1、 2018-2019 学年选修 1-2 第二章训练卷 推理与证明推理与证明（一（一） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 个小题，每小个小题，每小题题 5 分，共分，共
2、60 分，在每小题给出的四个选分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的) 1实数a、b、c 不全为 0 等价于（ ） Aa、b、c 均不为 0 Ba、b、c 中至多有一个为 0 Ca、b、c 中至少有一个为 0 Da、b、c 中至少有一个不为 0 2用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为（ ） A6n2 B8n2 C6n2 D8n2 3已知数列 n a的前 n 项和 2 2 nn Snan，而 1 1a ，通过计算 2 a、 3 a、 4 a， 猜想 n a （ ） A 2 2 1n B 2 1n
3、n C 2 2n1 D 2 2n1 4观察数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的特点，则第 100 项为（ ） A10 B14 C13 D100 5用分析法证明：欲使AB，只需C0，则 f af bf c的值（ ） A一定大于零 B一定等于零 C一定小于零 D正负都有可能 二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把正确答案填在题分，把正确答案填在题中横中横 线上线上） 13“AC、BD 是菱形 ABCD 的对角线，AC、BD 互相垂直且平分”以上推 理的大前提是_ 14设函数 f x x x2(x0)，观察： 1 fxf
4、x x x2， 21 fxffx x 3x4， 32 fxffx x 7x8， 43 fxffx x 15x16， 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 nN*且 n2 时， 1nn fxffx _ 15由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： “mnnm”类比得到“a bb a”； “(mn)tmtnt”类比得到“() abca cb c”； “t0，mtntmn”类比得到“0c，a cb cab”； “|mn|m|n|”类比得到“a bab”； “(mn)tm(nt)”类比得到“a bcab c”； “ aca bcb ”类比得到“ a ca b cb ” 以上类比得到的结论正确的
5、是_ 16观察下列等式： 11 131 123 13239 1236 13233336 123410 13233343100 1234515 1323334353225 可以推测：132333n3_(nN*，用含有 n 的代数式表示) 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算分，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤步骤) 17 （10 分）观察下面所示的“三角数阵” 记第 n 行的第 2 个数为 n a(n2，nN*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成 下列各题： （1） 第 6 行的 6 个数依次为_、 _、 _
6、、 _、 _、 _； （2）依次写出 2 a、 3 a、 4 a、 5 a； （3）归纳出 1n a 与 n a的关系式 18 （12 分）已知函数 2 1 1 x f xaa x x ，求证：函数 f x在1, 上为 增函数 19 （12 分） 已知椭圆具有以下性质： 若 M、 N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点， 点 P 是椭圆上任意一点，若直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 PM k、 PN k，那么 PM k与 PN k之积是与点 P 的位置无关的定值试对双曲线 22 22 1 xy ab ，写出具有类 似的性质，并加以证明 20 （12 分）已知ABC 的三个内角 A，B，C
7、 为等差数列，且a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边求证：(ab) 1(bc)13(a bc) 1 21 （12 分）等差数列 n a的前 n 项和为 Sn， 1 a1 2，S393 2 （1）求数列 n a的通项 n a与前 n 项和 Sn； （2）设 bnSn n (nN)，求证：数列 n b中任意不同的三项都不可能成等比数列 22 （12 分）已知函数 f(x)(x2)ex1 2x 2x2 （1）求函数 f(x)的单调区间和极值； （2）证明：当 x1 时，f(x)1 6x 31 2x 2018-2019 学年选修 1-2 第二章训练卷 推理与证明推理与证明（一（一） 答答 案案 一
8、、选择题一、选择题 1 【答案】D 【解析】“不全为 0”的含义是至少有一个不为 0，其否定应为“全为 0”故选 D 2 【答案】C 【解析】归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉 尾巴后 6 根火柴组成的鱼头部分， 故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为 8，公差是 6 的等差数列，通项公式为62 n an故选 C 3 【答案】B 【解析】 2 2212 21aSSa， 2 1 3 a ， 22 332323 1 3294 3 aSSaaa， 3 1 6 a 22 443434 1 43169 6 aSSaaa， 4 1 10 a 由此猜想 2 1 n
9、a n n 故选 B 4 【答案】B 【解析】设 nN*，则数字 n 共有 n 个， 1 100 2 n n 即 n(n1)200， 又nN*，n13，到第 13 个 13 时共有13 14 2 91 项，从第 92 项开始为 14， 故第 100 项为 14故选 B 5 【答案】B 【解析】，是的必要条件故选 B 6 【答案】A 【解析】若满足题目中的条件，则 f(x)在(0，)上为减函数，在 A、B、C、D 四 选项中，由基本函数性质知，A 是减函数，故选 A 7 【答案】A 【解析】令 n1，2，3，得 31 9 27 27 334 abc ab c abc ， a1 2，bc 1 4故
10、选 A 8 【答案】A 【解析】由已知，有 1 cosfxx， 2 sinfxx， 3 cosfxx， 4 sinfxx， 5 cosfxx，可以归纳出： 4 sin n fxx， 41 cos n fxx ， 42 sin n fxx ， * 43 cos n fxx n N 20164 sinfxfxx故选 A 9 【答案】A 【解析】对 * n N总有 nn cb，则存在实数0，使 nn cb， n an， n a是等差数列故选 A 10 【答案】B 【解析】对命题的结论“a、b、c 中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a、 b、c 都不是偶数”“至少有一个”即有一个、两个或三个，
11、因此它的否定应是“都 不是”故选 B 11 【答案】B 【解析】f(x)定义域为(1，1)， 1 111 ()lglglg 111 aa fa a f ab aaa 故选 B 12 【答案】A 【解析】f(x)x3x 是奇函数，且在 R 上是增函数， 由0ab得ab ， f afb，即 0f af b，同理 0f af c， 0f bf c， 0f af bf c故选 A 二、填空题二、填空题 13 【答案】菱形对角线互相垂直且平分 14 【答案】 212 nn x x 【解析】由已知可归纳如下： 1 11 212 x fx x ， 2 22 212 x fx x ， 3 33 212 x f
12、x x ， 4 44 212 x fx x ， 212 n n n fx x x 15 【答案】 【解析】都正确；错误，向量不能相除； 可由数量积定义判断，错误； 向量中结合律不成立，错误 16 【答案】 2 2 1 4 nn 【解析】由条件可知： 32 11， 3322 12931 2()， 33322 1233661 23()， ，不难得出 2 2 33332 11 () 2 123123 4 nn n nnn 三、解答题三、解答题 17 【答案】 （1）6，16，25，25，16，6； （2）2，4，7，11； （3） 1nn aan 【解析】由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于
13、它上一行的肩膀上的两 数之和，且每一行的首末两数都等于行数 （1）6，16，25，25，16，6 （2） 2 2a ， 3 4a ， 4 7a ， 5 11a （3） 32 2aa， 43 3aa， 54 4aa， 由此归纳： 1nn aan 18 【答案】见解析 【解析】设 1 x， 2 x是1, 上的任意两实数，且 12 xx， 则 12 12 1 2 2 1 22 11 xx xx xx f xf xaa 12 12 12 22 11 xx xx x aa x 12 12 12 3 11 xx xx a xx a 1a ，且 12 xx， 12 xx aa， 12 0xx 又 1 1x
14、， 2 1x ， 12 () 11(0)xx 12 0f xf x， 12 f xf x 函数 f x在1, 上为增函数 19 【答案】见解析 【解析】类似的性质为：若 M、N 是双曲线 22 22 1 xy ab 上关于原点对称的两个点， 点 P 是双曲线上任意一点，若直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 PM k、 PN k，那 么 PM k与 PN k之积是与点 P 的位置无关的定值 证明如下：设点 M、P 的坐标为,m n、, x y，则,()Nmn 点 M(m，n)在已知双曲线上， n2 2 2 b a m2b2同理 y2 2 2 b a x2b2 则 kPM kPN yn xm
15、yn xm y2n2 x2m2 2 2 b a x2m2 x2m2 2 2 b a (定值) 20 【答案】见解析 【解析】要证(ab) 1(bc)13( abc) 1， 即证 113 abbcabc ， 只需证3 abcabc abbc 化简得1 ca abbc ， 即 c(bc)(ab)a(ab)(bc)， 只需证 c2a 2b2 ac ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列， B60 ， cosB 222 2 acb ac 1 2， 即a 2c2b2a c 成立 (ab) 1(bc)13( abc) 1成立 21 【答案】 （1） n a2n 21，Snn(n 2)； （2）见解析
16、【解析】 （1）设等差数列公差为 d， 则 3 1 a3 2 2 d93 2， 解得 d2， n a1 2(n1) 22n 21， Sn 12221 2 n nn(n 2) （2）bnSn n n 2用反证法证明 设 bn，bm，bk成等比数列(m，n，k 互不相等)， 则 bnbkb2m，即(n 2)(k 2)(m 2)2， 整理得：nkm2 2(2mnk)，左边为有理数，右边是无理数，矛盾， 故任何不同三项都不可能成等比数列 22 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 （1）f (x)(x1)(ex1)， 当 x0 或 x1 时，f (x)0，当 0x1 时，f (x)0， f
17、(x)在(，0)，(1，)上单调递增，在(0，1)上单调递减， 当 x0 时，f(x)有极大值 f(0)0，当 x1 时，f(x)有极小值 f(1)5 2e （2）设 g(x)f(x)1 6x 31 2x，则 g(x)(x1)(e xx 2 3 2)， 令 u(x)exx 2 3 2，则 u(x)e x1 2， 当 x1 时，u(x)ex1 20，u(x)在1,)上单调递增，u(x)u(1)e20， g(x)(x1)(exx 2 3 2)0，g(x)f(x) 1 6x 31 2x 在1,)上单调递增 g(x)f(x)1 6x 31 2xg(1) 17 6 e0， f(x)1 6x 31 2x
