1、 试卷类型试卷类型：A 肇庆市肇庆市 2020 届高中毕业班第一次统一检测届高中毕业班第一次统一检测 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净， 再选涂其他答案标号.回答非选择题时， 用黑色字迹的签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答， 答案无效. 3.考试结束.监考人员将试卷、答题卷一并收回. 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四
2、个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1.已知集合10Ax x ， 2 20Bx xx，则AB （ ） A.0x x B.1x x C.01xx D.12xx 2.“1a ”是“函数 f xxa 在区间 1, 上为增函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知xR，向量,1ax，1, 2b ，且ab，则ab（ ） A.5 B.10 C.2 5 D.10 4.已知sin2cos，则sincos（ ） A. 2 5 B. 1 5 C. 2 5 D. 1 5 5.下面关于复数 2 1 z
3、i 的四个命题： 1 p：2z ， 2 p： 2 2zi， 3 p，z 的共轭复数为1 i， 4 p：z 的虚部为1，其中真命题为（ ） A. 2 p， 3 p B. 1 p， 2 p C. 2 p， 4 p D. 3 p， 4 p 6.已知变量 x，y 满足约束条件 360 20 3 xy xy y ，则目标函数2zyx的最小值为（ ） A.7 B.4 C.1 D.2 7.若01xy，则（ ） A.33 yx B.log 3log 3 xy C. 44 loglogxy D. 11 44 xy 8.执行如图所示的程序框图，如果输入3n ，则输出的S （ ） A. 6 7 B. 3 7 C.
4、8 9 D. 4 9 9.由函数 sin2fxx 的图象平移得到 cos 6 g xax （其中 a 为常数且0a ）的图象，需要将 fx 的图象（ ） A.向左平移 3 个单位 B.向左平移 6 个单位 C.向右平移 3 个单位 D.向右平移 6 个单位 10.已知函数 sinfxxx 的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判 断：若 1 x， 2 , 2 2 x ，且 12 f xf x，则（ ） A. 12 xx B. 12 0xx C. 12 xx D. 22 12 xx 11.己知函数 fx（xR ）图象上任一点 00 ,xy处的切线方程为 2 0000
5、21yyxxxx，那 么函数 fx 的单调减区间是（ ） A. 1, B. ,2 C. , 1 ， 1,2 D. 2, 12.已知函数 1 ln1f xxxt x （tR，且0t ）有 3 个零点 1 x， 2 x， 3 x，则 123 xxx的 取范围是（ ） A. 2, B. 3, C. 3, D. 0,3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.若等差数列 n a和等比数列 n b满足 11 1ab ， 44 8ab，则 2 2 a b _. 14.在ABC中，已知 D 是AB边上一点，若2ADDB， 1 3 CDCACB
6、，则_. 15.已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 12 0S， 13 0S，则当n_ n S最大. 16.定义在 R 上的函数 fx 满足 2 log1,0 12 ,0 xx f x f xf xx 则 2020f 的值为_. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 己知 2 3sin2sin 2 x fxx （0）的最小正周期为3. （1）求的值； （2）当 3 , 24 x 时，求函数 fx 的最小值 18.（本小题满分 12 分） 己知在ABC中，角 A、B、C
7、 对应的边分别为 a、b、c，sin3 1 cosAA. （1）求角 A； （2）若7a ， 13 3 sinsin 14 BC，求 ABC的面积. 19.（本小题满分 12 分） 已知数列 n a中， 1 1a ，0 n a ，前 n 项和为 n S，若 1nnn aSS （n N，且 2n）. （1）求数列 n a的通项公式： （2）记2 n a nn ca，求数列 n c的前 n 项和 n T. 20.（本小题满分 12 分） 已知在ABC中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，若 b 是 a 与 c 的等比中项，sin A是 sin BA 与sinC的等差中项. （1）证明AB
8、C为直角三角形； （2）求cosB的值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 1 ln 1 a x f xx x ，aR. （1）若2x 是函数 fx 的极值点，求曲线 yf x 在点 1,1f 处的切线方程； （2）设 m，n 为正实数且mn，求证： lnln2 mnmn mn . 22.（本小题满分 12 分） 设函数 3 1 sin 6 f xxaxx（aR）. （1）讨论 fx 的导函数 fx 零点的个数； （2）若对任意的0x ， 0fx 成立，求 a 的取值范围. 2020 届高中毕业班第三次统一检测题届高中毕业班第三次统一检测题 理科数学参考答案及评分标准理科数学参考答案及
9、评分标准 一、选择题一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B C C A C B B D C C 二、填空题二、填空题 13.1 14. 2 3 15.6 16.1 三、解答题三、解答题 （17） （本小题满分） （本小题满分 10 分）分） 解： （1） 1 cos 3sin2 2 x f xx 3sincos12sin1 6 xxx 由 2 3 得 2 3 （2）由（1）得 2 2sin1 36 f xx . 又当 3 24 x 时，可得 22 2363 x ， 所以当 22 363 x ，即 3 4 x 时， min 3 213 1 2 f
10、 x . （18） （本小题满分） （本小题满分 12 分）分） 解： （1）法一：由sin3 1 cosAA可得 2 2sincos2 3sin 222 AAA ， 即 3 tan 23 A ， 又因为 0,A ，所以 3 A . 法二：由sin3 1 cosAA可得sin3cos2sin3 3 AAA ， 即 3 sin 32 A 又因为 0,A ，所以 4 , 333 A ， 所以 2 33 A ，即 3 A . （2）由正弦定理得 7 sinsinsin3 2 bca BCA ， 整理得 3 sin 14 Bb， 3 sin 14 Cc， 又因为 13 3 sinsin 14 BC，所
11、以 13bc 由余弦定理可得 2 2 222 2 cos 22 bcbcabca A bcbc ， 代入数据计算得40bc ABC的面积为 1 sin10 3 2 bcA （19） （本小题满分） （本小题满分 12 分）分） 解： （1）当2n时， 1nnn aSS ，又由已知可得 1nnn aSS ， 所以 11nnnnn aSSSS ，且0 n a ，所以 1 1 nn SS 所以数列 n S是以 11 1Sa为首项，1 为公差的等差数列， 11 n Snn ， 2 n Sn 当2n时， 1 21 nnn aSSn ， 当1n 是， 1 1a 也满足上式， 所以数列 n a的通项公式是2
12、1 n an （2） 21 21 2 n n cn 则 3521 1 23 25 221 2 n n Tn 35721 41 23 25 221 2 n n Tn 两式相减得 22 35212121 8 1 2 322 22221 22221 2 1 4 n nnn n Tnn 21 105 22 33 n n 所以 21 65 210 9 n n n T （20） （本小题满分） （本小题满分 12 分）分） 解： （1） 2 2 222 11122211 111 a xa xxaxxa x fx x xx xx x 由题意知 20 f ，代入得 9 4 a ，经检验，符合题意. 从而切线斜
13、率 1 1 8 k f ，切点为1,0， 切线方程为810xy （2）不妨设mn，要证 lnln2 mnmn mn ，只需证 11 2 ln mm nn m n 即证 21 ln 1 m mn m n n 只需证 21 ln0 1 m mn m n n 设 21 ln 1 x h xx x ，则 2 2 22 121 0 11 xxx h x x xx x 知 h x 在 1, 上是单调递增函数， 又1 m n ，所以 10 m hh n ，即 21 ln0 1 m mn m n n 成立，所以 lnln2 mnmn mn . 同理，mn成立. （21） （本小题满分） （本小题满分 12 分
14、）分） 解： （1）由sin A是 sin BA 与sinC的等差中项得： 2sinsinsinABAC ， ABC中，CAB，sinsinCAB 上式可化为 2sinsinsinABABA 展开得：sinsincosABA 由正弦定理得：cosabA， 又由 222 cos 2 bca A bc 得 222 2bcaac 又因为 b 是 a 与 c 的等比中项， 2 bac 222 cba所以 ABC为直角三角形 （2）由（1）知ABC为直角三角形 2 AB ， 则sincosAB，cossinAB 又因为sinsincosABA cossinsinBBB 2 cos1 cosBB ， 51
15、 cos 2 B 又因为 B 为锐角0cos1B， 51 cos 2 B （22） （本小题满分） （本小题满分 12 分）分） 解： （1） 2 1 cos 2 fxxax 令 2 1 cos 2 g xxax，xR， g x为偶函数，先研究0x 则 singxxx ， 1 cos0gxx ， gx 在 0, 为递增函数， 且 00 g ， 0gx，即 g x在0,为单调递增函数， 当 010ga ，即1a ， g x 没有零点 当 010ga ，即1a ， g x 有 1 个零点 当 010ga ，即1a ， 22 11 cos1 22 g xxaxxa， 当21xa， 0g x 当21xa， g x 在 0, 有 1 个零点， g x 为偶函数，在 ,0 也有有 1 个零点. 综上：1a ， fx 没有零点；1a ， fx 有 1 个零点； 1a ， fx 有 2 个零点. （2） 2 1 cos 2 fxxax 当1a 时，由（1）知 0fx ， fx 在 0, 为单调递增函数， 00f xf 当1a 时， 22 2cos22cos210faaaaaaa a， 010fa ， 由零点存在性定理知 0 0,2xa使得 0 0fx 且在 0 0,x， 0fx，即 fx单调递减， 00f xf与题设不符. 所以1a .
