1、 2018-2019 学年选修 2-3 第一章训练卷 计数计数原理原理（一（一） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60
2、 分，在每小题给出的四个选分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的) 1从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（ ） A8 种 B12 种 C16 种 D20 种 2已知 778 1 CCC nnn n * N，则 n 等于（ ） A14 B12 C13 D15 3某铁路所有车站共发行 132 种普通客票，则这段铁路共有车站数是（ ） A8 B12 C16 D24 471x的展开式中 x2的系数是（ ） A42 B35 C28 D21 5 一排9个座位坐了3个三口之家， 若每家人坐在一起， 则不同的坐法种数为 （ ）
3、 A3 3! B3 (3！)3 C(3！)4 D9! 6某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有 4 种不同颜色的花可供选择， 要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种 植方法共有（ ） A48 种 B36 种 C30 种 D24 种 7若多项式 x2x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，则 a9（ ） A9 B10 C9 D10 8从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、 礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能 从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A48 种 B36
4、种 C18 种 D12 种 9已知1 n x的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ） A212 B211 C210 D29 10将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封 放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（ ） A12 种 B18 种 C36 种 D54 种 11用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的 偶数共有（ ） A144 个 B120 个 C96 个 D72 个 12从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 6
5、0 的共有 （ ） A24 对 B30 对 C48 对 D60 对 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 个小题，每个小题，每小题小题 4 分，共分，共 16 分，把正确答案填在题中横分，把正确答案填在题中横 线上线上） 13在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教 师都有，则不同的选法有_种(用数值表示) 1441axx的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_ 15有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、 “握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复 若上午不测“
6、握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人， 则不同的安排方式共有_种(用数字作答) 16从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，能被 3 整除的数有_个 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 个个大大题，共题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤步骤) 17 （12 分）一个小组有 10 名同学，其中 4 名男生，6 名女生，现从中选出 3 名代 表， （1）其中至少有一名男生的选法有几种？ （2）至多有 1 名男生
7、的选法有几种？ 18 （12 分）从1、0、1、2、3 这 5 个数中选 3 个不同的数组成二次函数 yax2 bxc(a0)的系数 （1）开口向上的抛物线有多少条？ （2）开口向上且不过原点的抛物线有多少条？ 19 （12 分）求 9 3 xx的展开式中的有理项 20 （12 分）有 4 个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内 （1）共有多少种放法？ （2）恰有一个盒不放球，有多少种放法？ （3）恰有一个盒内有 2 个球，有多少种放法？ 21 （12 分）(2015 北京高二质检)已知 322 3 n xx展开式中各项系数和比它的二 项式系数和大 992 （1）求展开式中二项式系数最大
8、的项； （2）求展开式中系数最大的项 22 （14 分）已知 12 n x展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的 2 倍，且等于它后一项系数的5 6，试求该展开式中二项式系数最大的项 2018-2019 学年选修 2-3 第一章训练卷 计数原理计数原理（一一）答答 案案 一、选择题一、选择题 1 【答案】B 【解析】在正方体 1111 ABCDA B C D中，选取 3 个面有 2 个不相邻，则必选相对的 2 个面，所以分 3 类 若选ABCD和 1111 A B C D两个面，另一个面可以是 ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1和 ADD1A1中的一个，有 4 种， 同理选另外相对
9、的 2 个面也有 4 种所以共有4312 (种) 2 【答案】A 【解析】因为 878 1 C +CC nnn ，所以 78 11 CC nn 78n1，n14，故选 A 3 【答案】B 【解析】 2 A1132 n n n12n 故选 B 4 【答案】D 【解析】展开式中第 r1 项为 17 Cr r r Tx ， 22 37 CTx，x2的系数为 2 7 C21 5 【答案】C 【解析】本题考查捆绑法排列问题由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作 一个整体，一家人坐法有 3！种，三个家庭即(3！)3种，三个家庭又可全排列， 因此共(3！)4种注意排列中在一起可用捆绑法，即相邻问题 6 【
10、答案】A 【解析】由于相邻两块不能种同一种颜色，故至少应当用三种颜色，故分两类 第一类，用 4 色有 4 4 A种，第二类，用 3 色有 3 3 4A种，故共有 43 43 A4A48种 7 【答案】D 【解析】x10的系数为 a10， 10 1a，x9的系数为 9 91010 Caa， 9 100a ， 9 10a ，故应选 D 另解：(x1)12(x1)110a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10， 显然 1 910 C110a 8 【答案】B 【解析】分两种情况： （1）小张小赵去一人： 113 223 C C A24； （2）小张小赵都去： 22 23 A A12，故有 36
11、 种，应选 B 9 【答案】D 【解析】 由题意可得， 二项式的展开式满足 1 Cr r rn Tx ， 且有 37 CC nn ， 因此 n10 令 x1，则 10 12 n x，即展开式中所有项的二项式系数和为 210；令 x1， 则10 n x，即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为 0， 因此奇数项的二项式系数和为 109 1 202 2 故本题正确答案为 D 10 【答案】B 【解析】由题意不同的放法共有 122 342 C C C18种 11 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排 4、5若万位上排 4，则有 3 4 2A个；若万位上排 5，则有 3 4 3A个所
12、以共有 33 44 2A +3 A5 24120 个故选 B 12 【答案】C 【解析】解法 1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成 60 角的对数， 然后根据正方体六个面的特征计算总对数 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，与面对角线 AC 成 60 角的面对角线有 B1C、 BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共 8 条，同理与 BD 成 60 角的面对角线 也有 8 条，因此一个面上的对角线与其相邻 4 个面的对角线，共组成 16 对，又正 方体共有 6 个面，所有共有 16 696 对因为每对都被计算了两次(例如计算与 AC 成 60 角时，有 AD
13、1，计算与 AD1成 60 角时有 AC，故 AD1与 AC 这一对被计 算了 2 次)，因此共有1 2 9648 对 解法 2：间接法正方体的面对角线共有 12 条，从中任取 2 条有 2 12 C种取法， 其中相互平行的有 6 对，相互垂直的有 12 对，共有 2 12 C6 1248对 二、填空题二、填空题 13 【答案】120 【解析】由题得选取的情况有三种，分别是 1 名男教师和 4 名女教师；2 名男教师 和 3 名女教师；3 名男教师和 2 名女教师 当选 1 名男教师和 4 名女教师时，有 14 36 C C45种； 当选 2 名男教师和 3 名女教师时，有 23 36 C C
14、60种； 当选 3 名男教师和 2 名女教师时，有 32 36 C C15种， 所以不同的选取方式的种数共有456015120种 14 【答案】3 【解析】由已知得(1x)414x6x24x3x4，故(ax)(1x)4的展开式中 x 的 奇数次幂项分别为 4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系数之和为 4a4a16132， 解得 a3 15 【答案】264 【解析】由条件上午不测“握力”，则 4 名同学测四个项目，有 4 4 A；下午不测“台阶” 但不能与上午所测项目重复，如 甲 乙 丙 丁 上午 台阶 身高 立定 肺活量 下午 下午甲测“握力”乙、丙、丁所测不与上午重复有 2 种，甲测“身
15、高”、“立定”、“肺活 量”中一种有 3 39，故 4 4 A29264种 16 【答案】228 【解析】 一个数能被 3 整除的条件是它的各位上的数字之和能被 3 整除 根据这点， 分为如下几类： （1）三位数各位上的数字是 1，4，7 或 2，5，8 这两种情况，这样的数有 3 3 2A12 (个) （2）三位数的各位上只含 0，3，6，9 中的一个，其他两位上的数则从(1，4，7) 和(2，5，8)中各取 1 个，这样的数有 1113 4333 C C C A216 (个)，但要除去 0 在百位上 的数，有 112 332 C C A18 (个)，因而有 21618198(个) （3）三
16、位数的各位上的数字是 0，3，6，9 中的 3 个，但要去掉 0 在百位上的， 这样应有 3 3 218(个)， 综上所述， 由 0 到 9 这 10 个数字所构成的无重复数字且 能被 3 整除的 3 位数有 1219818228(个) 三、解答题三、解答题 17 【答案】 （1）100 种； （2）80 种 【解析】 （1）方法一：(直接法) 第一类：3 名代表中有 1 名男生，则选法种数为 12 46 CC60 (种)； 第二类：3 名代表中有 2 名男生，则选法种数为 21 46 CC36 (种)； 第三类：3 名代表中有 3 名男生，则选法种数为 3 4 C4 (种)； 故共有 603
17、64100(种) 方法二：(间接法) 从 10 名同学中选出 3 名同学的选法种数为 3 10 C种 其中不适合条件的有 3 6 C种，故共有 33 106 CC100 (种) （2）第一类：3 名代表中有一名男生，则选法为 12 46 C C60 (种)； 第二类：3 名代表中无男生，则选法为 3 6 C20 (种)； 故共有 602080(种) 18 【答案】 （1）36条； （2）27条 【解析】 （1）要使抛物线的开口向上，必须0a ， 12 34 CA36 (条) （2）开口向上且不过原点的抛物线，必须0a ，0c ， 111 333 CCC27 (条) 19 【答案】第 4 项84
18、x4和第 10 项x3 【解析】 9 11 32 199 27 C( 1)C 6 rr rrr r r Txxx ， 令 27 6 r Z，即 3 4 6 r Z，且 r0，1，2，9r3 或 r9 当 r3 时，27r 6 4，3 344 49 1C84Txx ； 当 r9 时，27r 6 3，9 933 109 1CTxx 9 3 xx的展开式中的有理项是：第 4 项84x4和第 10 项x3 20 【答案】 （1）256 种； （2）144种； （3）144种 【解析】 （1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有 4 种独立的放法， 由分步乘法计数原理，放法共有 44256(种) （
19、2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去 1 个，即将 4 个 球分成 2，1，1 的三组，有 2 4 C种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球， 其余两个球，两个盒子，全排列即可由分步乘法计算原理，共有放法： 1212 4432 CCCA144 (种) （3）“恰有一个盒内放 2 个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒因此，“恰有一 个盒子放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事故也有 144 种放法 21 【答案】 （1）二项式系数最大项为第三、四两项， 6 3 90Tx， 22 3 4 270Tx； （2）展开式中第 5 项系数最大， 26 3 5 405Tx 【解
20、析】令 x1 得展开式各项系数和为1 34 n n ， 又展开式二项式系数和为 01 C +CC2 nn nnn ， 由题意有 4n2n992，即 2 229920 nn ， 2322310 nn ，所以 n5 （1）因为 n5，所以展开式共 6 项，其中二项式系数最大项为第三、四两项， 它们是 3 2 32226 35 C390Txxx， 22 2 3 3322 3 45 C3270Txxx （2）设展开式中第 k1 项的系数最大 又 10 4 5 322 3 155 C3C 3 k k k kkk k Txxx ， 得 11 55 11 55 C3C3 C3C3 kkkk kkkk 3 k
21、 1 6k 1 5k 3 k1 79 22 k 又因为k Z，所以 k4，所以展开式中第 5 项系数最大 2626 44 33 55 C 3405Txx 22 【答案】展开式中二项式系数最大的项为第 4 项和第 5 项， 3 2 4 280Tx， 2 5 560Tx 【解析】 2 1 C22C r r rrr rnn Txx ，它的前一项的系数为 11 2C rr n ，它的后一 项的系数为 11 2C rr n ， 根据题意有 11 11 22 2 5 22 6 rrrr nn rrrr nn CC CC ， 2r1n， 8r35n， n7， r4. 展开式中二项式系数最大的项为第 4 项和第 5 项 3 3 3 2 47 C2280Txx， 4 42 57 C2560Txx
