1、第四章三角形数学建模四大常考全等模型模型解读模型一平移型特征:沿同一直线(l)平移可得两三角形重合.已知:AE=BF,CBDF,ACDE结论:ABC EFD模型训练1.如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,ADEC,AED=B.若DE=3,CE=4,则BC=.32.如图,点B,D在AE上,BCEF,ACDF,请补充一个条件:(只填写一个即可),使ABCDEF.AD=BE(答案不唯一)模型二翻折型特征:所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分能完全重合.(1)在三角形中:(2)在正方形中:3.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.求证:BOC是等腰三角形.证明证明:AB=A
2、C,BAD=CAE,AD=AE,ABD ACE(SAS).ABD=ACE.AB=AC,ABC=ACB.ABC-ABD=ACB-ACE.OBC=OCB.BO=CO.BOC是等腰三角形是等腰三角形.4.(创新题)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连接AF,CE交于点G.求证:AG=CG.特征:此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的.如图,在四边形ABCD中,E点在AD上,BAE=BCE=90,且BC=CE,AB=DE.证明:AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,OBC=OCB.ABC-ABD=ACB-ACE.考虑:ABE ECD结论:BC=B
3、E+EC=AB+CD已知:ABE和ACF均为等边三角形结论:ABF AEC;BF=EC;BOE=BAE=60证明:AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,(2)若AE=6,BF=,则ABF的面积为.求证:BOC是等腰三角形.(2)CF与AE有什么特殊的位置关系?直接写出来.AB=AC,ABC=ACB.特征:此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的.证明:AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,考虑:ABE ECD结论:BC=BE+EC=AB+CD特征:此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的.(2)若AE=6,BF=,则ABF的面积为.OBC=OCB.(创新题)如图
4、,在正方形ABCD中,E,F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连接AF,CE交于点G.若DE=3,CE=4,则BC=.模型三旋转型(手拉手)1.特征:此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的.AD=BE(答案不唯一)考虑:ABE ECD结论:BC=AB-CD(1)两个等边三角形:求证:ABC DEC.如图,在四边形ABCD中,E点在AD上,BAE=BCE=90,且BC=CE,AB=DE.(1)两个等边三角形:求证:BOC是等腰三角形.(1)求证:ABE CBF;AB=AC,ABC=ACB.BOC是等腰三角形.若DE=3,CE=4,则BC=.AD=BE(答案不唯一)已知:AB
5、E和ACF均为等边三角形结论:ABF AEC;BF=EC;BOE=BAE=60(1)求证:ABE CBF;ABD=ACE.(2)CF与AE有什么特殊的位置关系?直接写出来.(创新题)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连接AF,CE交于点G.特征:所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分能完全重合.证明:AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,ABC-ABD=ACB-ACE.2.结论:(1)两个等边三角形:已知:ABE和ACF均为等边三角形结论:ABFAEC;BF=EC;BOE=BAE=60(2)两个正方形:已知:四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形结论
6、:ABD AFC;BD=FC;BDCF5.如图,在四边形ABCD中,E点在AD上,BAE=BCE=90,且BC=CE,AB=DE.求证:ABCDEC.6.如图,EBF是等腰直角三角形,点B为直角顶点,四边形ABCD是正方形.(1)求证:ABECBF;(2)CF与AE有什么特殊的位置关系?直接写出来.模型四三垂直型特征:有三个直角.(1)一线三垂直型:考虑:ABEECD结论:BC=BE+EC=AB+CD求证:ABC DEC.求证:BOC是等腰三角形.求证:ABC DEC.(1)求证:AE=DF;(1)两个等边三角形:求证:BOC是等腰三角形.求证:ABC DEC.模型三旋转型(手拉手)OBC=O
7、CB.考虑:ABE ECD结论:BC=AB-CD若DE=3,CE=4,则BC=.已知:四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形结论:ABD AFC;BD=FC;BDCF(2)CF与AE有什么特殊的位置关系?直接写出来.(1)求证:ABE CBF;已知:AE=BF,CBDF,ACDE结论:ABC EFD已知:ABE和ACF均为等边三角形结论:ABF AEC;BF=EC;BOE=BAE=60模型三旋转型(手拉手)AB=AC,ABC=ACB.特征:此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的.考虑:ABE ECD结论:BC=BE+EC=AB+CD(1)求证:ABE CBF;(1)求证:AE
8、=DF;如图,点B,D在AE上,BCEF,ACDF,请补充一个条件:AD=BE(答案不唯一)(1)求证:ABE CBF;考虑:ABE ECD结论:BC=AB-CD(2)若AE=6,BF=,则ABF的面积为.(2)CF与AE有什么特殊的位置关系?直接写出来.求证:ABC DEC.(2)三个直角(不在同一直线):ABD=ACE.OBC=OCB.AD=BE(答案不唯一)已知:ABE和ACF均为等边三角形结论:ABF AEC;BF=EC;BOE=BAE=60求证:ABC DEC.(1)求证:ABE CBF;AD=BE(答案不唯一)数学建模四大常考全等模型求证:ABC DEC.(2)CF与AE有什么特殊的位置关系?直接写出来.(2)三个直角(不在同一直线):考虑:ABEBCD结论:EC=AB-CD考虑:ABE ECD结论:BC=AB-CD 7.如图,正方形ABCD的顶点A在直线l上,分别过点B,D作直线l的垂线,点E,F为垂足,连接BF.(1)求证:AE=DF;(2)若AE=6,BF=,则ABF的面积为.7.如图,正方形ABCD的顶点A在直线l上,分别过点B,D作直线l的垂线,点E,F为垂足,连接BF.(1)求证:AE=DF;(2)若AE=6,BF=,则ABF的面积为.8
