1、阶段复习课阶段复习课第第 三三 章章【核心解读核心解读】1.1.复数的分类复数的分类对复数对复数z za abibi(a a，b bR R)，当当b b0 0时，时，z z为实数；当为实数；当b b00时，时，z z为虚数；为虚数；当当a a0 0，b b00时，时，z z为纯虚数为纯虚数2.2.复数中的两种思想复数中的两种思想(1)(1)函数思想：求复数模的最值时，需转化为关于复数函数思想：求复数模的最值时，需转化为关于复数z z=x x+yiyi(x x，y yR R)的实部的实部x x或虚部或虚部y y的二次函数讨论求最值的二次函数讨论求最值.(2)(2)方程思想：由复数的代数形式利用复
2、数相等的条件得到方程思想：由复数的代数形式利用复数相等的条件得到方程方程(组组)，解决问题，解决问题.3.3.复数的运算技巧复数的运算技巧(1)(1)化复为实化复为实:设设z za abibi(a a，b bR R)，利用复数相等和相关性，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化，是解决复数问题的常用方法质将复数问题实数化，是解决复数问题的常用方法(2)(2)类比实数：在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运类比实数：在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化4.4.复数中的两种对应关系复数中的两种对应关系(1)(
3、1)复数与复平面上点的对应复数与复平面上点的对应.(2)(2)复数与以坐标原点为起点的向量的对应复数与以坐标原点为起点的向量的对应.利用对应点可以把复数问题转化为几何问题、向量问题利用对应点可以把复数问题转化为几何问题、向量问题.主题一主题一 复数的概念复数的概念【典例典例1 1】(1)(2013(1)(2013陕西高考陕西高考)设设z z是复数，则下列命题中的是复数，则下列命题中的假命题是假命题是()()A A.若若z z2 200，则，则z z是实数是实数 B B.若若z z2 200，则，则z z是虚数是虚数C C.若若z z是虚数，则是虚数，则z z2 20 0 D D.若若z z是纯
4、虚数，则是纯虚数，则z z2 200(2)(2)复数复数z zloglog3 3(x x2 23 3x x3)3)ilogilog2 2(x x3)3)，当，当x x为何实数时，为何实数时，z zR R.z z为虚数为虚数.【解题指南解题指南】(1)(1)设出复数的代数形式，复数问题转化为设出复数的代数形式，复数问题转化为实数问题求解，进行验证，从而得出正确的答案实数问题求解，进行验证，从而得出正确的答案.(2)(2)利用复数分类求利用复数分类求x x.【自主解答自主解答】(1)(1)选选C C.设设z z=a a+bibi，a a，b bR R z z2 2=a a2 2b b2 2+2+2
5、abiabi.对选项对选项A A:若若z z2 200，则，则b b=0=0 z z为实数，所以为实数，所以z z为实数正确为实数正确.对选项对选项B B:若若z z2 200，则，则a a=0=0，且，且b b00z z为纯虚数，所以为纯虚数，所以z z为虚数正确为虚数正确.对选项对选项C C:若若z z为纯虚数，则为纯虚数，则a a=0=0，且，且b b00z z2 200，所以，所以z z2 200错误错误.对选项对选项D D:若若z z为纯虚数，则为纯虚数，则a a=0=0，且，且b b00z z2 200，所以，所以z z2 2033所以当所以当 且且x x44时，时，z z为虚数为
6、虚数.321321xx.22或321x2【延伸探究延伸探究】若把题若把题(2)(2)结论改为结论改为z z为纯虚数，则为纯虚数，则x x的范围的范围如何？如何？【解析解析】因为一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为因为一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0 0，且虚部不为且虚部不为0 0，所以所以此方程组无解此方程组无解所以复数所以复数z z不可能是纯虚数不可能是纯虚数2322logx3x30,x3x3 0logx30,x30,【方法技巧方法技巧】复数的有关概念复数的有关概念(1)(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如如实数、虚数、
7、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的的前提前提(2)(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据依据提醒：提醒：求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.【补偿训练补偿训练】(2013(2013上海高考上海高考)设设m mR R，m m2 2+m m2+(2+(m m2 21)1)i i是纯虚数，其中是纯虚数，其中i i是虚数单位，则是虚数单位，则m m=_.=_.【解析解析】m m2 2+m m2+(2+(m m2 21)1)i i是纯
8、虚数是纯虚数答案：答案：-2-222mm20m2.m10，主题二主题二 复数的四则运算复数的四则运算【典例典例2 2】(1)(1)已知已知i i是虚数单位，复数是虚数单位，复数(1+(1+bibi)(2+)(2+i i)是纯虚数，是纯虚数，则实数则实数b b的值为的值为()()A A.-2 .-2 B B.-.-C C.D D.2.2(2)(2)已知已知z z是纯虚数，是纯虚数，是实数，那么是实数，那么z z等于等于()()A A.2.2i i B B.i i C C.-.-i i D D.-2.-2i i1212z21 i【自主解答自主解答】(1)(1)选选D D.因复数因复数(1+(1+b
9、ibi)(2+)(2+i i)2-2-b b+(2+(2b b+1)+1)i i是是纯虚数，所以纯虚数，所以2-2-b b=0=0，且，且2 2b b+10+10，得，得b b=2.=2.(2)(2)选选D D.设纯虚数设纯虚数z z=bibi(b bR R)，代入，代入由于其为实数，所以由于其为实数，所以b b=-2.=-2.所以所以z z=-2=-2i i.bi2 1 i2bb2 iz2bi2,1 i1 i1 i 1 i2【方法技巧方法技巧】复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把注意把i i看作一个字母看作一个字母(i i2 2=-1)=-1
10、)，除法运算注意应用共轭的性质，除法运算注意应用共轭的性质z z 为实数为实数.z【拓展延伸拓展延伸】复数运算的考查点复数运算的考查点复数的四则运算是本章的重点，复数的乘法、除法是高考的热复数的四则运算是本章的重点，复数的乘法、除法是高考的热点，考题呈现以下特点：点，考题呈现以下特点：(1)(1)复数的乘除运算复数的乘除运算.(2)(2)与复数的有关概念、复数的几何意义相结合与复数的有关概念、复数的几何意义相结合.(3)(3)与两复数相等的充要条件结合与两复数相等的充要条件结合【补偿训练补偿训练】(2014(2014大同高二检测大同高二检测)复数复数 =()=()【解析解析】选选C C.依题意
11、得依题意得 选选C C.1111A.i B.i22221111C.i D.i2222234iii1 i2341i1iii1 i1 i i 1 ii1 i11i1 i1 i 1 i222，主题三主题三 共轭复数、复数的模共轭复数、复数的模【典例典例3 3】(1)(2013(1)(2013新课标全国卷新课标全国卷)=()=()(2)(2013(2)(2013新课标全国卷新课标全国卷)若复数若复数z z满足满足(3(34 4i i)z z=|4+3=|4+3i i|，则则z z的虚部为的虚部为()()【解题指南解题指南】(1)(1)先化简先化简 然后计算模然后计算模.(2)(2)首先设首先设z z=
12、a a+bibi(a a，b bR R)，利用复数的运算法则进行化简，利用复数的运算法则进行化简，然后利用复数相等列出关于然后利用复数相等列出关于a a，b b的方程组，求出的方程组，求出b b的值的值.2|1 iA.2 2 B.2 C.2 D.144A.4 B.C.4 D.5521 i，【自主解答自主解答】(1)(1)选选C C.所以所以 选选C C.(2)(2)选选D D.设设z z=a a+bibi(a a，b bR R)，则，则(3(34 4i i)z z=(3=(34 4i i)()(a a+bibi)=5)=5，化简得化简得3 3a a+4+4b b+(3+(3b b4 4a a)
13、i i=5=5，所以，所以解得解得即即 所以所以z z的虚部为的虚部为2 1 i2 1 i21 i1 i1 i 1 i2，2|21 i，3a4b53b4a0，3a54b5，34zi.554.5【方法技巧方法技巧】化复为实化复为实利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题利用平面几何知识解答本题【补偿训练补偿训练】把复数把复数z z的共轭复数记作的共轭复数记作 已知已知(1+2(1+2i i)+=4+
14、3)+=4+3i i，则，则【解析解析】(1+2(1+2i i)+=4+3)+=4+3i i 3+3+i i，从而有，从而有z z=3=3i i，所以所以答案：答案：z，zz.z_zzz43i.55z43i55主题四主题四 复数的几何意义复数的几何意义【典例典例4 4】(1)(1)在复平面内，复数在复平面内，复数z z=i i(1+2(1+2i i)，对应的点位于，对应的点位于()()A A.第一象限第一象限 B B.第二象限第二象限C C.第三象限第三象限 D D.第四象限第四象限(2)(2)设复数设复数z z满足满足|z z|=5|=5，且，且(3+4(3+4i i)z z在复平面上对应的
15、点在在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，求复数第二、四象限的角平分线上，求复数z z【自主解答自主解答】(1)(1)选选B B.因为因为z z=i i(1+2(1+2i i)=)=i i+2+2i i2 2=-2+=-2+i i，所以复数，所以复数z z所对应的点为所对应的点为(-2(-2，1)1)，故选，故选B B.(2)(2)设复数设复数z z=x x+yiyi(x x，y yR R).).又又|z z|=5|=5，所以，所以x x2 2+y y2 2=25.=25.因为因为(3+4(3+4i i)z z=(3+4=(3+4i i)()(x x+yiyi)=3)=3x x4 4y
16、 y+(4+(4x x+3+3y y)i i在复平面上对应在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，所以它的实部与虚部互为的点在第二、四象限的角平分线上，所以它的实部与虚部互为相反数，相反数，3 3x x4 4y y+(4+(4x x+3+3y y)=0)=0 y y=7=7x x，由由所以所以22xy2527 2x,y22y7x ，27 227 2zizi.2222或【方法技巧方法技巧】数形结合数形结合复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法(1)(1)复数的几何表示法：即复数复数的几何表示法：即复数z za abibi
17、(a a，b bR R)可以用复平可以用复平面内的点面内的点Z Z(a a，b b)来表示此类问题可建立复数的实部与虚部来表示此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程应满足的条件，通过解方程(组组)或不等式或不等式(组组)求解求解(2)(2)复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变平移前后起点、终点对应的复数要改变【补偿训练补偿训练】(2014(2014兰州高二检测兰州高二检测)复
18、数复数m m(3+(3+i i)-(2+)-(2+i i)(m mR R，i i为虚数单位为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于在复平面内对应的点不可能位于()()A A.第一象限第一象限B B.第二象限第二象限C C.第三象限第三象限D D.第四象限第四象限【解析解析】选选B B.因为因为m m(3+(3+i i)-(2+)-(2+i i)=(3)=(3m m-2)+(-2)+(m m-1)-1)i i，设复数，设复数m m(3+(3+i i)-(2+)-(2+i i)()(m mR R，i i为虚数单位为虚数单位)在复平面内对应的点在复平面内对应的点M M的的坐标为坐标为(x x，y y
19、)，则，则消去消去m m得：得：x x-3-3y y-1=0-1=0，因为直线，因为直线x x-3-3y y-1=0-1=0经过第一、三、四经过第一、三、四象限，所以，复数象限，所以，复数m m(3+(3+i i)-(2+)-(2+i i)()(m mR R，i i为虚数单位为虚数单位)在复在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B B.x3m2ym 1，【强化训练强化训练】1.(20141.(2014青岛高二检测青岛高二检测)关于复数关于复数 下列说法中下列说法中正确的是正确的是()()A A.在复平面内复数在复平面内复数z z对应的点在第一象限对应的
20、点在第一象限B B.复数复数z z的共轭复数的共轭复数 =1-=1-i iC C.若复数若复数z z1 1=z z+b b(b bR R)为纯虚数，则为纯虚数，则b b=1=1D D.设设a a，b b为复数为复数z z的实部和虚部，则点的实部和虚部，则点(a a，b b)在以原点为圆心，在以原点为圆心，半径为半径为1 1的圆上的圆上21 iz,1 iz【解析解析】选选C C.由题可知由题可知 对应的点为对应的点为(-1(-1，1)1)，在第二象限，故，在第二象限，故A A错；错；=-1-=-1-i i，故，故B B错；若错；若z z+b b(b bR R)为纯虚数，则为纯虚数，则b b=1=
21、1，故，故C C正确；正确；(a a，b b)为为(-1(-1，1)1)，在以原点为圆，在以原点为圆心，半径为心，半径为 的圆上，故的圆上，故D D错错.21 i2iz1 i1 i1 i ，z22.(20142.(2014江西高考江西高考)若复数若复数z z满足满足z z(1+(1+i i)=2)=2i i(i i为虚数单位为虚数单位)，则则|z z|=()|=()A A.1 .1 B B.2 .2 C C.D D.【解题指南解题指南】运用复数除法的运算法则及模的公式进行计算运用复数除法的运算法则及模的公式进行计算.【解析解析】选选C C.232i 1 i2iz1 i z2.1 i1 i 1
22、i，3.(20143.(2014湖南高考湖南高考)满足满足 (i i为虚数单位为虚数单位)的复数的复数z z=()=()【解题指南解题指南】先解关于先解关于z z的方程，再用复数的除法法则进行运算的方程，再用复数的除法法则进行运算.【解析解析】选选B B.因为因为 所以所以z z+i i=zizi，z z=ziiz1111A.i B.i22221111C.i D.i2222ziiz，i1 ii(1 i)(1 i)(1 i)i111i.2224.(20134.(2013广东高考广东高考)若复数若复数z z满足满足iziz=2+4=2+4i i，则在复平面内，则在复平面内，z z对应的点的坐标是对
23、应的点的坐标是()()A A.(2.(2，4)4)B B.(2.(2，-4)-4)C C.(4.(4，-2)-2)D D.(4.(4，2)2)【解题指南解题指南】本题考查复数四则运算，既可以将本题考查复数四则运算，既可以将z z作为未知数作为未知数解出来，也可以利用解出来，也可以利用i i的乘方的性质，在等式两端乘以因式的乘方的性质，在等式两端乘以因式i i.【解析解析】选选C C.解方程解方程iziz=2+4=2+4i i，z z=4=42 2i i，z z对应点的对应点的坐标是坐标是(4(4，2).2).24ii【一题多解一题多解】在在iziz=2+4=2+4i i两端乘以因式两端乘以因式
24、i i可得可得(i i)iziz=(i i)(2+4)(2+4i i)，z z=4=42 2i i，z z对应点的坐标是对应点的坐标是(4(4，2).2).5.(20145.(2014北京高考北京高考)若若(x x+i i)i i=-1+2=-1+2i i(x xR R)，则，则x x=_.=_.【解题指南解题指南】展开后利用复数相等列式求解展开后利用复数相等列式求解.【解析解析】由已知得由已知得-1+-1+xixi=-1+2=-1+2i i ，所以，所以x x=2.=2.答案：答案：2 26 6设设(1+(1+i i)sinsin -(1+-(1+icosicos )对应的点在直线对应的点在
25、直线x x+y y+1=0+1=0上，上，则则tantan 的值为的值为_._.【解析解析】由题意，得由题意，得sinsin 1 1sinsin coscos 1 10 0，所以所以tantan 答案：答案：1.2127.7.实数实数m m分别取什么数时，复数分别取什么数时，复数z z=(1+=(1+i i)m m2 2+(5+(52 2i i)m m+6+61515i i是：是：(1)(1)实数实数.(2).(2)虚数虚数.(3).(3)纯虚数纯虚数.(4).(4)对应点在第三象限对应点在第三象限.(5).(5)对应对应点在直线点在直线x x+y y+5=0+5=0上上.(6).(6)共轭复
26、数的虚部为共轭复数的虚部为12.12.【解析解析】z z=(1+=(1+i i)m m2 2+(5+(52 2i i)m m+6+61515i i=(=(m m2 2+5+5m m+6)+(+6)+(m m2 22 2m m15)15)i i.因为因为m mR R，所以，所以z z的实部为的实部为m m2 2+5+5m m+6+6，虚部为，虚部为m m2 22 2m m15.15.(1)(1)若若z z是实数，则是实数，则(2)(2)若若z z是虚数，则是虚数，则m m2 22 2m m150150 m m55且且m m3.3.(3)(3)若若z z是纯虚数，则是纯虚数，则(4)(4)若若z z的对应点在第三象限，则的对应点在第三象限，则(5)(5)若若z z对应的点在直线对应的点在直线x x+y y+5=0+5=0上，则上，则(m m2 2+5+5m m+6)+(+6)+(m m2 22 2m m15)+5=015)+5=0(6)(6)若若z z的共轭复数的虚部为的共轭复数的虚部为1212，则，则(m m2 22 2m m15)=1215)=12m m=1 1或或m m=3.=3.2m2m 150,m5m3.mR或22m5m60,m2.m2m 15022m5m60,3m2.m2m 150341m.4
