1、 第 - 1 - 页 共 11 页 - 1 - 永州市 2020 年高考第二次模拟考试试卷 数学(文科) 注意事项： 1.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。 2.考试结束后，只交答题卡。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.设复数 z 满足(2)34zii，则|z| A.2 B.5 C.3 D.22 2.已知集合 Ax|(x1)(x2)0，a2a44，S314，则其公比 q 等于 A. 1 6 B. 1 2 C.2 D.3 4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们
2、的体重情况如三 维饼图(1)所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图(2)所示。 对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论不正确 的是 A.他们健身后，体重在区间90kg，100kg)内的人数不变 B.他们健身后，体重在区间100kg，110kg)内的人数减少了 4 人 C.他们健身后，这 20 位健身者体重的中位数位于90kg，100kg) D.他们健身后，原来体重在110kg，120kg内的肥胖者体重都至少减轻了 10kg 5.椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右顶点分别是 A， B， 左右焦点分别是 F1， F2。 若|AF1|， | F1F2|， |F1
3、B|成等差数列，则该椭圆的离心率为 第 - 2 - 页 共 11 页 - 2 - A. 1 4 B. 1 2 C. 2 3 D.2 6.若等边ABC 的边长为 l，点 M 满足 1 2 CMCBCA，则MA MB A.3 B.2 C.23 D.0 7.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 AC1与平面 B1BCC1所成角的正切值为 A.1 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3 8.某程序框图如图所示，若输出的 S41，则判断框内应填入 A.k5? B.k6? C.k7? D.k8? 9.已知下列命题： “若 x2x20，则 x1”为真命题： 命题 p：xR，x210，则p：x0R，x
4、0210； 若 2 k (kZ)，则函数 ycos(2x)为奇函数； 若a b0，则a与b的夹角为锐角。 其中，正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知函数 f(x)2sin(x)(0，|0，记函数 g(x)f(x1)f(x5)，且 g(x)的最大值为 M，求证： 2 1 3Ma a 。 第 - 6 - 页 共 11 页 - 6 - 永州市 2020 年高考第二次模拟考试试卷 数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
5、答案 B C B D B D B A C C A D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 132 14 1 9 15 41 41 6 16 2020 2021 三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分） 解： （1） 1 sin 2 BCD SBD BCB 4BC 3 分 在BCD中，由余弦定理可得 222 2cosCDBCBDBC BDB 2 3CD 6 分 （2） BCDBCADCA s i ns i nc o sc o ss i nB C DB C AD C
6、 AB C AD C A 8 分 5 cos 5 BCA， 3 10 cos 10 DCA 2 5 sin 5 BCA， 10 sin 10 DCA，9 分 2 sin 2 BCD 10 分 在BCD中，由正弦定理可得 sinsin CDBD BBCD ， sin 6 sin BDB CD BCD 12 分 18 （本小题满分 12 分） 第 - 7 - 页 共 11 页 - 7 - 解：（1）消费不低于 1000 元的共有0.025 2 100=5 人， 1 分 其中女职工 3 人设为, ,A B C，男职工 2 人，设为, a b.从 5 名职工中选取 3 名职工 的可能情况如下： （,
7、,A B C），（, ,A B a），（, ,A B b），（, ,A C a），（, ,A C b），（, ,B C a）， （, ,B C b）（, ,A a b），（, ,B a b），（, ,C a b）共 10 种情况.3 分 其中至少有两名女职工包括 7 种情况. 4 分 所以抽取的 3 名职工中至少有两名女职工的概率 7 10 P . 6 分 （2）应抽取男职工： 120 1000=60 2000 人，抽取女职工： 800 100=40 2000 人， 理性购物者 购物狂 合计 男 48 12 60 女 22 18 40 合计 70 30 100 8 分 （注：按表格前两行，一行
8、数据全对时得 1 分） 2 (48 1822 12)100 7.143 60 40 70 30 k ， 10 分 因为7.1436.635 所以有 99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关. 12 分 19 （本小题满分 12 分） 解： （1）DC 平面ABC，AM 平面ABC， AMDC 1 分 在ABC中，ACAB，4AB ，3AC ， 5BC 由 222 3 cos 25 ACCMAM ACM AC CM 得 2 2 12 9 35 65 CM CM 9 5 CM 3 分 222 AMCMAC AMCM，即AMBC5 分 BCDCC，BC 平面BCD，CD 平面BCD 第 - 8 -
9、 页 共 11 页 - 8 - AM 平面BCD6 分 （2）取AB的中点N，BM的中点P,连接FN，PN, AMPN/ ， 16 25 PNAM， 7 分 点F为线段BE中点， / /FNEA. 8 分 DC 平面ABC， EA平面ABC， / /DCEA，DCBC，9 分 / /FNDC. FN 平面BCD，DC 平面BCD / /FN平面BCD 点F到平面BCD的距离等于点N到平面BCD的距离 10 分 AM 平面BCD， PN 平面BCD. 设CDa，则 116 51 325 F BCD Va 三棱锥 1a ，即CD长为1. 12 分 20.（本小题满分 12 分） 解： （1）显然直
10、线l的斜率存在，设直线l：2ykx，设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy 联立 2 2 2 ykx xy 得 2 240xkx，2 分 2 4160k ， 12 2xxk， 12 4x x 3 分 2 12121212 1 ()0 4 OA OBx xy yx xx x，4 分 OAOB 5 分 （2） 1k 12 2xx， 12 4x x yx 切线 1 l： 111 ()yyx xx即 2 11 1 2 yx xx 同理可得切线 2 l： 2 22 1 2 yx xx 6 分 令0y ，则 1 1 (,0) 2 Mx， 2 1 (,0) 2 Nx 第 - 9 - 页 共 1
11、1 页 - 9 - 联立 2 11 2 22 1 2 1 2 yx xx yx xx 得，点(1, 2)P 8 分 设MNP的外接圆的方程为： 22 0xyDxEyF 令0y ，则 2 0xDxF 由韦达定理可得 12 11 + 22 xxD ， 12 1 4 x xF， 10 分 1D ，1F 且520DEF 3 2 E ，11 分 则圆的方程为： 22 3 10 2 xyxy 即 22 1329 2416 xy ， 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解： （1）定义域：(0,) 由题意知 2 11 ( )1+=0 axx fxax xx 在(0,)x时恒成立，1 分 即 2 10a
12、xx 在(0,)x时恒成立，2 分 所以(0,)x时， 2 max 1x a x 3 分 由于 2 22 1111111 () 244 x y xxxx ，所以 1 4 a 5 分 （2）设( )( ) 2 a g xf xax= 2 +ln 22 aa xaxxx 2 1(1)1(1)(1) ( )1 axaxaxx g xaxa xxx ，6 分 当1a 时，( )0g x，( )g x在0,是单调递增， 110g ， 1 4ln40 2 g， 所以存在唯一的 0 1,4x 使 0 0g x,即方程( ) 2 a f xax只有一个根. 8 分 当(1, )ae时，则 1 01 a ，令(
13、 )0g x，有 1 x a 或1x . 第 - 10 - 页 共 11 页 - 10 - 所以( )g x在 1 (0,) a 上是增函数，在 1 (1) a ，上是减函数，在(1+ )，上是增函数 ( )g x的极大值为 1111 ( )1lnln1 2222 aa gaa aaaa .9 分 设 1 ( )ln1 22 a h aa a ，其中(1, )ae 则 2 22 111(1) ( )+0 222 a h a aaa 所以( )h a在(1, )ae上是增函数， 所以 1 ( )( )20 22 e h ah e e ，即 1 ( )0g a ， 所以 g x在0,1上无零点.1
14、0 分 又(1)=10g， 991 (4)=4ln44+ln4ln40 222 a g， 所以(1)(4)0gg， 又( )yg x在(1,+ )单调递增，所以存在唯一的 0 1,4x 使 0 0g x. 即方程( ) 2 a f xax只有一个根.11 分 综上所述，当1, )ae时，方程( ) 2 a f xax有且只有一个根. 12 分 22.（本小题满分 10 分） 解：（1）直线 1 C的直角坐标方程为20xy， 2 分 将cosx,siny代入方程得 sincos2 ，即sin()2 4 . 5 分 （2）依题意可设直线l的极坐标方程为=0 ) 2 （， 设 12 (, ),(,
15、)MN ， 6 分 则 2 1 2sinsin() 21 4 =sin(2) 2422 ON OM ， 8 分 由0 2 ,有 3 2 444 ,9 分 当sin(2)=1 4 时， ON OM 的最大值为 2+1 2 . 10 分 第 - 11 - 页 共 11 页 - 11 - 23.（本小题满分 10 分） 解： （1）当2x 时，原不等式即225xx，解得2x ； 2 分 当2x 时，原不等式即225xx，解得12x ， 4 分 不等式52)( xxf的解集为 , 1. 5 分 （2）( )(1)(5)13132g xf xfxxxxx 7 分 （当且仅当3x时等号成立） 2M 3 2222 1111 233Maaaaa a aaaa . 9 分 当且仅当 2 1 a a ，即1a时等号成立.10 分
