1、3.2函数的基本性质函数的基本性质3.2.1 单调性单调性 前面学习了函数的定义和表示法，前面学习了函数的定义和表示法，知道函数描述了客观世界中变量之知道函数描述了客观世界中变量之间的一种对应关系间的一种对应关系.这样我们就可以这样我们就可以通过研究函数的通过研究函数的变化规律变化规律来把握客来把握客观世界中事物的变化规律观世界中事物的变化规律.新课引入新课引入 因此，研究函数的性质，如随着因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最高点或最低点，函数图象有有没有最高点或最低点，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要什么特征等，是
2、认识客观规律的重要方法方法 请大家回顾初中学习过的一次请大家回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，我函数、二次函数、反比例函数，我们通过什么来研究它们的性质呢？们通过什么来研究它们的性质呢？图象2 4 6-2-4-6x2-21-1xyxy25-2-5y问题问题1：观察下面的函数图象，说说它观察下面的函数图象，说说它们分别反映了相应函数的哪些性质呢？们分别反映了相应函数的哪些性质呢？2 4 6-2-4-6x2-21-1xyxy25-2-5y 如升降变化，对称性，最高点如升降变化，对称性，最高点或最低点等，我们重点关注图或最低点等，我们重点关注图象象从左到右升降变化从左到右升降变化的特点
3、的特点.y246-2-4-650100-50-1000 x-+第一个图像从左到右是上升的，即在，上，y随x的增大而增大；246-2-4-602-21-1xy-第二个函数在（，1）和（0，1）两个区间上，从左到右图象分别上升，y随x的增大而增大；246-2-4-602-21-1xy-在（1,0）和（1,+）两个区间上，从左到右图象分别下降，y随x的增大而减小；本节课我们从本节课我们从数量数量上刻画上刻画函数值随自变量的增大而增大函数值随自变量的增大而增大（或减小）的变化规律（或减小）的变化规律-函数函数的单调性的单调性.2-0yxyxyx问题2：初中我们研究过二次函数，现在我们以函数为例，我们知
4、道在区间，上，随 的增大而减小.请问你是怎样理解“随的增大而减小”的？请说出它的数量特征.追问追问1：观察下表，你能给出具体观察下表，你能给出具体描述吗？描述吗？x-5-4-3-2-1 f(x)=x2 2516941当当x从从-5增大到增大到-4，函数值，函数值f(x)从从25减小到减小到16；追问追问2：这样的变化过程能写的完吗？这样的变化过程能写的完吗？你能借助你能借助字母符号字母符号，归纳这些数值变，归纳这些数值变化的化的共同点共同点吗？吗？当当x从从-4增大到增大到-3，函数值，函数值f(x)从从16减小到减小到9；当当x从从-3增大到增大到-2，函数值，函数值f(x)从从9减小到减小
5、到4；121212,0,()x xxxf xf x在上，所有的只要，就有 121212,0,()x xxxf xf x在上，只要，就有,0思考：只取上的某些数对是否可以？请举例说明.yxoabf(a)f(b)y=f(x)追问3：20+y x 对 于 函 数，你 能 模 仿 上 述 方 法，给 出“在 区 间，上，y随 x的 增 大 而 增 大”的 符 号 语 言 刻 画 吗？1212120,()x xxxf xf x在上，只要，就有 问题问题3：你能归纳函数你能归纳函数y=x2单调性的刻画方法，给出函数单调性的刻画方法，给出函数y=f(x)在区间在区间D上单调性的符号上单调性的符号表述吗？表述
6、吗？oxyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)121212,.,f xIDIx xDxxff xDf xx一.定义：一般地，设函数的定义域为 区间如果当时,都有那么就称函数在区间，上单调递增.f x特别地，当函数它的定义域上单调递增时，我们在就称它是增函数 121212,.,f xIDIx xDxxf xff xxD定义：一般地，设函数的定义域为 区间如果当那么就称函数在区间 上单调时,都有，递减.oxyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)f x特别地，当函数它的定义域上单调递减时，我们在就称它是减函数二二.函数的单调区间函数的单调区间 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间D上上单
7、调递增单调递增或单调递减或单调递减,那么就说函数那么就说函数y=f(x)在在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间具有（严格的）单调性，区间区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.问题问题4：你能举出在你能举出在整个定义域内整个定义域内单调递增的函数（即单调递增的函数（即增函数增函数）例子）例子吗？你能举出在定义域内的吗？你能举出在定义域内的某些某些区区间上单调递增但在间上单调递增但在另一些另一些区间区间上单调递减的函数例子吗？上单调递减的函数例子吗？12-1-202-21-1xyy=x+1y=x2xy0-21-12 3-3 单调性是对定义域内某个区间而单调性是对定义域内某个区间而言的
8、，是函数的言的，是函数的“局部局部”性质性质.描述描述函数单调性，要说函数单调性，要说哪个函数、在哪哪个函数、在哪个区间上、单调性怎样个区间上、单调性怎样.2-00+.yx例：函数在，上单调递减，在，上单调递增 允许函数在某些区间上单调递允许函数在某些区间上单调递增，在另一些区间上单调递减，只增，在另一些区间上单调递减，只有在有在整个定义域整个定义域上单调递增上单调递增(减减)才才能叫增（减）函数能叫增（减）函数.1.()(0).f xkxb k例 根据定义，研究函数的单调性分析分析:(1)研究一个函数的单调性研究一个函数的单调性,需要利用需要利用 单调性的定义，考察在定义域内的哪单调性的定义
9、，考察在定义域内的哪 些区间上单调递增，在哪些区间上单些区间上单调递增，在哪些区间上单 调递减调递减;分析分析:(2)具体的操作方法是，在条件具体的操作方法是，在条件x1x2下，下，考察考察f(x1)与与f(x2)的大小关系，比大小可的大小关系，比大小可以作差，这里往往要用到不等式的性质以作差，这里往往要用到不等式的性质和代数变形和代数变形.1.()(0).f xkxb k例 根据定义，研究函数的单调性1.()(0).f xkx b k例 根据定义，研究函数的单调性Rxf的定义域是解：函数)(12121212,()x xRxxf xf xkxbkxb且则21xxk12120 x xx x 12
10、0,0kk xx(1)当 120f xf x于是 12f xf xf x即=kx+这时，b是增函数120,()0kk xx(2)当 120f xf x于是 12f xf xf x即=kx+这时，b是减函数 在初中，我们利用函数图象得到了在初中，我们利用函数图象得到了上述结论，这里用严格的上述结论，这里用严格的推理运算推理运算得得到了函数到了函数f(x)=kx+b的单调性的单调性.这里将这里将“比较比较f(x1)与与f(x2)的大小的大小”转转化为化为“比较比较f(x1)-f(x2)与与0的大小的大小”的的做法，体现了数学中做法，体现了数学中“化繁为简化繁为简”“化难为易化难为易”的的转化与化归
11、思想转化与化归思想.由例由例1的证明过程，归纳的证明过程，归纳一下用单调性的定义证明一一下用单调性的定义证明一个函数在区间个函数在区间D上的单调性上的单调性的基本步骤的基本步骤.1.()(0).f xkx b k例 根据定义，研究函数的单调性Rxf的定义域是解：函数)(1212,x xRxx且第一步第一步1212,.xDx第一步：x且规定x1.()(0).f xkx b k例 根据定义，研究函数的单调性 121212()()f xf xkxbkxbk xx则第二步第二步第二步：计算第二步：计算f(x1)-f(x2),将将f(x1)-f(x2)分解为若干个可以分解为若干个可以直接确定符号直接确定
12、符号的式子；的式子；1.()(0).f xkx b k例 根据定义，研究函数的单调性12120 x xx x 120,0kk xx(1)当 120f xf x于是 12f xf xf x即=kx+这时，b是增函数120,()0kk xx(2)当 120f xf x于是 12f xf xf x即=kx+这时，b是减函数第三步第三步 121212()()()()0,()()0,f xf xf xf xf xDf xf xf xD第三步：确若函数在区间 上单调递增；若函数在区间定的上单符号.则则调递减.课堂小结课堂小结1.（1）单调递增）单调递增.（2）单调递减）单调递减.（3）单调区间）单调区间.（4）证明或研究函数单调性）证明或研究函数单调性 的基本步骤的基本步骤.121212,x xDxxf xf x当时,都有 121212,x xDxxf xf x当时,都有作业作业 教科书教科书79页练习页练习1,2,3
