1、第四节二次函数与幂函数1二次函数(1)二次函数的三种形式一般式：f(x)_(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为_；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点ax2bxc(h，k)(2)二次函数的性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象定义域R值域_单调性对称性减减 增增 增增 减减 2.幂函数(1)定义：形如 _(R)的函数叫幂函数，其中x是_，是常数 yx自变量自变量(2)幂函数的性质1ax2bxc0(a0)恒成立的条件是什么？其几何意义如何？【答案答案】B2函数f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(5
2、，3)上()A先减后增 B先增后减C单调递减 D单调递增【解析】f(x)(m1)x22mx3为偶函数，2m0，m0.则f(x)x23在(5，3)上是增函数【答案】D3函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围是_【解析】二次函数f(x)的对称轴是x1a，由题意知1a3，a2.【答案】(，24(2013东莞质检)设函数f(x)mx2mx1，若f(x)0的解集为R，则实数m的取值范围是_【答案】(4，0(2013广州调研)已知函数f(x)x22ax3，x4，6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4，6上是单调函数；(3)当a1
3、时，求f(|x|)的单调区间【思路点拨】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系，结合图象或单调性直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间f(|x|)在区间4，1)和0，1)上为减函数，在区间1，0)和1，6上为增函数 1本题(3)应去掉绝对值符号，化为分段函数2研究二次函数在闭区间上的最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍3.求二次函数最值的类型及解法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.(2)常画出图象结
4、合二次函数在该区间上的单调性求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得.(2013惠州模拟)若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若在区间1，1上，不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围(2)由题意，x2x12xm在1，1上恒成立则mx23x1在1，1上恒成立，令g(x)x23x1，x1，1，g(x)是减函数g(x)ming(1)1，应有m1.因此实数m的取值范围是(，1).设函数f(x)ax22x2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围 1本题中二次项系数不确定，因此使用方法一时需分三种情
5、况讨论2由不等式恒成立求参数取值范围，一般有两个解题思路：(1)分离参数；(2)不分离参数，二者都将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.已知二次函数f(x)x22bxc(b，cR)(1)若f(x)0的解集为x|1x1，求实数b，c的值；(2)若f(x)满足f(1)0，且关于x的方程f(x)xb0的两个实数根分别在区间(3，2)，(0，1)内，求实数b的取值范围【思路点拨】【答案】(1)A(2)B二次函数、二次方程与二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的
6、核心，通过二次函数的图象贯穿为一体因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法在研究二次函数时，要注意二次项系数对函数性质的影响，往往需要对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论从2012年全国各省市命题看，对二次函数、幂函数的考查多以客观题为主，重点考查二次函数的应用，方程根的分布，并且蕴含分类讨论和转化化归等数学思想方法思想方法之三分类讨论思想在二次函数中的应用 (2013肇庆调研)设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若f(0)1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值【规范解答】(1)f(0)a|a|1，a0，即a0.由a21，知a1.则a的取值范围是(，1易错提示：(1)求函数的最值时，对a找不到分类的标准导致无从入手；(2)分类求最值时，最小值求解不正确防范措施：(1)二次函数求最值时，应从对称轴与区间端点的大小关系入手，从三个方面讨论(2)分段函数求最值，应求出每一段的最值，然后比较大小【答案】C
