1、等差数列的前n项和 顺德梁銶琚职业技术学校 黄贺明 泰姬陵泰姬陵 新课讲授 传说泰姬陵陵寝中有一个三角形图案， 以相同大小的圆形宝石镶饰而成，共有100 层（如下图）。怎样计算这个图案一共用了 多少颗宝石？ 1+2+3+98+99+100=？ 求等差数列的前100项的和 新课讲授 问题1: 1+2+3+1+2+3+98+99+100=+98+99+100=？ 高斯高斯(17771855） 德国著名数学家。德国著名数学家。 高斯10岁时曾很快算出，他是如何算的呢？ 新课讲授 1 2 3 98 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组. 高斯的算法高斯的算法 1+100
2、=101 2+ 99 =101 3+ 98 =101 50+51=101 50组 (1 100) 100 5050 2 +? = 100 S 新课讲授 问题2：某工厂的仓库里堆放一批钢管，共堆 放了 7 层，从上到下每层钢管的数为 4，5， 6，7，8，9，10 ，怎样求得钢管的总数呢？ 如果钢管很多，能丌能按高斯的分组斱法进 行计算？ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 新课讲授 4 5 10 9 4 10 用S7表示钢管数，上面的斱法用数学式子表 示就是： S 7= 4 + 5 + 6 + + 10 S7= 10 + 9 + 8 + + 4 2S7= 14 + 14 +
3、14 + + 14 7 2(4 10) 7S =+? 7 (4 10) 7 2 S +? =即 新课讲授 以上两个问题，实质 上是等差数列的求和. 问题1：S100= 问题2：S7=4+5+6+7+8+9+10 我们如何将解决问题2 的斱法推广到任意一个 等差数列呢？ 新课讲授 . 11 aa= 31 2aad=+ 21 (3) n aand - =+- 11 (2) n aand - =+- 1 (1) n aand=+- 12 (3) n ndaa - -+= 13 2daa+= 1 (1) n ndaa-+= 21 aad=+ 11 (2) n ndaa - -+= . 12 daa+=
4、 11 aa= 11 aa+ 31 aa+ 21n aa - + 11n aa - + 1n aa+ 21 aa+ 12 2(3) n dndaa - +-+ 13 (3)2nddaa-+ 1 (1) n ndaa-+ 11 (2) n dndaa - +-+ 12 (2)nddaa-+ 11 (1)ndaa-+ 1 (1) n anda+- 11 (1) n anda - +- 12 (1) n anda - +- 13 (1)anda+- 12 (1)anda+- 11 (1)anda+- 等差数列 an 的前 n 项和记作 Sn ，即 Sn = a1 + a2 + a3 + + an S
5、n = an + an-1 + an-2 + + a1 1111 2 nnnnn Saaaaaaaa 共n个 新课讲授 共n个 1 () 2 n n n aa S 即 等差数列 an 的前 n 项和记作 Sn ，即 Sn = a1 + a2 + a3 + + an Sn = a1 + a2 + a3 + + an Sn = an + an-1 + an-2 + + a1 2Sn = ( a1 +an ) + ( a1 +an ) + ( a1 +an ) + + ( a1 +an ) + 1 2() nn Sn aa 倒序相加法倒序相加法 新课讲授 等差数列的前等差数列的前 n 项和公式项和公
6、式 一般地，数列一般地，数列 an 的前的前 n 项和记作项和记作 Sn ， 即即 Sn = a1 + a2 + a3 + + an 1 () 2 n n n aa S 等差数列的前等差数列的前 n 项和公式项和公式 an = a1+(n1)d 1 () 2 n n n aa S 1 (1) 2 n n nd Sna 新课讲授 an = a1+(n1)d 等差数列的前n 项和公式 1 () 2 n n n aa S 1 (1) 2 n n nd Sna () 2 S +? = 梯形 上底 下底高 类比记忆 上述两条公式的相同 点？不同点？有何联 系？如何记忆呢？ 新课讲授 例1：已知等差数列
7、an 中，a18，a20106， 求 S20 解：由已知条件得 20 208 106 980 2 ?+ = （） S 新课讲授 例2、在等差数列13， 9，5，1，3， 中， 前多少项的和是50？ 解 这里 a1=13，d =9(13)=4，Sn =50 根据等差数列的前 n 项和公式得 整理得 2n2 15n 50= 0， 解得： 所以 n = 10 即这个数列的前 10 项的和是 50 (1) 50134 2 n n n - =-+? 12 5 10, 2 nn=- （舍去） 新课讲授 课堂练习：教材P10 练习6.2.3 1、2、3 数学学习不训练 训练题6.2.3 A组 1、2 新课讲授 小结不作业： 1() 2 n n n aa S （1）一种斱法：倒序相加法 （2）两条公式： （3）知三求二，斱程思想 1 (1) 2 n n n Snad 作业：必做题 P11 习题 6.2 A组 6、7、8 选做题 P11 习题 6.2 B组 1 课后小结 谢谢！ 讲课结束
