1、2023高考数列专题数列的函数性质一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列；(2)作商比较法：根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断 例1(2022滕州模拟)设数列an的通项公式为ann2bn，若数列an是单调递增数列，则实数b的取值范围为( )A1，)B(3，)C2，)D例2 若数列an满足an2n2kn1，且an是递减数列，则实数k的取值范围为 跟踪练习1、已知数列an的通项公式为an，那么这个数列是()A递增数列B递减数列C摆动数列D常数列2、请写出一个符合
2、下列要求的数列an的通项公式：an为无穷数列；an为单调递增数列；0an0，S2 0190，对任意正整数n，都有|an|ak|，则k的值为()A1 008B1 009C1 010D1 0114、(多选)已知数列an满足annkn(nN*,0k1)，下列命题正确的有()A当k时，数列an为递减数列B当k时，数列an一定有最大项C当0k1，a12，且a1，a2，a38成等差数列(1)求出数列an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，任意nN*，Snm恒成立，求实数m的最小值3、(2022东莞模拟)已知等差数列an的首项a11，公差为d，前n项和为Sn若SnS8恒成立，则公差d的取值范围是_高考
3、数列专题数列的函数性质（解析版）一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列；(2)作商比较法：根据(an0或anan，(n1)2b(n1)n2bn，即b(2n1)对任意的nN*恒成立，又n1时，(2n1)取得最大值3，b3，即实数b的取值范围为(3，)例2 若数列an满足an2n2kn1，且an是递减数列，则实数k的取值范围为(，6).解：解法一：由数列是一个递减数列，得an1an，又因为an2n2kn1，所以2(n1)2k(n1)12n2kn1，k4n2，对nN*，所以k6.解法二：数列an的通项公式是关于n(
4、nN*)的二次函数，数列是递减数列，k0，an1an，故选A2、请写出一个符合下列要求的数列an的通项公式：an为无穷数列；an为单调递增数列；0an2这个数列的通项公式可以是_解析：因为函数an2的定义域为N*，且an2在N*上单调递增，021，f(n)单调递增，f(n)minf(2)，实数的最小值是由可知实数的最小值是二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和例3、若数列an满足a12，an1(nN*)，则该数列的前2 023项的乘积是(3)A2B6C3D1解因为数列an满足a12，an1(nN*)，所
5、以a23，同理可得a3，a4，a52，所以数列an每四项重复出现，即an4an，且a1a2a3a41，而2 02350543，所以该数列的前2 023项的乘积是a1a2a3a4a2 0231505a1a2a33例4 (2021福建福清校际联盟期中联考)已知Sn为数列an前n项和，若a1，且an1(nN*)，则6S100(A)A425B428C436D437解：由数列的递推公式可得：a2，a33，a42，a5a1，据此可得数列an是周期为4的周期数列，则：6S100625425跟踪练习1、(2022福州模拟)已知数列an满足an1，若a1，则a2 023()A1BC1D2解析：B由a1，an1得
6、a22，a31，a4，a52，可知数列an是以3为周期的周期数列，因此a2 023a36741a1五、 数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f(x)当xN*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用 (n2)确定最大项，利用 (n2)确定最小项；(3)比较法：若有an1anf(n1)f(n)0，则an1an，则数列an是递增数列，所以数列an的最小项为a1f(1)；若有an1anf(n1)f(n)0，则an1an，则数列an是递
7、减数列，所以数列an的最大项为a1f(1) 例5(2022金陵质检)已知数列an满足a128，2，则的最小值为(C)AB41 CD解：由an1an2n，可得ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)28242(n1)28n(n1)n2n28，n1，设f(x)x，可知f(x)在(0， 上单调递减，在(，)上单调递增，又nN*，且例6已知数列an的通项公式an(n1)n，则数列an中的最大项是第9、10项解：解法一：an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an10n1或n6，a20，a30，a40，a50，所以t
8、an3恒成立，即t(an3)mina133，所以tmax33、(2022重庆模拟)设Sn为等差数列an的前n项和，且满足S2 0180，S2 0190，S2 0190，a1a2 0192a1 0100，a1 010|a1 010|，因为对任意正整数n，都有|an|ak|，所以k1 010，故选C4、(多选)已知数列an满足annkn(nN*,0k1)，下列命题正确的有()A当k时，数列an为递减数列B当k时，数列an一定有最大项C当0k时，数列an为递减数列D当为正整数时，数列an必有两项相等的最大项解析：BCD当k时，a1a2，知A错误；当k时，当n1，当n4时，1，所以可判断an一定有最大
9、项，B正确；当0k时，kk，当k时，a1a2a3a4，当1k时，令mN*，解得k，则，当nm时，an1an，结合B，数列an必有两项相等的最大项，故D正确故选B、C、D5、已知数列an的通项公式an，若a1a2ana1a2ak对nN*恒成立，则正整数k的值为_解析：an，当n5时，an1；当n6时，an1，a12，且a1，a2，a38成等差数列(1)求出数列an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，任意nN*，Snm恒成立，求实数m的最小值解(1)因为a12，且a1，a2，a38成等差数列，所以2a2a1a38，即2a1qa1a1q28，所以q22q30，所以q3或q1，又q1，所以q3，所以an23n1(nN*)(2)因为数列an是首项为2，公比为3的等比数列，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以Sn，因为任意nN*，Snm恒成立，所以m，即实数m的最小值为3、(2022东莞模拟)已知等差数列an的首项a11，公差为d，前n项和为Sn若SnS8恒成立，则公差d的取值范围是_解析：根据等差数列an的前n项和Sn满足SnS8恒成立，可知a80且a90，所以17d0且18d0，解得d答案：9
