1、蚌埠市 届高三年级第一次教学质量检查考试 数 学（ 理工类） （ 试卷分值： 分 考试时间： 分钟） 注意事项： 答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 一、 选择题： 本题共 小题， 每小题 分， 共 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的。 已知 为虚数单位， 复数 满足（ ） ， 则 槡 槡 已知集合 （ ）， （ ） （ ） ， 则 （ ， （ ， ） （ ，
2、， ） 已知 ， 则在 ， ， ， 中， 最大的是 用模型 拟合一组数据时， 为了求出回归方程， 设 ， 其变换后得到线性回归方程 ， 则 已知 ， ， 则“ ” 是“ ” 的 既不充分也不必要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 执行如程序框图所示的程序， 若输入的 的值 为 ， 则输出的 的值为 若 直 线 将 不 等 式 组 表示平面区域的面积分为 ： 两部分， 则实数 的值为 或 或 或 或 ）页共（页第卷试）理（学数级年三高市埠蚌 定积分 （ 槡 ） 的值是 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ， ， ， 若三棱锥 的体积为 槡 ， 则球 的表面积为 已知椭圆
3、（ ） 的焦距为槡 ， 椭圆 与圆（ 槡 ） 交于 ， 两点， 且 ， 则椭圆 的方程为 已知函数 （ ） ， ， () ， 若 ， 使得 （ ） （ ） ， 则实数 的取值 范围是 ， 槡 () （ ， 槡 ） 槡 ， 槡() ， 槡 () 已知棱长为 的正方体 ， 点 是四边形 内（ 含边界） 任意一点， 是 中点， 有下列四个结论： ； 当 点为 中点时， 二面角 的余弦值 ； 与 所成 角的正切值为 槡 ； 当 时， 点 的轨迹长为 其中所有正确的结论序号是 二、 填空题： 本题共 小题， 每小题 分， 共 分。 已知平面向量 （ ， ） 与 （ ， ） ， （ ， ） ， 且 ， 则
4、实数 的值为 已知定义在上的奇函数 （ ） ， 对任意 都满足 （ ） （ ） ， 且当 ， ， （ ） （ ） ， 则 （ ） 蚌埠市大力发展旅游产业， 蚌埠龙子湖风景区、 博物馆、 张公山公园、 花鼓灯嘉年华、 禾泉 农庄、 淮河闸水利风景区都是 风景区， 还有荆涂山风景区、 大明御温泉水世界、 花博园 等也都是不错的景点， 小明和朋友决定利用三天时间从以上 个景点中选择 个景点游 玩， 每个景点用半天（ 上午、 下午各游玩一个景点） ， 且至少选择 个 风景区， 则小明这 三天的游玩有种不同的安排方式 （ 用数字表示） 已知 （ ） ， 若方程 （ ） （ ） 恰有两个实根 ， ， 则
5、的最 大值是 ）页共（页第卷试）理（学数级年三高市埠蚌 三、 解答题： 共 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 （ 分） 在 中， 角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 若 （ ） ， 且 ， （ ） 求 ； （ ） 若 ， 求 的周长 （ 分） 设数列 的前 项和为 ， 满足 （ ， ） ， 且 （ ） 求证： 数列 是等比数列； （ ） 若 （ ） ， 求数列 的前 项和 （ 分） 如图所示， 在四棱锥 中， ， 平面 ， ， 为线段 的中点 第 题图 （ ） 证明： 平面 ； （ ） 求直线 与平面 所成角的正弦值 ）页共（页第卷试）理（学数级年三高市埠蚌 （ 分） 某高铁站
6、停车场针对小型机动车收费标准如下： 小时内（ 含 小时） ， 每辆每次收费 元； 超过 小时不超过 小时， 每增加一小时收费增加 元， 不足一小时的按一小时计费； 超过 小时至 小时内（ 含 小时） 收费 元封顶。超过 小时， 按前述标准重新计 费 为了调查该停车场一天的收费情况， 现统计 辆车的停留时间（ 假设每辆车一天 内在该停车场仅停车一次） ， 得到下面的频数分布表： （ 小时）（ ， （ ， （ ， （ ， （ ， 频数（ 车次） 以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概 率。 （ ） 表示某辆车在该停车场停车一次所交费用， 求 的概率分布列及期望
7、 （ ） ； （ ） 现随机抽取该停车场内停放的 辆车， 表示 辆车中停车费用少于 （ ） 的车辆数， 求 （ ） 的概率 （ 分） 已知点 ， 是抛物线 ： （ ） 上关于 轴对称的两点， 点 是抛物线 的准线 与 轴的交点 （ ） 若 是面积为 的直角三角形， 求抛物线 的方程； （ ） 若直线 与抛物线 交于另一点 ， 证明： 直线 过定点 （ 分） 已知函数 （ ） ， （ ） ， 且 是曲线 （ ） 的切线 （ ） 求实数 的值以及切点坐标； （ ） 求证： （ ） （ ） ）页共（页第卷试）理（学数级年三高市埠蚌 蚌埠市 届高三年级第一次教学质量检查考试 数学（ 理工类） 参考答案
8、及评分标准 一、 选择题： 题 号 答 案 二、 填空题： 三、 解答题： （ 分） 解： （ ） （ ） ， ， 所以 ， （ ） ， （ ） 分 （ ） （ ） （ ） （ ） 分 （ ） 由（ ） 得 ， ， 且 ， ， 分 （ ） 分 ， （ ） （ ） 即 的周长为 分 （ 分） 解： （ ） （ ， ） ， ， 两式相减得 （ ） ， 分 又（ ） 且 ， 解得 ， 所以 （ ） ， （ ） ， 分 又 ， 所以数列 是首项为 ， 公比为 的等比数列 分 （ ） 由（ ） 知 ， 则 （ ） ， 分 ， ， 得： ， 故 （ ） 分 （ 分） 证明： （ ） 取 的中点 ， 连接
9、， ， 因为 为线段 的中点， ， 且 ， 瓛 ，分 四边形 为平行四边形 ）页共（页第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌 ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 分 （ ） （ 方法一） ， 平面 ， 平面 ， 由题意知 为等边三角形， 以 为坐标原点， 如图建系， （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ 槡 ， ， ） ， （ ， ， ） ， 槡 ， ， () （ ， ， ） ， （ 槡 ， ， ） ， 槡 ， ， () ， 分 设平面 的法向量为 （ ， ， ） ， 则 ， 槡 令 ， 则 （ 槡 ， ， ） ， 分 设直线 与平面 所成角为 ， 槡 槡 槡
10、 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值为槡 分 （ 方法二） 为等边三角形， 为线段 的中点， 平面 ， ， 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，分 过 点作 于 ， 连接 ， 则 平面 ， 即为直线 与平面 所成角， 易得 槡 ， ， 在 中， 槡 直线 与平面 所成角的正弦值为槡 分 （ 分） 解： （ ） 由题意知， 的可取值为 ， ， ， ， ， 因此， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） 分 所以 的分布列为： （ ） （ ） 分 （ ） 依题意得 ， () ，分 所以 （ ） （ ） （ ） () () ( ) 分 （ 分） 解： （ ） 由题意， 是
11、等腰直角三角形， 且 ）页共（页第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌 不妨设点 位于第一象限， 则直线 的方程为 ， 联立方程， ， 解得 ， 所以点 （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） 分 ， 解得 ， 故抛物线 的方程为 分 （ ） （ 方法一） 设 （ ， ） ， （ ， ） ， 则直线 的方程为 （ ） ， 联立方程， （ ） ， 消去 ， 得关于 的方程 （ ） ，分 该方程有一个根 ， 两根之积为 ， 则另一个根为 ， 所以点 的坐标为 ， () 直线 的斜率为 ， 分 所以 的方程为 () ， 化简得 () ， 所以直线 过定点 ， () 分 （ 方法二） 设
12、 （ ， ） ， （ ， ） ， （ ） ， 直线 的方程为 ， 联立方程， ， 消去 ， 得关于 的方程 ， 所以 ， ， 分 则 () () ， 直线 的方程为 （ ） ， 分 化简得 () ， 所以直线 过定点 ， () 分 （ 分） 解： （ ） 设切点为 ， () ， 则切线为 （ ） （ ） ， 即 （ ） 分 ）页共（页第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌 从而 （ ） ， 消去 得： ， 分 记 （ ） （ ） 则 （ ） ， 显然 （ ） 单调递减且 （ ） ， 所以 （ ， ） 时， （ ） ， （ ） 单增， （ ， ） 时， （ ） ， （ ） 单减， 故
13、（ ） 当且仅当 时取到最大值， 而 （ ） ， 因而方程 有唯一解 ， 此时 ， 所以 ， 切点为（ ， ） 分 （ ） （ 方法一） 记 （ ） ， （ ） ， 则 （ ） 当 （ ， ） 时， （ ） ， （ ） 单调递增； 当 （ ， ） 时， （ ） ， （ ） 单调递减， （ ） （ ） ， ， 即 （ ） 分 记 （ ） （ ） ， 则 （ ） （ ） （ ） （ ， ） 时， （ ） ， （ ） 单调递减； （ ， ） 时， （ ） ， （ ） 单调递增 （ ） （ ） ， 即 ， 即 （ ） 由得 （ ） （ ） 分 （ 方法二） 令 （ ） ， ， 则 （ ） （ ） （
14、） () ，分 令 （ ） ， 易知 （ ） 在（ ， ） 上单增， 且 （ ） ， 所以当 时， （ ） ， 从而 （ ） ； 当 时， （ ） ， 从而 （ ） ， 即 （ ） 在（ ， ） 单减， 在（ ， ） 单增， 则 （ ） 的最小值为 （ ） ， 分 所以当 时， （ ） （ ） ， 即 ， ， 即 ， （ ） （ ） 分 （ 方法三） 记 （ ） ， 则 （ ） ， 显然 （ ） ， 且 时， （ ） ， （ ） 单调递减， 时， （ ） ， （ ） 单调递增， 所以 （ ） （ ） ， 故 （ ） ， 等号成立当且仅当 故 ， 等号成立当且仅当 分 欲证 ， 只需证明 ， 即 记 （ ） ， 则 （ ） （ ） （ ） 从而 时， （ ） ， （ ） 单调递减， 时， （ ） ， （ ） 单调递增， 所以， （ ） （ ） ， 可得 （ ） ， 即 ， （ ） （ ） 分 （ 以上答案仅供参考， 其它解法请参考以上评分标准酌情赋分） ）页共（页第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌
