1、 第二讲第二讲 分数的拆分问题分数的拆分问题 一分数拆分的初步知识 我们已经学过分数的加法运算，反过来你能把一个分数拆成几个分数的和的形式吗？ 我们先看下面的例题。 11111 31 2 10152 53 52 5 33 5 2 51 2 3 56 如果把上题改为填空： 111 6( )( ) ，你会填吗？有了上面的结果，就可以填出 111 6(10)(15) 。把一个分数拆成两个或两个以上的分数的和的形式，叫做分数的拆分。 怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式呢？我们仍然以 111 6( )( ) 为例， 因为 115 62 32 3 5 （扩分） 2323 = 235235235 （拆开
2、） 2311 3 03 01 51 0 （约分） 所以 111 6(15)(10) 。 通过以上可以看出，拆分主要有以下几个步骤： （1）把 1 6 的分母写成质因数乘积的形式。即 11 62 3 ； （2）把 1 2 3 的分子和分母同时乘以 5，成为 11 5 2 32 3 5 的形式，这叫做扩分； 注意为什么要乘以 5？因为 5 正好是分母 6 的两个质因数 2 与 3 的和。 （3）把分子拆成分母的两个质因子的和，再拆成两个分数的和。即： 52323 = 2 3 52 3 52 3 52 3 5 ； （4）把拆开后的两个分数约分，化为最简分数。 例 1填空： 111 14( )( )
3、，并写出过程。 解： 111 929 142 72 7 92 7 92 7 9 1111 =+ 7 92 96318 ， 事实上，我们把分母分解质因数后，可以得到这个分母的不同的约数，只要把分子和 分母都乘以这个分母的任意两个约数的和，就可以把一个分数拆成两个分数的和。 例 2填空： 111 18( )( ) 。 解：18 分解质因数后有六个约数：1、2、3、6、9、18，取不同的两个约数的和，可以 得到不同的结果。21 世纪教育网版权所有 11 (1 2)1211 1818 (1 2)54545427 ； 11 (23)2311 1818 (23)90904530 ； 11 (36)3611
4、 1818 (36)1621625427 ； 11 (69)6911 1818 (69)2702704530 ； 11 (9 18)91811 1818 (9 18)4864865427 ； 11 (29)2911 1818 (29)1981989922 ； 可以看出，由于每次所选的两个约数不同，所得的解也就不相同。但是当选用的四个 约数成比例时，它们的解就相同。如选 1 和 2、3 和 6、9 和 18 时，或选 2 和 3、6 和 9 时， 解就相同。21 教育网 二把一个分数拆成几个分数的和 以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。 例 3填空： 1111 18(
5、 )( )( ) 。 解：18 分解质因数后有六个约数：1、2、3、6、9、18，可以任意取不同的三个约数的 和，得到不同的结果。 11 (1 2+3)123111 + 1818 (1 2+3)1081081081085436 ； 11 (23+6)236111 + 1818 (23+6)198198198996633 ； 11 (1+36)136111 + 1818 (1+36)1801801801806030 ； 三把一个分数拆成两个分数的差 能不能把一个分数拆成两个分数的差的形式呢？观察下面的分数运算，看看左右两边 有什么关系。 11 = 1 22 和 111 122 ； 11 = 2
6、36 和 111 236 ； 11 = 3 412 和 111 3412 ； 由上面的例子可知：当一个分数为 1 (1)nn （n 为自然数）时，可以拆分成 11 1nn 的形式。即 111 (1)1nnnn 。（公式 1） 例 4填空： 111 6( )( ) ； 111 12( )( ) ； 111 56( )( ) 。 解： 1111 = 62 323 ； 1111 = 123 434 ； 1111 = 567 878 ； 观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系？ 55 = 11 16176 和 1116 115 1116176176 ； 663 = 2 8168 和 118263
7、= 2816168 ； 22 = 7 963 和 11972 796363 ； 以上每个分数的分子都是分母中两个因数的差。当 n、n+d 都是自然数时， () d nnd 可以转化为两个分数相减的形式。即：21 cn jy com 11 () d nndnnd （公式 2） 当 d=1 时，公式（2）转化为公式（1）。利用公式（2），可以把一些分数拆成两个分 数差的形式。 例 5把下列各数写出两个分数差的形式： （1） 5 24 ；（2） 3 28 ；（3） 2 63 ；（4） 7 18 。 解：（1） 5511 = 243 838 ； （2） 3311 = 284 747 ； （3） 221
8、1 = 637 979 ； （4） 7711 = 182 929 ； 由公式 （2） 11 () d nndnnd 可以导出 1111 () ()nnddnnd （公式 3） 。 如 1111 () 24538 ， 1111 () 28347 ， 1111 () 63279 ， 1111 () 18729 。 观察下面的等式，左右两边有什么关系？ 11 1 2 36 与 1111 () 21 22 36 ， 11 2 3 424 与 1111 () 22 33 424 ， 11 3 4 560 与 1111 () 23 44 560 ， 通过上面的算式，可以得到这样的结论： 1111 (1)
9、(2)2(1)(1) (2)nnnnnnn （公式 4） 如 11111 =() 61 2 3226 ； 11111 =() 242 3 42612 ； 11111 =() 603 4 521220 。 由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。 四拆分方法在分数加减运算中的应用 例 5计算 111111 2612203042 。 解：原式= 111111 1 22 33 44 55 66 7 = 11111111111 (1)()()()()() 22334455667 = 16 1 77 。 例 6计算： 1111 2013 20142014 201520
10、15 20162016 。 解：前三个分数相加可直接写成 11 20132016 ，所以 原式= 1111 2013201620162013 。 例 7计算： 22221 12 1414 1616 1818 2020 。 解：由公式（2） 原式= 111111111 ()()()() 121414161618182020 = 1 12 。 例 8计算： 11111 1 55 99 1313 1717 21 。 解：由公式（3） 原式= 11111111111111 (1)()()()() 4545949134131741721 = 111205 (1) 42142121 。 例 9计算： 11
11、11 1 12123123412350 。 解：由等差数列的求和公式 (1) 123 2 nn n 得 1211 2 () 1 23(1)1nnnnn ， 所 以原 式中每 个分 数可 以拆 分为 111 2 () 1223 ， 111 2 () 12334 ， 111 2 () 123445 ， 111 2 () 123505051 ， 因此 原式= 11111111 12 ()2 ()2 ()2 () 2334455051 = 11249 12 ()21 2515151 。 例 10计算： 1111 6246040 。 解：6=123，24=234，60=345，根据公式（4）， 1111
12、 () 621 22 3 ， 1111 () 2422 33 4 ， 1111 () 6023 44 5 ， 所以原式= 1111111111 ()+()+()+ 21 22 322 33 423 44 540 = 11111 () 2220404 。 例 11计算： 1111 4 5 65 6 76 7 898 99 100 。 解：根据公式（4）， 原式= 111111111 (+) 24 55 65 66 76 77 898 9999 100 = 11111494247 () 24 599 1004019800198009900 。 例 12求 121123211234321 , , ,
13、 , , , , , , , , , , , 222333334444444 的和。 解：先把同分母的分数相加。 12112 1 2 2222 ， 123211232 1 3 333323 ， 1234321123432 1 4 44444444 ， 所以原式=2+3+4=9. 例 13计算1 12112201621 122220162016201620162016 。 解：利用例 12 的结论进行计算。 原式=1+2+3+2016= 2016 2017 2 =2033136。 练练 习习 题题 1在下列各式中填上适当的整数： 111 28( )( ) ； 111 15( )( ) ； 答案：
14、 111 28(77)(44) ； 111 15(40)(24) 解： 11114711 284 74 7 114 7 117744 ； 1183511 153 53 5 83 5 84024 。 2在下列各式中填上适当的整数： 1111 32( )( )( ) ； 1111 + 24( )( )( ) ； 答案： 1111 32(224)(112)(56) ； 1111 + 24(144)(72)(48) ； 解：32 的约数有 1、2、4、8、16、32， 17124111 3 23 273 273 273 272 2 41 1 25 6 ； 24 的约数有 1、2、3、4、6、8、12、
15、24， 16123111 2 42 462 462 462 461 4 47 24 8 。 3在下列各式中填上适当的整数： 111 8( )( ) ； 111 27( )( ) ； 答案： 111 8(4)(8) ； 111 27(18)(54) ； 解： 1114211111 () 82 422 422448 ； 1119311111 () 273 963 96391854 4把下列各数写成两个分数的差的形式： 4 45 ； 1 72 ； 答案： 411 = 4559 ； 111 7289 ； 解： 4959511 455 95 95 959 ； 19811 728 989 。 5先观察，找
16、出规律。 11 441311 33 4121212124 ， 111 3412 ； 11 551411 44 5202020205 ， 111 4520 ； 11 661511 55 6303030306 ， 111 5630 ； 然后在（ ）内填上适当的整数。 111111 6( )( )( )( )( ) 。 答案： 111111 6(42)(56)(72)(90)(10) ； 解： 1111111111 ()()()() 667788991010 = 11111 4256729010 。 6计算： 1111111 + 261220304256 . 答案： 7 8 ； 解：原式= 1111111111111 (1)()()()()()() 2233445566778 17 1 88 。
