC-S梯形CFOD+SCDE-SAEF,实际上采用的是转化思想：化斜为直法解题。方法方法2 2：“平宽垂高”模型，此种解法思路更为简洁。如图，水平宽：AO；铅垂高：CE,易得直线AD的解析式

31、，由已知设点C的坐标得出点E的坐标，CE的长度很容易用代数式表示出来，AO已知，则用“平宽垂高”易建立SACD与x之间的二次函数表达式，配成顶点式，则易得点C的坐标或ACD面积的最大值。解答题专项方法方法3 3：切线法模型，若要使PBC的面积最大，只需要BC的高最大，过点P作BC的平行线l,当直线l与抛物线有唯一交点时，BC的高最大，此时PBC的面积最大。先求出直线BC的解析式，由直线lBC，可得k的值相等，再将直线l的解析式与二次函数的解析式联立后，令b2-4ac=0时，利用方程求解，得出直线l中b的值，易得结论。满足特征的面积最值问题除了以上常用方法以外，有时还可以根据题目特点通过灵活转化

32、角的方法运用三角函数解决问题。解答题专项例例5 5 已知抛物线y=-2x2+bx+c与y轴交于点B(0,4)，与x轴交于点A(2,0)，抛物线的顶点为D。(1)求抛物线的表达式及点C,D的坐标。(2)连接BC,在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使CPB的周长最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。(3)点M为AB上一个动点，过点M作MEx轴，交x轴于点E，交抛物线于点F。线段MF是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由。解答题专项编后语常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几

33、分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？一、释疑难对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。二、补笔记上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。三、课后“静思2分钟”大有学问我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。2022-10-25精选最新中小学教学课件thank you!2022-10-25精选最新中小学教学课件

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