1、 2018-2019 学年选修 2-1 第三章训练卷 空间向量与立体几何空间向量与立体几何（二）（二） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 个小个小题，每小题题，每小题
2、5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的) 1已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA uuv a，OB uuu v b， OC uuu v c，用a，b，c表示MN uuuv ，则MN uuuv 等于（ ） A 1 2 bca B 1 2 abc C 1 2 abc D 1 2 cab 2已知cos ,1,sina、sin ,1,cosb，且ab，则向量ab与ab的夹 角是（ ） A90 B60 C30 D0 3 已知 A、 B、 C 三点的坐标分别为4,1,3A、2, 5,1B、
3、3,7,C， 若AB uu u v AC uuu v ， 则等于（ ） A28 B28 C14 D14 4若向量, ,a b c是空间的一个基底，则一定可以与向量2pab，2qab构 成空间的另一个基底的向量是（ ） Aa Bb Cc Dab 5 在空间直角坐标系Oxyz中， 已知2,0,0A、2,2,0B、0,2,0C、 1,12D， 若 1 S、 2 S、 3 S分别表示三棱锥DABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影 图形的面积，则（ ） A 123 SSS B 231 SSS C 132 SSS D 123 SSS 6已知a、b是两异面直线，A、Ba，C、Db，ACb，BDb且
4、2AB ， 1CD ，则直线a、b所成的角为（ ） A30 B60 C90 D45 7如图所示，在平行六面体 1111 ABCDA B C D中，点E为上底面对角线 11 AC的中 点，若 1 BEAAxAByAD uu u vuuu vuu u vuuu v ，则（ ） A 1 2 x ， 1 2 y B 1 2 x ， 1 2 y C 1 2 x ， 1 2 y D 1 2 x ， 1 2 y 8已知1,1,2A 、1,0, 1B，设D在直线AB上，且2ADDB uuu vuuu v ， 设C 1 ,1 3 ，若CDAB，则的值为（ ） A 11 6 B 11 6 C 1 2 D 1 3
5、此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 9如图，在长方体 1111 ABCDA B C D中，2ABBC， 1 2AA ，E、F分别 是面 1111 A B C D、面 11 BCC B的中心，则E、F两点间的距离为（ ） A1 B 5 2 C 6 2 D 3 2 10如图，在空间直角坐标系中有长方体 1111 ABCDA B C D，1AB ，2BC ， 1 3AA ，则点B到直线 1 AC的距离为（ ） A 2 7 B 2 35 7 C 35 7 D1 11如图所示，在长方体 1111 ABCDA B C D中， 1 1ADAA，2AB ，点E是棱 AB 的中点，则点E到平
6、面 1 ACD的距离为（ ） A 1 2 B 2 2 C 1 3 D 1 6 12 如图所示， 正方体 1111 ABCDA B C D中，E、F分别是正方形 11 ADD A和ABCD 的中心，G是 1 CC的中点，设GF、 1 C E与AB所成的角分别为，则等 于（ ） A120 B60 C75 D90 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把正确答案填在题中横分，把正确答案填在题中横 线上线上） 13已知1,2,0A、0,1, 1B，P是x轴上的动点，当AP BP uu u v uuv 取最小值时，点P 的坐标为_ 14 已
7、知正四棱台 1111 ABCDA B C D中， 上底面 1111 A B C D边长为 1， 下底面ABCD边 长为 2，侧棱与底面所成的角为 60 ，则异面直线 1 AD与 1 B C所成角的余弦值为 _ 15三棱锥 PABC 中，PAPBPCABAC1，BAC90 ，则直线 PA 与 底面 ABC 所成角的大小为_ 16已知矩形 ABCD 中，AB1，3BC ，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使 平面 ABC 与平面 ACD 垂直，则 B 与 D 之间的距离为_ 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 个个大大题，共题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算分，解答
8、应写出文字说明，证明过程或演算 步骤步骤) 17 （10 分）在四棱锥 PABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与 BD 交于 O，G 为 BD 上一点，BG2GD，PA uuv a，PB uuv b，PC uuu v c，试用基底, ,a b c表示向量 PG uuu v 18 （12 分）如图，在直三棱柱 111 ABCA B C中， 2 ABC ，D是棱AC的中点， 且 1 2ABBCBB （1）求证： 1 AB平面 1 BC D； （2）求异面直线 1 AB与 1 BC所成的角 19 （12 分）如图所示，在四面体 ABCD 中，AB、BC、CD 两两互相垂直，且 1BCCD （
9、1）求证：平面 ACD平面 ABC； （2）求二面角 CABD 的大小； （3）若直线 BD 与平面 ACD 所成的角为 30 ，求线段 AB 的长度 20 （12 分）如图，在正四棱柱 1111 ABCDA B C D中，已知 AB2， 1 5AA ，E、F 分别为 1 D D、 1 B B上的点，且 1 1DEB F （1）求证：BE平面 ACF； （2）求点 E 到平面 ACF 的距离 21 （12 分）如图所示，PD底面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，PDDC，E 是 PC 的中点 （1）证明：PA平面 BDE； （2）求二面角 BDEC 的余弦值 22 （12 分）如图，在四
10、棱柱 1111 ABCDA B C D中，侧棱 1 A A 底面 ABCD，AB AC，1AB ， 1 2ACAA，5ADCD，且点 M 和 N 分别为 1 B C和 1 D D的中 点 （1）求证：MN平面 ABCD； （2）求二面角 11 DACB的正弦值； （3）设E为棱 11 A B上的点若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为 1 3 ，求线 段 1 A E的长 2018-2019 学年选修 2-1 第三章训练卷 空间向量与立体几何空间向量与立体几何（二）（二）答答 案案 一、选择题一、选择题 1 【答案】D 【解析】 111111 222222 MNONOMOCOAOB uuuvu
11、uu vuuuvuuu vuuvuuu v cabcab， 故选 D 2 【答案】A 【解析】 2 2a， 2 2b， 22 0ababab， abab故选 A 3 【答案】D 【解析】2, 6, 2AB uuu v ，1,6,3AC uuu v ， ABAC uuu vuuu v， 2 166230AB AC uuu v uuu v ，解得14 ，故选 D 4 【答案】C 【解析】 11 44 apq，所以a、p、q共面， 故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除 A； 11 22 bpq，所以b、p、q共面， 故 b、p、q不能构成空间的一个基底，排除 B； 31 44 abpq，所以ab
12、、p、q共面， 故ab、p、q不能构成空间的一个基底，排除 D；故选 C 5 【答案】B 【解析】由题意可得 1 1 222 2 S ， 2 1 222 2 S ， 3 1 222 2 S ， 故 231 SSS故选 B 6 【答案】B 【解析】由于ABACCDDB uu u vuuu vuuu vuuu v ， 2 1AB CDACCDDBCDCD uu u v uuu vuuu vuuu vuuu vuuu vuuu v 1 cos,60 2 AB CD AB CDAB CD ABCD uuu v uuu v uuu v uuu vuuu v uuu v uuu vuuu v，故选 B 7
13、 【答案】A 【解析】 11111111 111 222 BEBAAAA EABAAA BA DABAAABAD uu u vuuvuuu vuuu vuuu vuuu vuuuu vuuuu vuuu vuuu vuuu vuuu v 1 11 22 ABAAAD uuu vuuu vuuu v ， 1 2 x ， 1 2 y 故选 A 8 【答案】B 【解析】设, ,D x y z， 则1,1,2ADxyz uuu v ，2, 1, 3AB uuu v ，1, 1DBxyz uuu v ， 2ADDB uuu vuuu v ， 12 1 12 222 xx yy zz ， 1 3 1 3
14、0 x y z 1 1 0 3 3 D ， 1 1 3 CD uuu v ， ， CDAB uuu vuuu v ， 1 231=0 3 CD AB uuu v uuu v ， 11 6 故选 B 9 【答案】C 【解析】以点 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 1,1,2E、 2 2,1, 2 F ，所以 2 2226 121 12 22 EF ， 故选 C 10 【答案】B 【解析】过点B作BE垂直 1 AC，垂足为E，设点E的坐标为, ,x y z， 则 1 0,0,3A，1,0,0B，1,2,0C， 1 1,2, 3AC uuu v ， 1 , ,3A Ex y z uuu
15、 v ， 1, ,BExy z uu u v 因为 11 1 0 A EAC BE AC uuu v uuu v uu u v uuu v ， 所以 3 123 1230 xyz xyz ， 解得 5 7 10 7 6 7 x y z ， 所以 2 10 6 , 777 BE uu u v ， 所以点B到直线 1 AC的距离 2 35 7 BE uu u v ，故选 B 11 【答案】C 【解析】如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、 1 DD分别为x、y、z轴建立 空间直角坐标系，则 1 0,0,1D、1,1,0E、1,0,0A、0,2,0C 从而 1 1,1, 1D E uuuv 、1,2
16、,0AC uuu v 、 1 1,0,1AD uuuv ， 设平面 1 ACD的法向量为, ,a b cn， 则 1 0 0 AC AD uuu v uuuv n n ，即 20 0 ab ac ，得 2ab ac 令2a ，则2,1,2n 所以点E到平面 1 ACD的距离为 12121 33 D E h uuuv n n 故选 C 12 【答案】D 【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为 2， 则2,0,0B、2,2,0A、0,0,1G、1,1,0F、 1 0,0,2C、1,2,1E 则0,2,0BA uuv 、1,1, 1GF uuu v 、 1 1,2, 1C E uuuv ， 1 c
17、os, 3 BA GF BA GF BA GF uuv uuu v uuv uuu v uuvuuu v ， 1 1 1 2 cos, 3 BA C E BA C E BAC E uuv uuu v uuv uuu v uuvuuu v ， 1 cos 3 ， 2 sin 3 ， 2 cos 3 ， 1 sin 3 ，cos0， 90故选 D 二、填空题二、填空题 13 【答案】 1 ,0,0 2 【解析】设,0,0P x，则1, 2,0APx uuu v ，, 1,1BPx uuv ， 2 17 12 24 AP BPx xx uuu v uuv ， 当 1 2 x 时，AP BP uu u
18、 v uuv 取最小值 7 4 ，此时点P的坐标为 1 ,0,0 2 14 【答案】 1 4 【解析】设上、下底面中心分别为 1 O、O，则 1 OO 平面ABCD， 以O为原点，直线BD、AC、 1 OO分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 2AB ， 11 1A B ，2 2ACBD， 1111 2ACB D， 平面 11 BDD B平面ABCD， 1 B BO为侧棱与底面所成的角， 1 60B BO， 设棱台高为h，则tan60 2 2 2 h ， 6 2 h ， 0,2,0A， 1 26 ,0, 22 D ， 1 26 ,0, 22 B ， 0,2,0C， 1 26 , 2, 22
19、 AD uuuv ， 1 26 , 2, 22 BC uuu v ， 11 11 11 1 cos, 4 ADB C AD B C ADB C uuuv uuu v uuuv uuu v uuuvuuu v， 故异面直线 1 AD与 1 B C所成角的余弦值为 1 4 15 【答案】45 【解析】由条件知，ABAC1，BAC90 ，2BC ， PBPC1，BPC90 ，取 BC 边中点 E， 则 2 2 PE ， 2 2 AE ， 又 PA1，PEA90 ，故PAE45 ， E 为 BC 中点，PEBC，AEBC，BC平面 PAE， 平面 PAE平面 ABC，PAE 为直线 PA 与平面 AB
20、C 所成角 16 【答案】 10 2 【解析】如图，过 B、D 分别向 AC 作垂线，垂足分别为 M、N 则可求得 1 2 AM 、 3 2 BM 、 1 2 CN 、 3 2 DN 、1MN 由于BDBMMNND uuu vuuuvuuuvuuu v ， 22 BDBMMNND uuu vuuuvuuuvuuu v 222 2BMMNNDBM MNMN NDBM ND uuuvuuuvuuu vuuuv uuuvuuuv uuu vuuuv uuu v 22 2 335 12 000 222 ， 10 2 BD uuu v 三、解答题三、解答题 17 【答案】 212 333 PG uuu
21、v abc 【解析】BG2GD， 2 3 BGBD uuu vuuu v 又2BDBABCPAPBPCPB uuu vuuvuuu vuuvuuvuuu vuuv acb， 2212 2 3333 PGPBBG uuu vuuvuuu v bacbabc 18 【答案】 （1）见解析； （2） 3 【解析】 （1）如图，连接 1 B C交 1 BC于点 O，连接 OD O 为 1 B C的中点，D 为 AC 的中点， 1 ODAB 1 AB 平面 1 BC D，OD 平面 1 BC D， 1 AB平面 1 BC D （2）建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz 则0,0,0B、0,2,0A、
22、1 2,0,2C、 1 0,0,2B 1 0, 2,2AB uuu v 、 1 2,0,2BC uuuv 11 11 11 0041 cos, 22 22 2 ABBC AB BC ABBC uuu v uuuv uuu v uuuv uuu vuuuv， 设异面直线 1 AB与 1 BC所成的角为，则 1 cos 2 ， 0, 2 ， 3 19 【答案】 （1）见解析； （2）45 ； （3）1 【解析】解法一： （1）CDAB，CDBC，CD平面 ABC 又CD平面 ACD，平面 ACD平面 ABC （2）ABBC，ABCD，AB平面 BCD， ABBDCBD 是二面角 CABD 的平面角
23、 在 RtBCD 中，BCCD，CBD45 二面角 CABD 的大小为 45 （3）过点 B 作 BHAC，垂足为 H，连接 DH 平面 ACD平面 ABC，BH平面 ACD， BDH 为 BD 与平面 ACD 所成的角BDH30 在 RtBHD 中，2BD ， 2 2 BH 又在 RtBHC 中，BC1，BCH45 ， 在 RtABC 中，AB1 解法二： （1）同解法一 （2）设ABa，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz， 则0,0,0B、0,0,Aa、0,1,0C、1,1,0D，1,1,0BD uuu v 、0,0,BAa uuv 平面 ABC 的法向量1,0,0CD uuu v ，设
24、平面 ABD 的一个法向量为, ,x y zn， 则有0BDxy uuu v n，0BAaz uuv n， 0z ，取1y ，则1x ，1,1,0 n 2 cos, 2 CD CD CD uuu v uuu v uuu v n n n ，由图可知二面角 CABD 为锐角， 二面角 CABD 的大小为 45 （3）0,1,ACa uuu v 、1,0,0CD uuu v 、1,1,0BD uuu v 设平面 ACD 的一个法向量是,x y z m， 则0ACyaz uuu v m，0CD x uuu v m， 令1z，ya ，则0, ,1am 直线 BD 与平面 ACD 所成角为 30 ， 2
25、coscos60 12 BDa BD BD a uuu v uuu v uuu v m m m ，解得1a ，AB1 20 【答案】 （1）见解析； （2） 5 3 【解析】 （1）证明：以 D 为原点，DA、DC、 1 DD所在直线分别为x、y、z轴建 立如图所示空间直角坐标系， 则0,0,0D、2,0,0A、2,2,0B、0,2,0C、 1 0,0,5D、0,0,1E、2,2,4F 2,2,0AC uuu v 、0,2,4AF uuu v 、2, 2,1BE uu u v 、2,0,1AE uuu v 0BE AC uu u v uuu v ，0BE AF uu u v uuu v ， B
26、EAC，BEAF，且ACAFAI BE平面 ACF （2）解：由（1）知，BE uu u v 为平面 ACF 的一个法向量， 点 E 到平面 ACF 的距离 5 3 AE BE d BE uu u v 故点 E 到平面 ACF 的距离为 5 3 21 【答案】 （1）见解析； （2） 3 3 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz 设PDDCa，则0,0,0D、,0,0A a、0,0,Pa、, ,0B a a、0, 2 2 a a E 、 0, ,0Ca， ,0,APaa uuu v 、, ,0DBa a uuu v 、0, 2 2 a a DE uuu v 、0, ,0DCa uuu
27、 v （1）设平面 BDE 的一个法向量为 1111 ,x y zn， 则有 1 1 0 0 DB DE uuu v uuu v n n ，即 11 11 0 0 22 axay aa yz ， 1 1 1 1 1 1 x y z 1 1, 1,1n 1 00APaa uu u v n， 1 AP uu u v n， 又AP 平面 BDE，AP平面 BDE （2）设平面 CDE 的一个法向量为 2 1,0,0n 12 13 cos, 33 1 n n，二面角 BDEC 的余弦值为 3 3 22 【答案】 （1）见解析； （2） 3 10 10 ； （3）72 【解析】如图，以 A 为原点建立空
28、间直角坐标系， 依题意可得0,0,0A、0,1,0B、2,0,0C、1, 2,0D、 1 0,0,2A、 1 0,1,2B、 1 2,0,2C、 1 1, 2,2D， 又因为 M、N 分别为 1 B C和 1 D D的中点，得 1 1,1 2 M 、1, 2,1N （1）依题意，可得0,0,1n为平面 ABCD 的一个法向量， 5 0,0 2 MN uuuv ， 由此可得，0MN uuuv n，又因为直线MN 平面 ABCD， 所以 MN平面 ABCD （2） 1 1, 2,2AD uuuv 、2,0,0AC uuu v ， 设 1111 ,x y zn为平面 1 ACD的法向量， 则 11
29、1 0 0 AD AC uuuv uuu v n n ，即 111 1 220 20 xyz x ，不妨设 1 1z ， 可得 1 0,1,1n 设 2222 ,xy zn为平面 1 ACB的一个法向量， 则 21 2 0 0 AB AC uuu v uuu v n n ， 又 1 0,1,2AB uuu v ，得 22 2 220 20 yz x ，不妨设 2 1z ，可得 2 0, 2,1n 因此有 12 12 12 10 cos, 10 nn n n nn ，于是 12 3 10 sin, 10 n n， 所以二面角 11 DACB的正弦值为 3 10 10 （3）依题意，可设 11 1 AEAB uuu vuuuu v ，其中0,1， 则0, ,2E，从而1,2,1NE uuu v ， 又0,0,1n为平面 ABCD 的一个法向量， 由已知得 22 2 11 cos 3 121 NE NE NE uuu v uuu v uuu v n ,n n ， 整理得 2 430， 又因为0,1，解得72， 所以线段 1 A E的长为72
