1、高三数学试题（理）第 1 页 共 4 页 理科数学试题理科数学试题 考试时间：120分钟试卷分值：150 分 第卷 选择题（共第卷 选择题（共 60 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1设全集U R， | 14Mxx ， 2 |log (2)1Nxx，则 U MC N() AB | 42xx C |4 3xxD | 12xx 2已知复数z满足234i zi,则z （） A2i B2iC2i D2i 3等差数列 n a的前n项和是 n S，公差d不等于零，若 236 ,a a a成等比数列，则（） A 13 0,
2、0a ddSB 13 0,0a ddSC 13 0,0a ddSD 13 0,0a ddS 4椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点分别是 12 FF、，以 2 F为圆心的圆过椭圆的中心，且与 椭圆交于点P，若直线 1 PF恰好与圆 2 F相切于点P，则椭圆的离心率为() A31B 31 2 C 2 2 D 51 2 5过三点(1,3)A、(4,2)B、 (1, 7)C 的圆截直线20xay所得弦长的最小值等于（） A2 3B4 3C13D2 13 6某罐头加工厂库存芒果m kg，今年又购进 n kg新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用 于加工为芒果罐头.被加工为罐头的新芒果最
3、多为 1 fkg，最少为 2 fkg，则下列坐标图最能 准确描述 1 f、 2 f分别与n的关系是（） 7若函数( )(sin) x f xexa在区间(,) 2 2 上单调递增，则实数a的取值范围是（） A 2,)B(1, )C1,)D( 2,) 安徽六校教育研究会 2020 届高三第一次素质测试 高三数学试题（理）第 2 页 共 4 页 82019 年 5 月 22 日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市 群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有 4 名高 三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游, 假设
4、每名同学均从这四 个地方中任意选取一个去旅游, 则恰有一个地方未被选中的概率为（） A. 27 64 B. 9 16 C. 81 256 D. 7 16 9 将函数( )4cos 2 f xx 和直线( )1g xx的所有交点从左到右依次记为 1 A， 2 A， ， 5 A， 若P点坐标为(0, 3)，则 125 .PAPAPA （） A0B2C6D10 10如图， 12 FF、是双曲线 22 22 1:0, 0Ca xy ab b的左、右焦点，过 2 F的直线与双曲线 交于A B、两点若 11 :3:4:5ABBFAF 则双曲线的渐近线方程为（） A.xy32Bxy22 Cxy3Dxy2 1
5、1条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的 信息，我们通常见的条形码是“EAN-13”通用代码，它是由从左 到右排列的 13 个数字（用 1213 ,a aa表示）组成，这些数字 分别表示前缀部分、 制造厂代码、 商品代码和校检码， 其中 13 a是 校验码，用来校验前 12 个数字代码的正确性.图（1）是计算第位校验码的程序 框图，框图中符号 m表示不超过m的最大整数（例如365.7365）.现有 一条形码如图（2）所示（710720255197 3 a） ，其中第 3 个数被污损，那么这 个被污损数字 3 a是（） A9B8C7D6 图(1) 12如图，已知四面体A
6、BCD为正四面体，1,ABE F分别是,AD BC中点.若用一个与直线 EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此 得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（） A 4 1 B 4 2 C 4 3 D1 图(2) 高三数学试题（理）第 3 页 共 4 页 1 1 1 121 133 1 14641 第卷 非选择题（共第卷 非选择题（共 90 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13向量( 1,1)a 在(3,4)b 方向上的投影为_ 14已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（-，
7、0）上单调递减，若实数a满足 2 (2)(2) a ff ，则a的取值范围是_. 15如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M是AD的中 点， 动点P在底面ABCD内 （不包括边界） ，若 1 B P平面 1 ABM， 则 1 C P 的最小值是 16我国南宋数学家杨辉在所著的详解九章算法一书中用如图所示 的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下， 从左到右依次排列，得数列：, 1 , 4 , 6 , 4 , 1 , 1 , 3 , 3 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1，记作数列 n a，若数列 n a的前n项和为 n S，则
8、 67 S=. 三、解答题（第三、解答题（第 17 题题 10 分，第分，第 1822 题每题题每题 12 分，共分，共 70 分）分） 17 （本小题满分 10 分）已知正项数列 n a的前n项和 n S满足22 2 nnn aaS. （）求数列 n a的通项公式； （）若 *)( ) 1(2 Nn na n b n n n ，求数列 n b的前n项和 n T. 18 （本小题满分 12 分）在ABC中，, ,a b c分别为角 , ,A B C的对边，且有 CBBCAAsinsin)cos(coscos2. （）求角A； （）若ABC的内切圆面积为，当AB AC 的值最小时，求ABC的面积
9、. 19 （本小题满分 12 分）已知三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 ABB A 底面 ABC，D是BC的中点， 11 60 ,B BAB DAB . （）求证：ABC为直角三角形； （）求二面角 1 CADB的余弦值. 高三数学试题（理）第 4 页 共 4 页 20 （本小题满分 12 分）已知B是抛物线 2 1 1 8 yx上任意一点，(0, 1)A，且点P为线段AB 的中点. （）求点P的轨迹 C 的方程； （）若 F 为点 A 关于原点 O 的对称点，过 F 的直线交曲线 C 于M、N两点，直线 OM 交 直线1y 于点H，求证：NHNF . 21 （本小题满分 12 分）
10、已知函数 x eaxxgxxf) 1()(, 1)( （） 记 x e xf xxh )( )(，试判断函数)(xh的极值点的情况； （） 若)()(xgxaf有且仅有两个整数解，求实数a的取值范围. 22（本小题满分 12 分）从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标 值，由测量结果得如下频率分布直方图： （） 求这500件产品质量指标值的样本平均数x和 样本方差 2 s（同一组数据用该区间的中点值作代表， 记作 7 , , 2 , 1,ixi） ； （）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质 量指标值X服从正态分布 2 ,N ，其中近似 为样本平均数x, 2 近似为
11、样本方差 2 s. （i）若使84. 14%的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准，则合格标准的质量指标值大 约为多少？ （ii）若该企业又生产了这种产品 1000 件，且每件产品相互独立，则这 1000 件产品质量指标 值不低于 12.14 的件数最有可能是多少？ 附：参考数据与公式： 7 2 1 ()3.46 ii i xxh ， 2 63 . 2 2 1 46 . 3 ； 若X 2 ,N ，则()0.6827PX； (22 )0.9545PX；(33 )0.9973PX. 第 1 页 共 11 页 安徽省六校教育研究会安徽省六校教育研究会 2020 届高三第一次联考 数学答案（理科）
12、届高三第一次联考 数学答案（理科） 第卷 选择题（共第卷 选择题（共 60 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 设全集U R， | 14Mxx ， 2 |log (2)1Nxx， 则 U MC N() AB | 42xx C |4 3xxD | 12xx 【详解】由 2 log (2)1x得20x且22x，所以24x， 所以24 U C Nx xx或，则 U MC N | 12xx ，故选：D 2已知复数z满足234i zi,则z （） A2i B2i C2i D2i 【详解】由(2 )z |34 | 5ii
13、 ，得 55(2) z2 2(2)(2) i i iii 故选：D 3等差数列?的前 ? 项和是?，公差 ? 不等于零，若?成等比数列，则（） A? ? ?B? ? ?C? ? ? ? D? ? ? ? 【详解】由?成等比数列可得? ?， 可得（? ?） ? ?（? ?）（? t?）， 即 ? ? ? ?，公差 ? 不等于零，? ?，? ? ? ? ? ? ?（? ?）? ? ? ?故选：C 4椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点分别是 12 FF、，以 2 F为圆心的圆过椭圆的中心， 且与椭圆交于点P，若直线 1 PF恰好与圆 2 F相切于点P，则椭圆的离心率为() A
14、31 B 31 2 C 2 2 D 51 2 【详解】由题得 12 PFPF，且 2 ,PFc又 121 22PFPFaPFac 由勾股定理得 2 222 24220acccee，解得31e ，故选：A. 第 2 页 共 11 页 5 过三点(1,3)A、(4,2)B、(1, 7) C 的圆截直线20xay所得弦长的最小值等于 （） A2 3B4 3C 13 D2 13 【详解】设圆心坐标 P 为（a，-2），则 r2 2222 132422aa，解 得a=1，所以 P（1，-2）.又直线过定点 Q（-2，0），当直线 PQ 与弦垂直时，弦长最短， 根据圆内特征三角形可知弦长 22 l=2 r
15、 -PQ =2 25-13=4 3，直线 20xay被圆截得 的弦长最小值为4 3故选：B 6某罐头加工厂库存芒果m kg，今年又购进n kg新芒果后，欲将芒果总量的三分之一 用于加工为芒果罐头.被加工为罐头的新芒果最多为 1 fkg，最少为 2 fkg，则下列坐标 图最能准确描述 1 f、 2 f分别与n的关系是（） 【详解】 要使得被加工为罐头的新芒果最少， 尽量使用库存芒果， 即当 mn m,n2m 3 时 此时 2 f0，当n2m时， 2 nmn2m fm 33 ，对照图象舍去 B,D; 要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，即当 mnm n,n 32 时 1 mn f 3
16、 ，当 mnm n,n 32 时 1 fn，因为 m 2m 2 ，故选：C. 7若函数( )(sin) x f xexa在区间(,) 2 2 上单调递增，则实数a的取值范围是（） A 2,)B(1,)C1,)D(2,) 【详解】， , 2 2 x ， sincos x fxexxa， 由于函数 sin x f xexa在区间, 2 2 上单调递增， 则 , 2 2 x ， 0fx ，sincos0xxa， 得sincos2sin 4 axxx ，当 22 x 时， 3 444 x ， 第 3 页 共 11 页 则 2 sin1 24 x ，22sin1 4 x ，1a， 因此，实数a的取值范围
17、是1,，故选：C. 82019 年 5 月 22 日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角 城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游, 假设每名同学 均从这四个地方中任意选取一个去旅游, 则恰有一个地方未被选中的概率为（） A. 27 64 B. 9 16 C. 81 256 D. 7 16 【详解】所有情况为 4 4 ，恰有一个地方未被选中的情况有 3 3 2 4 1 4 ACC，由古典概型可知 16 9 44 3 3 2 4 1 4 ACC P，故选：B.
18、9 将函数( )4cos 2 f xx 和直线( )1g xx的所有交点从左到右依次记为 1 A， 2 A， ， 5 A，若P点坐标为(0, 3)，则 125 .PAPAPA （） A0B2C6D10 【详解】 函数( )4cos 2 f xx 与( )1g xx的所有交点从左往右依次记为 1 A、 2 A、 3 A、 4 A和 5 A，且 1 A和 5 A， 2 A和 4 A，都关于点 3 A对称， 如图所示； 则 1253 .55(1,3)=53)PAPAPAPA （ ，-5， 所以 125 .PAPAPA 10. 故选：D. 10如图， 12 FF、是双曲线 22 22 1:0, 0Ca
19、 xy ab b的左、右焦点，过 2 F的直线与双 曲线C交于A B、两点若 11 :3:4:5ABBFAF 则双曲线的渐近线方程为（） A.xy32Bxy22 Cxy3Dxy2 【详解】设 2 ,3AFtABx，则 11 4 ,5BFAFxx， 根据双曲线的定义得： 1221 2AFAFBFBFa， 第 4 页 共 11 页 即5342xtxtxa ，解得：3 , tx ax， 11 :3:4:5ABBFAF ，得 1 ABF是以B为直角的直角三角形， 1 1 |3 cos 5 AB BAF AF ，可得 21 3 cos 5 F AF 21 F AF中， 222 12121221 |2co
20、|s| |FFAFAFAFAFF AF 222 3 2592 5352 5 ()xxxxx ，可得 12 | 2 13FFx， 所以渐近线为xy32. 故选：A. 11条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通 常见的条形码是“? ? ?”通用代码，它是由从左到右排列的 ? 个数字（用? 表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制 造厂代码、商品代码和校检码，其中?是校验 码， 用来校验前 ? 个数字代码的正确性.图 （1） 是计算第 ? 位校验码的程序框图， 框图中符号 ? 表示不超过 ? 的最大整数（例如 ?t? ? ?t）.现有一条形码如图 （2）所示（7
21、10720255197 3 a），其中第 ? 个数被污损，那么这个被污 损数字?是（） A?B?C?D6 【详解】由流程图可知，S 表示的结果为前 12 项中所有偶数项之和， T 表示的结果为前 12 项中所有奇数项之和，则： S=7+7+0+2+2+5=23，T=9+a3+1+7+0+5=22+a3， M=323+22+a3=91+a3，检验知，1 13 a，可知9N， 结合选项进行检验：8 3 a，故选：B. 12如图，已知四面体ABCD为正四面体，分别是,AD BC中点.若用一个 与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面 体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最
22、大值为（） . A 4 1 B 4 2 C 4 3 D1 第 5 页 共 11 页 【详解】补成正方体，如图. 截面为平行四边形MNKL,可得， 又且,ADBCKNKL 可得 LMNK SNK KL 四边形 当且仅当NKKL时取等号，故选：A. 第卷 非选择题（共第卷 非选择题（共 90 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13向量( 1,1)a 在(3,4)b 方向上的投影为_ 【详解】由题意，向量( 1,1),(3,4)ab ，则 22 41145133,bba ， 所以向量( 1,1)a 在向量(3,4)b
23、方向上的投影为 1 5 a b b 14已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递减，若实数a满足 2 (2)(2) a ff ，则a的取值范围是_. 【详解】因为 f(x)为偶函数，所以 2 (2)( 2) a ff ，且 f(x)在（0，+）单调递增，故 2 22 a ，所以), 2 5 () 2 3 ,(a. 15如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M是AD 的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），若 1 B P平面 1 ABM，则 1 C P的最小值是_ 【详解】如图，在 11 AD上取中点Q，在BC上取中点N，连接 11 ,D
24、N NB BQ QD， / /DNBM， 1 / /DQAM且DNDQD， 1 BMAMM， 平面 1 / /BQDN平面 1 ABM，则动点P的轨迹是DN（不含,D N两点）， 又 1 CC 平面ABCD，则当CPDN时， 1 C P取得最小值， . 第 6 页 共 11 页 16我国南宋数学家杨辉在所著的详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释二项展 开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列， 得数列：, 1 , 4 , 6 , 4 , 1 , 1 , 3 , 3 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1，记作数列 n a，若数列 n a的 前n项和为 n
25、 S，则 67 S=_ . 【详解】使得每行的序数与该行的项数相等，则第k行最后项在数列 n a中的项数为 1 2 k k ，设 67 a位于第 k kN 行，则，解得12k ， 且第11行最后一项在数列 n a中的项数为11 1266 2 ，所以 67 a位于杨辉三角数阵的第 12行第 1 个， 而第一行各项和为 0 12 ，第二行各项和为 1 22 ，第三行各项的和为 2 42 ，依此类推， 第k行各项的和为 1 2k， 因此，. 三、解答题（第三、解答题（第 17 题题 10 分，第分，第 1822 题每题题每题 12 分，共分，共 70 分）分） 17（本小题满分 10 分）已知正项数
26、列 n a的前n项和 n S满足22 2 nnn aaS. （）求数列 n a的通项公式； （）若*)( ) 1(2 Nn na n b n n n ，求数列 n b的前n项和 n T. 解：（）当1n 时， 1 2a ，1 分 当2n 时， 11 10 nnnn aaaa ，0 n a ， 1 10 nn aa ， 1 1 nn aa ，3 分 n a是以 1 2a 为首项，1d 为公差的等差数列， * 1 n annN；5 分 （）由（）得1 n an， nn b nn n 2 1 2 1 ，7 分 2 1 2 ) 2 1 2 () 2 2 3 2 ()2 2 2 ( 11232 nnn
27、T nnn n . 10 分 第 7 页 共 11 页 18（本小题满分 12 分）在ABC中，, ,a b c分别为角, ,A B C的对边，且有 CBBCAAsinsin)cos(coscos2. （）求角A； （）若? 的内切圆面积为?，当? ? ? ?的值最小时，求? 的面积. 解：（）， 因为sinsin0CB ，所以 1 cos 2 A， 因为0A，所以60A ；5 分 （）由余弦定理得? ? ? ?，由题意可知? 的内切圆半径为 1， 如图，设圆 ? 为三角形 的内切圆，? 为切点， 可得 ? ? ? ? ? ?，则 ? ? ? ? ? ? ? ?，7 分 于是 ? ? ? ?
28、? ? ? ? ? ? ?， 化简得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? 或 ? ? ? ?， 又 ? ? ?，所以 ? ? ?，即? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 当且仅当 ? ? ? 时， ? ? ?的最小值为 6， 10 分 此时三角形 的面积? ? ? ?sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ?.12 分 19 （本小题满分 12 分）已知三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 ABB A 底面ABC，D是BC的中点， 11 60 ,B BAB DAB . （）求证：ABC为直角三角形； （）求二面角的余弦值. 解：（）取AB中点
29、O，连接 1 ,OD BO，在 1 AB B中， 故 1 AB B是等边三角形， 1 BOAB，2 分 又 1 B DAB，而 1 BO与 1 B D相交于 1 B，AB 平面 1 BOD， 故ABOD，又ODAC，所以ACAB， ABC为Rt.6 分 第 8 页 共 11 页 （）以O为坐标原点，分别以 1 OBODOB、方向为x yz、 、 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，令 1 2ABACAA，则 1 1,2,0 ,1,0,0 ,0,1,0 ,1,0,0 ,0,0, 3CADBB，7 分 1 1,0, 3 ,0,2,0BBAC ， 111 ACACCCACBB 1,2, 3 ， 1,1
30、,0AD ， 设平面 1 ADC的法向量为，依题意有： ， 令1x ，则1,3yz ，9 分 又平面的法向量为， ，11 分 二面角的余弦值为.12 分 注：其它解法可按步给分. 20（本小题满分 12 分）已知B是抛物线 2 1 1 8 yx上任意一点，(0, 1)A，且点P为线 段AB的中点. （）求点P的轨迹 C 的方程； （）若 F 为点 A 关于原点 O 的对称点，过 F 的直线交曲线 C 于M、N两点，直线 OM 交直线1y 于点H，求证：NHNF . 解：（）设( , )P x y， 00 (,)B xy，则 0 0 2 21 xx yy ，2 分 因为点 B 为曲线 2 1 1
31、 8 yx上任意一点，故 2 00 1 1 8 yx，代入得 2 4xy. 所以点P的轨迹 C 的方程是 2 4xy5 分 第 9 页 共 11 页 （）依题意得 F（0,1），直线MN的斜率存在，其方程可设为1ykx， 设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，联立 2 1 4 ykx xy 得 2 440xkx ， 所以 2 16160k ， 12 4x x .7 分 因为直线OM的方程为 1 1 y yx x ， 因为H是直线OM与直线1y 的交点，所以H 1 1 (, 1) x y . 根据抛物线的定义|NF|等于点N到准线1y 的距离，由于H在准线1y 上， 所以要证明N
32、HNF ，只需证明HN垂直准线1y ， 即证/ /HNy轴10 分 因为H的横坐标 1112 2 2 1111 4 4 xxx x x xyxx . 所以/ /HNy轴成立，所以NHNF 成立12 分 注：其它解法可按步给分. 21（本小题满分 12 分）已知函数 x eaxxgxxf) 1()(, 1)( （） 记 x e xf xxh )( )(，试判断函数)(xh的极值点的情况； （） 若)()(xgxaf有且仅有两个整数解，求实数a的取值范围. 解：（） x x x e xe xh e x xxh 2 )( 1 )( 1 分 0xh0x) 1 , 0(x 01-e11-0 2-)( 0
33、00 ）（，即）（使唯一 ，）（，）（又 上单调递增，在设 Rxex x ),(0)(),(0)( 00 xxxhxxxh 点为极小值点，无极大值故 单调递增，单调递减，在在 0 00 x ),(),()( x xxxxxh 5 分 第 10 页 共 11 页 22（本小题满分 12 分）从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指 标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差 2 s（同一组数据用该区间的中点值作代 表，记作7 , 2 , 1,ixi）； （）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值X服从正态分布
34、 2 ,N ，其 中近似为样本平均数x, 2 近似为样本方差 2 s. (i)若使84. 14%的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准， 则合格标准的质量指标值大 约为多少？ （ii）若该企业又生产了这种产品 1000 件，且每件产品相互独立，则这 1000 件产品质量指 标值不低于 12.14 的件数最有可能是多少？ 附参考数据与公式：46. 3)( 7 1 2 i ii hxx， 2 63. 2 2 1 46. 3； 若X 2 ,N ，则()0.6827PX； (22 )0.9545PX；(33 )0.9973PX. 第 11 页 共 11 页 解：（） 12 0.04 14 0.12
35、16 0.28 18 0.3620 0.1022 0.0624 0.04=17.40x 92. 6246. 32)( 7 1 22 i ii hxxs4 分 （）有题意，X17.40,6.92N. （i） 10.6827 ()0.8414 22 P x， 17.402.6314.77时，满足题意， 即合格标准的质量指标值约为 14.77.7 分 （ii）由 0.9545 12,1420.50.9773 2 P XP X， 可知每件产品的质量指标值不低于 12.14 的事件概率为 0.9773， 记这 1000 件产品的质量指标值不低于 12.14 的件数为， 则 3 10 ,Bp， 其中0.9773p ， 于是恰有k件产品的质量指标值不低于 12.14 的事件概率是 kkk ppCkP 3 3 10 10 )1 ()(， 从而由 1001 1 11 Pkkp Pkkp ，得1001kp， 而1001 =978.2773p，所以， 当0978k时，1PkPk， 当9791000k时，1PkPk， 由此可知，在这 1000 件产品中，质量指标值不低于 12.14 的件数最有可能是 978. 12 分
