1、 第 1 页 共 12 页 高三数高三数学模拟学模拟试题试题 2020.2 注意事项：注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚. 2第第卷，每小题选出答案后，用卷，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 第第卷卷（选择题（选择题 共共60分）分） 一、一、单项选择题：本大题共单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，
2、每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合 1,2A ， |1Bx ax，若BA，则由实数a的所有可能的取值组成的 集合为 A. 1 1, 2 B. 1 1, 2 C. 1 1,0, 2 D. 1 0,1, 2 2.若1izi （其中i是虚数单位） ，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3已知函数( )(22 )ln| xx f xx 的图象大致为 4. 九章算术 衰分 中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十， 丙持钱一
3、百八十， 凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱 350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例 交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是 A.甲付的税钱最多 B.乙、丙两人付的税钱超过甲 C.乙应出的税钱约为32 D.丙付的税钱最少 5. 若 2 sin 75 3 ，则 cos 302 A. 5 9 B. 4 9 C. 5 9 D. 4 9 6.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读 第 2 页 共 12 页 了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说
4、：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”； 丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7.若a，b，c，满足2 3 a ， 2 log 5b ，3 2 c ，则 A. cab B. bca C. abc D. cba 8.已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，圆 222 xyb与双曲线 在第一象限内的交点为M，若 12 | 3|MFMF，则双曲线的离心率为 A.3 B.2 C. 3 D.2 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小
5、题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9.下表是某电器销售公司 2019 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% 0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中正确的是 A. 该公司 2019 年度冰箱类电器营销亏损 B. 该公司 2019 年度小家电类电器营业收入和净利润相同
6、C. 该公司 2019 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2019 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 10.已知函数 sin , 4 ( ) cos , 4 xx f x xx ，则下列结论正确的是 A. ( )f x不是周期函数 B. ( )f x奇函数 C. ( )f x的图象关于直线 4 x 对称 D. ( )f x在 5 2 x 处取得最大值 11.设 A,B 是抛物线 2 yx上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是 第 3 页 共 12 页 A. 若OAOB，则| | 2OA OB B. 若OAOB，直线 AB 过定点(1,0) C.
7、若OAOB， O到直线 AB 的距离不大于 1 D. 若直线 AB 过抛物线的焦点 F，且 1 | 3 AF ，则| 1BF 12.如图， 矩形中， 为的中点， 将沿直线 翻折成， 连结， 为 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是 A.存在某个位置，使得； B.翻折过程中，的长是定值； C.若，则 ； D.若，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积是. 第卷（非选择题 共 90 分） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.已知两个单位向量 , a b r r 的夹角为30， (1)cmam b rrr ， 0b c
8、 r r ，则m_ 14.已知曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b）的一条渐近线经过点( 2, 6)，则该双曲线的 离心率为 . 15若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_ 16. 已知函数 2 2 , , x xa f x xxa ， 若1a ，则不等式 2f x 的解集为_； 若存在实数b，使函数 g xf xb有两个零点，则a的取值范围是_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （10 分） 在 222 316 3cSba；
9、5 cos45bCca， 这两个条件中任选一个， 补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 在ABCV中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,设ABCV的面积为S,已 知 . 第 4 页 共 12 页 (1)求tanB的值; (2)若42,10Sa,求b的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. （12 分） 已知在四棱锥PABCD中，/ADBC， 1 2 ABBCCDAD，G是PB 的中点，PAD是等边三角形，平面PAD 平面ABCD. （）求证：CD 平面GAC； （）求二面角PAG C的余弦值. 19.（12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S
10、，且 1 2 nn Saa * nN，数列 n b满足 1 6b ， 1 4 nn n bS a * nN. （I）求数列 n a的通项公式； （）记数列 1 n b 的前n项和为 n T，证明： 1 2 n T . 20 （ （12 分）分）某销售公司在当地A、B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次 性购进一种食品，每件 200 元，统一零售价每件 300 元，两家超市之间调配食品不计费用， 若进货不足食品厂以每件 250 元补货，若销售有剩余食品厂以每件 150 回收.现需决策每日 购进食品数量，为此搜集并整理了A、B两家超市往年同期各 50 天的该食品销售记录，得 到如下数据：
11、 销售件数 8 9 10 11 频数 20 40 20 20 以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市每日共销售 食品件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数. （1）求X的分布列； （2）以销售食品利润的期望为决策依据，在19n与n20之中选其一，应选哪个？ 第 5 页 共 12 页 21. （12 分）已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，椭圆C截直线1y 所 得的线段的长度为2 2. （）求椭圆C的方程； （）设直线l与椭圆C交于,A B两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若 OAOBOD uuruuruuu r ，判定
12、四边形OADB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是， 请说明理由. 22.（12 分）已知函数 2 ( )2ln ()f xxaxx aR. （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）若 ( )f x有两个极值点 1212 ,x xxx ，当 2 2ae e 时，求 21 f xf x的最大 值. 高三数学模拟题二参考答案高三数学模拟题二参考答案 一、CDBB ABAC 二、9.ACD 10.AC 11.ACD 12.BD 三、13. 4 2 3 14. 2 15. 8 16. (1). (,2 (2). (,2)(4,) 17.解: 17.解: (1)选择条件. 由題意得 222
13、8 3acsin Bacb.即 222 4sin3 2 acb B ac g 第 6 页 共 12 页 整理可得344 cosBsinBsin B，4 分 又 0sin B .所以 0cos B,所以 sin3 cos4 B tan B B .5 分 选择条件. 因为5 cos45bCca， 由正弦定理得，5sincos4sin5sinBCCA， 5sincos4sin5sin()BCCBC， 即sin(45cos )0CB，3 分 在ABCV中，sin0C ，所以 4 cos 5 B ， 2 3 sin1cos 5 BB,所以 3 tan 4 B .5 分 (2)由 3 4 tan B ，得
14、 3 5 sin B ,又42, 10Sa， 则 113 1042 225 Sacsin Bc,解得14c .7 分 将42, 10,14Sac代入 2222 6163 6cSca中， 得 2222 6 1416 4231410b， 解得6 2b.10 分 18.（）证明：取AD的中点为O，连结OP，OC，OB，设OB交AC于H，连结GH. 因为/ADBC， 1 2 ABBCCDAD， 四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形， OBAC，/OBCD ，CDAC，2 分 因为PADV为等边三角形，O为AD中点， POAD， 因为平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD. PO平面P
15、AD且POAD， PO平面ABCD，4 分 因为CD平面ABCD， POCD， 第 7 页 共 12 页 因为 H，G分别为OB， PB的中点， /GHPO， GHCD.5 分 又因为GHACH ， ,AC GH 平面GAC， CD平面GAC.6 分 （） 取BC的中点为E， 以O为空间坐标原点， 分别以 ,OE OD OP uuu r uuu r uur 的方向为x轴、y轴、 z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 设4AD，则0,0,2 3P，0, 2,0A，3,1,0C，0,2,0D， 31 , 3 22 G (0,2,2 3)AP uu u r ， 3 3 (, 3) 2
16、2 AG uuu r ，8 分 设平面PAG的一法向量 , ,nx y z . 由 0 0 n AP n AG r uuu r r uuu r 22 30 33 30 22 yz xyz 3yz xz .令1z ，则(1,3,1)n r . 由（）可知，平面AGC的一个法向量 (3,1,0)CD uuu r ，10 分 15 cos, 5 | n CD n CD n CD r uuu r r uuu r ruuu r 二面角P AG C的平面角的余弦值为 15 5 .12 分 19.解析： （I）由 1 2 nn Saa， 当2n时， 111 2 nn Saa ， 两式相减得 1 2 nn a
17、a ，3 分 因为 1 4 nn n bS a ， 第 8 页 共 12 页 所以 1 1 1 64a a ，解得 1 1a ，4 分 所以数列 n a是公比为 2， 1 1a 的等比数列， n a的通项公式为 1 2n n a .6 分 （）由 1 221 n nn Saa， 得 1 1 23 2 n n n b ，7 分 即 1 1 12 21 21 n nn n b 1 11 2121 nn ，9 分 所以 011211 111111 212121212121 n nn T 111 2212 n . 12 分 20.解： （1）由已知一家超市销售食品件数 8,9,10,11 的概率分别为
18、 1 2 1 1 5 5 5 5 ， . X取值为 16，17，18，19，20，21，22. 1 分 111 16 5525 P X ， 124 172 5525 P X ； 22116 182 555525 P X ； 12116 1922 555525 P X ； 11215 202 555525 P X ； 112 212 5525 P X 111 22 5525 P X ，5 分 所以X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 1 25 4 25 6 25 6 25 5 25 25 2 1 25 6 分 （2） 当19n时，记 1 Y为AB，销售该食品利润，则 1
19、 Y的分布列为 1 Y 1450 1600 1750 1900 1950 2000 2050 第 9 页 共 12 页 P 1 25 4 25 6 25 6 25 5 25 25 2 1 25 1 1466521 1450160017501900195020002050 25252525252525 E Y1822. 9 分 当20n 时，记 2 Y为,A B销售该食品利润，则 2 Y的分布列为 2 Y 140 0 155 0 170 0 185 0 200 0 205 0 210 0 P 1 25 4 25 6 25 6 25 5 25 25 2 1 25 2 1466521 1400155
20、017001850200020502100 25252525252525 E Y1804. 因为 12 E YE Y ，故应选19n. 12 分 21. 解：()由 22 222 2 2 21 1 c a ab abc ,解得2,2abc 3 分 得椭圆C的方程为 22 1 42 xy . 4 分 （）当直线l的斜率不存在时，直线AB的方程为1x或1x ， 此时四边形OADB的面积为65 分 当直线l的斜率存在时，设直线l方程是ykxm，联立椭圆方程 22 1 42 ykxm xy 222 124240kxkmxm 22 8 420km ， 2 1212 22 424 , 1 21 2 kmm
21、 xxx x kk , 7 分 1212 2 2 2 12 m yyk xxm k 第 10 页 共 12 页 22 2 2 2 2 42 1 1 2 km ABk k , 点O到直线AB的距离是 2 1 m d k 9 分 由OA OBOD uuruuruuu r 得， 22 42 , 1212 DD kmm xy kk ， 因为点D在曲线C上，所以有 22 22 42 1 21 2 1 42 kmm kk ， 整理得 22 122km，11 分 由题意四边形OADB为平行四边形，所以四边形OADB的面积为 22 22 2 22 2 2 2422 2 42 1 1 21 2 1 OADB m
22、mkmkm SAB dk kk k 由 22 122km得6 OADB S, 故四边形OADB的面积是定值，其定值为6 12 分 22.解： （1）由 2 ( )2lnf xxaxx得 2 ( )2fxxa x ； 因为0x，所以 2 24x x ； 因此，当4a时， 2 ( )20fxxa x 在(0,)上恒成立，所以 ( )f x在(0,)上单 调递增；2 分 当4a时，由 2 ( )20fxxa x 得 2 220xax，解得 2 16 4 aa x 或 2 16 0 4 aa x ；由 2 ( )20fxxa x 得 22 1616 44 aaaa x ； 所以 ( )f x在 2 1
23、6 0, 4 aa ， 2 16 , 4 aa 上单调递增；在 22 1616 , 44 aaaa 上单调递减；4 分 综上，当4a时， ( )f x在(0,)上单调递增； 第 11 页 共 12 页 当4a时， ( )f x在 2 16 0, 4 aa ， 2 16 , 4 aa 上单调递增；在 22 1616 , 44 aaaa 上单调递减. 5 分 （2）若 ( )f x有两个极值点 1212 ,x xxx ， 由（1）可得， 12 ,x x是方程 2 220xax的两不等实根， 所以 12 2 a xx， 12 1x x ，6 分 因此 22 21222111 (2ln)(2ln)f
24、xf xxaxxxaxx 222222 2112121222 22 211 2 1 2()()2ln2ln2ln xx xxxxxxxxxx xxx ，7 分 令 2 2 tx，则 22 222 2 2 1 11 ()()2ln2lnf xf xttxx xt ； 由（1）可知 2 2 16 4 aa x ， 当 2 2ae e 时， 2 2 24 24 4 6 16 4 81e xe e aa e e ， 所以 2 2 , etx ，10 分 令 1 ( )2lng ttt t ，,te， 则 22 222 1221(1) ( )10 ttt g t tttt 在,te上恒成立； 所以 1 ( )2lng ttt t 在,te上单调递减， 故 max 1 ( )( )2g tg ee e . 即 21 f xf x的最大值为 1 2e e .12 分 第 12 页 共 12 页
