1、 2018-2019 学年选修 2-2 第一章训练卷 导数及其应用导数及其应用（一）（一） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 个小题，每个小题，每小题小题 5 分，共分
2、，共 60 分，在每小题给出的四个选分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的) 1只有一个已知曲线 3 2yx上一点1,2A，则点A处的切线斜率等于（ ） A0 B2 C4 D6 2若0a ，0b ，且函数 32 422f xxaxbx在1x 处有极值，则ab的 最大值等于（ ） A2 B3 C6 D9 3下列函数中，0x 是其极值点的函数是（ ） A 3 f xx B cosf xx C sinf xxx D 1 f x x 4已知函数 32 1f xxaxx在, 上是单调函数，则实数a的取值 范围是（ ） A ,33, B 3, 3 C ,33
3、, D3, 3 5 设函数 f x在定义域内可导， yf x的图象如下图所示， 则导函数 yfx 的图象可能是（ ） 6已知函数 f x的导函数的图象如图所示，若ABC为锐角三角形，则一定 成立的是（ ） AsincosfAfB BsincosfAfB CsinsinfAfB DcoscosfAfB 7函数 32 11 21 32 f xaxaxax的图象经过四个象限，则实数a的取值范围 是（ ） A 36 107 a B 83 516 a C 81 316 a D 3 10 a 或 6 7 a 8定义域为R的函数 f x满足 11f，且 f x的导函数 1 2 fx，则满足 此卷只装订不密封
4、 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 21f xx的x的集合为（ ） A11xx B1x x C 11x xx或 D1x x 9若关于x的方程 3 30xxm在 0,2上有根，则实数m的取值范围是（ ） A2,2 B0,2 C2,0 D, 22, 10(20142015 天门市调研)已知函数 f x的导函数 2fxa xbc的图象 如图所示，则函数 f x的图象可能是（ ） 11已知函数 ln a f xxx x ， 32 5g xxx，若对任意的 1 x， 2 1 ,2 2 x ， 都有 12 2f xg x成立，则a的取值范围是（ ） A0, B1, C,0 D, 1 12已知函数 32
5、 21f xxbxcx有两个极值点 1 x、 2 x，且 1 2, 1x ， 2 1,2x ，则1f 的取值范围是（ ） A 3 ,3 2 B 3 ,6 2 C3,12 D 3 ,12 2 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，把正确答案填在题中横分，把正确答案填在题中横 线上线上） 13已知 32 3f xxxa (a为常数)，在3,3上有最小值 3，那么在3,3上 f x的最大值是_ 14如图阴影部分是由曲线 1 y x 、 2 yx与直线2x 、0y 围成，则其面积为 _ 15函数 3 3f xaxx在区间1,1上为单调减函
6、数，则a的取值范围是_ 16已知函数 f x的图象在, a b上连续不断，定义： 1 minfxf t atx ,xa b， 2 maxfxf t atx ,xa b，其中， min f x xD表示 函数 f x在区间D上的最小值， max f x xD表示函数 f x在区间D上的最 大值若存在最小正整数k，使得 21 fxfxk xa对任意的,xa b成立， 则称函数为区间, a b上的“k阶收缩函数”有以下三个命题，其中正确的命题为 _(请把正确命题序号填在横线上) 若 cosf xx，0,x，则 1 cosfxx，0,x， 2 1fx ，0,x； 函数 32 3f xxx 是0,1上的
7、 2 阶收缩函数； 若函数 2 f xx，1,4x 是1,4上的“k阶收缩函数”，则4k 三、解答题三、解答题(本本大题共大题共 6 个个大大题，共题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤步骤) 17 （12 分）设函数 lnln 20f xxxax a （1）当1a 时，求 f x的单调区间； （2）若 f x在0,1上的最大值为 1 2 ，求a的值 18 （12 分） 已知函数 3 0f xaxcxd a是R上的奇函数， 当1x 时， f x 取得极值2 （1）求函数 f x的解析式； （2）求函数 f x的单调区间和极大值； （3）
8、证明：对任意 1 x、 2 1,1x ，不等式 12 4f xf x恒成立 19 （12 分）已知函数 2 212 ln0f xxaxax a （1）当1a 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； （2）求 f x的单调区间； （3）若 0f x 在区间1,e上恒成立，求实数a的取值范围 20 （12 分）已知函数 ln ,1 1 2,1 e xx f x xxax (a为常数，e为自然对数的 底数)的图象在点e,1A处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，求实数a的 取值范围 21 （12 分）如图，椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过
9、 2 F 的直线交椭圆于P，Q两点，且 1 PQPF （1）若 1 22PF ， 2 22PF ，求椭圆的标准方程； （2）若 1 PQPF，且 34 2 fx， 210g xfx ， g x为单调增函数， 11f， 1211 10gf ，当1x 时， 0g x ，即 21f xx， 故选 B 9 【答案】A 【解析】令 3 3f xxxm，则 2 33311fxxxx， 显然当1x 或1x 时， 0fx， f x单调递增； 当11x 时， 0fx， f x单调递减， 在1x 时， f x取极大值12fm， 在1x 时， f x取极小值 12fm 0f x 在0,2上有解， 10 20 f f
10、 ， 20 20 m m ，22m 10 【答案】D 【解析】由导函数图象可知，当0x 时，函数 f x递减，排除 A，B； 当 1 0xx时， 0fx，函数 f x递增 因此，当0x 时， f x取得极小值，故选 D 11 【答案】B 【解析】由于 322 53232g xxxgxxxxx， 函数 g x在 1 2 , 2 3 上单调递减，在 2 ,2 3 上单调递增， 11141 5 2848 g ， 28451g 由于对 1 x， 2 1 ,2 2 x ， 12 2f xg x恒成立， max 2f xg x ， 即 1 ,2 2 x 时， 1f x 恒成立，即ln1 a xx x ，在
11、 1 ,2 2 上恒成立， 2 lnaxxx在 1 ,2 2 上恒成立，令 2 lnh xxxx，则 1 2 lnh xxxx， 而 32lnhxx， 1 ,2 2 x 时， 0hx， 所以 1 2 lnh xxxx在 1 ,2 2 单调递减， 由于 10h， 1 ,1 2 x 时， 0h x，1,2x时， 0h x， 所以 11h xh，1a 12 【答案】C 【解析】 2 34fxxbxc，依题意知，方程 0fx有两个根 1 x、 2 x， 且 1 2, 1x ， 2 1,2x ，等价于20f ，10f ， 10f， 20f 由此得b，c满足的约束条件为 1280 340 340 1280
12、 bc bc bc bc ，满足这些条件的点, b c的区域为 图中阴影部分 由题设知12fbc， 令2zbc，当直线2zbc经过点0, 3时，z最小，最小值为 3 当直线2zbc经过点0, 12C时，z最大，最大值为 12故选 C 二、填空题二、填空题 13 【答案】57 【解析】 2 3632fxxxx x，当3, 2x 和0,3x时， 0fx， f x单调递增，当2,0x 时， 0fx， f x单调递减， 极大值为24fa，极小值为 0fa， 又3fa， 354fa，由条件知3a ，最大值为 354357f 14 【答案】 2 ln2 3 【解析】由 2 1 yx y x ，得交点1,1
13、A，由 2 1 x y x ，得交点 1 2, 2 B 故所求面积 3 12 12 2 01 01 122 ddlnln2 33 Sx xxxx x 15 【答案】1a 【解析】 2 33fxax， f x在1,1上为单调减函数， 0fx在1,1 上恒成立 当0x 时，aR；当0x 时， 2 1 a x ，1,00,1x ，1a 综上，实数a的取值范围为1a 16 【答案】 【解析】对于，由于 cosf xx在0,上单调递减，由已知可得 1 cosfxx， 2 01fxf，故正确； 对于， 2 36fxxx，当0,1x时， 0fx， f x在0,1上单调递增， 故 1 00fxf， 32 2
14、3fxxx ， 32 21 3fxfxxxkx 对0,1x 成立，当0x 时， 32 2 3 3 xx kxx x 恒成立， 又当1x 时， 2 3xx取得最大值 2，2k ，即正确； 对于， 2 1 ,1,0 0,0,4 xx fx x ， 2 2 1,1,1 ,1,4 x fx xx ， 2 21 2 1,1,0 1,0,1 ,1,4 xx f xf xx xx 当1,0x 时， 2 11xk x，1kx ，2k 当0,1x时，11k x， 1 1 k x ，1k 当1,4x时， 2 1xk x， 2 1 x k x ， 16 5 k 即 2 f xx，1,4x 是1,4上的“k阶收缩函数
15、”，则4k 三、解答题三、解答题 17 【答案】 （1）单调递增区间为 0, 2，单调递减区间为 2,2； （2） 1 2 a 【解析】函数 f x的定义域为0,2， 11 2 fxa xx ， （1）当1a 时， 2 2 2 x fx xx ，当 0, 2x时， 0fx， 当 2,2x时， 0fx， 所以 f x的单调递增区间为 0, 2，单调递减区间为 2,2 （2）当0,1x时， 22 0 2 x fxa xx ， 即 f x在0,1上单调递增，故 f x在0,1上的最大值为 1fa，因此 1 2 a 18 【答案】 （1） 3 3f xxx； （2） f x的递增区间是, 1 和1,，
16、 递减区间为1,1，极大值12f ； （3）见解析 【解析】 （1） f x是R上的奇函数， fxf x， 即 33 axcxdaxcxd，dd ， 0d (或由 00f得0d ) 3 f xaxcx， 2 3fxaxc， 又当1x 时， f x取得极值2， 12 10 f f ，即 2 30 ac ac ，解得 1 3 a c ， 3 3f xxx （2） 2 33311fxxxx，令 0fx，得1x ， 当11x 时， 0fx，函数 f x单调递减； 当1x 或1x 时， 0fx，函数 f x单调递增， 函数 f x的递增区间是, 1 和1,；递减区间为1,1 因此， f x在1x 处取得
17、极大值，且极大值为12f （3）由（2）知，函数 f x在区间1,1上单调递减，且 f x在区间1,1 上的最大值为12Mf最小值为 12mf 对任意 1 x、 2 1,1x ， 12 4f xf xMm成立 即对任意 1 x、 2 1,1x ，不等式 12 4f xf x恒成立 19 【答案】 （1）3y ； （2）见解析； （3） 2 e2e 2e2 a 【解析】 （1）1a ， 2 42lnf xxxx， 2 242 0 xx fxx x ， 13f， 10f，所以切线方程为3y （2） 2 221221 0 xaxaxxa fxx xx ， 令 0fx得 1 xa， 2 1x ， 当0
18、1a时，在0,xa或1,x时， 0fx，在,1xa时， 0fx， f x的单调递增区间为0,a和1,，单调递减区间为,1a； 当1a 时， 2 21 0 x fx x ， f x的单调增区间为0,； 当1a 时，在0,1x或,xa时， 0fx，在1,xa时， 0fx， f x的单调增区间为0,1和, a ，单调递减区间为1,a （3）由（2）可知， f x在区间1,e上只可能有极小值点， f x在区间1,e上 的最大值必在区间端点取到， 11 210fa 且 2 2eee1+20faa，解得 2 e2e 2e2 a 20 【答案】32 2a 或 2 32 2 3 a 【解析】由于 1 e e
19、f，得 f x在点A处的切线方程为： 1 1e e yx ， 即 1 0 e xy，由题意知切线与 1 21 e yxxax有两个交点， 即 11 2 ee xxxa有两个小于 1 的根，即 2 120xa xa有两个小于 1 的根，设两根为 1 x， 2 x，则 12 12 0 2 110 xx xx ，即 2 180 12 2110 aa a aa ， 解得：32 2a 或 2 32 2 3 a 21 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2） 25 23 e 【解析】 （1）由椭圆的定义， 12 222224aPFPF，故2a 设椭圆的半焦距为c，由已知 12 PFPF， 因此
20、22 1212 2cFFPFPF 22 22222 3，即3c 从而 22 1bac故所求椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）如图， 由 1 PFPQ， 1 PQPF得， 22 2 111 1QFPFPQPF， 由椭圆的定义， 12 2PFPFa， 12 2QFQFa，进而 11 4PFPQQFa 于是 2 1 114PFa 解得 1 2 4 11 a PF ，故 2 21 2 211 2 11 a PFaPF 由勾股定理得 2222 2 1212 24PFPFFFcc， 从而 2 2 2 2 22 211 4 4 1111 a a c ， 两边除以 2 4a，得 2 2 2 22 22 11 4 1111 e ， 若记 2 11t ，则上式变成 2 2 2 2 42111 8 42 t e tt 由 34 43 ，并注意到 2 11关于的单调性， 得34t ，即 111 43t ，进而 2 15 29 e，即 25 1 x xxxx x xxx x ， 构造函数 21 ln 1 x g xx x ，则 2 22 114 0 11 x gx x xx x ， 所以 g x在1,上是增函数，当1x 时， 10g xg， 又 2 1 1 x x ，所以 2 1 2 2 1 1 21 ln 1 x xx x x x ，从而 0 kfx成立
