1、第1课时等差数列、等比数列考向一等差数列、等比数列的基本量计算考向一等差数列、等比数列的基本量计算(保分题型考点保分题型考点)【题组通关题组通关】1.(20191.(2019北京高考北京高考)设等差数列设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,若若a a2 2=-3,S=-3,S5 5=-10,=-10,则则a a5 5=_=_,S,Sn n的最小值为的最小值为_.【解析解析】设公差为设公差为d,ad,a2 2=a=a1 1+d=-3,S+d=-3,S5 5=5a=5a1 1+d=-10,+d=-10,即即a a1 1+2d=-2,+2d=-2,解得解得a a1 1=-4,
2、d=1,=-4,d=1,所以所以a a5 5=a=a1 1+4d=0,+4d=0,S Sn n=na=na1 1+,+,当当n=4n=4或或5 5时时,S,Sn n最小最小,为为-10.-10.答案答案:0 0-10-105 422nn1n9nd22（）2.(20192.(2019全国卷全国卷)记记S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项和项和,a a1 10,a0,a2 2=3a=3a1 1,则则 =_=_.105SS【解析解析】设该等差数列的公差为设该等差数列的公差为d,d,因为因为a a2 2=3a=3a1 1,所以所以a a1 1+d=3a+d=3a1 1,故故d=
3、2ad=2a1 1(a(a1 10,d0),0,d0),所以所以 答案答案:4 4110101155110 aaS22a9d2 10d24.5aaS2a4d5d2（）（）（）3.(20193.(2019重庆二模重庆二模)已知数列已知数列aan n,a,an n0,0,它的前它的前n n项项和为和为S Sn n,且且2a2a2 2是是4a4a1 1与与a a3 3的等差中项的等差中项.若若aan n 为等比数为等比数列列,a,a1 1=1,=1,则则S S7 7=_=_.【解析解析】设数列设数列aan n 的公比为的公比为q,q,依题意有依题意有a a1 1=1,4a=1,4a2 2=4a=4a
4、1 1+a+a3 3,即即4q=4+q4q=4+q2 2,故故q=2,q=2,则则S S7 7=127.=127.答案答案:12712771 21 2【题型建模题型建模】1.1.求等差、等比数列的基本量求等差、等比数列的基本量:利用等差、等比利用等差、等比数列通项公式及前数列通项公式及前n n项和公式求基本量项和公式求基本量2.2.求比值求比值:根据前根据前n n项和公式求出比值项和公式求出比值.3.3.等差中项及等比数列前等差中项及等比数列前n n项和的综合应用项和的综合应用【拓展提升拓展提升】1.1.两组重要公式两组重要公式(1)(1)等差数列等差数列:S Sn n=na=na1 1+d;
5、d;a am m=a=an n+(m-n)d;+(m-n)d;若第若第m,n,pm,n,p项成等差数列项成等差数列,则则2a2an n=a=am m+a+ap p.1nnaa2（）nn12（）(2)(2)等比数列等比数列:S Sn n=(q1);(q1);a am m=a=an nqqm-nm-n;若第若第m,n,pm,n,p项成等比数列项成等比数列,则则 =a=am maap p.n11na 1 qaa q1 q1 q（）2na2.2.等差等差(比比)数列的运算技巧数列的运算技巧:在进行等差在进行等差(比比)数列项数列项与和的运算时与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显若条件和结论间的联系
6、不明显,则均可则均可化成关于化成关于a a1 1和和d(q)d(q)的方程组求解的方程组求解;要注意消元法及整要注意消元法及整体计算体计算,以减少计算量以减少计算量.考向二等差数列、等比数列的性质考向二等差数列、等比数列的性质 (保分题型考点保分题型考点)【题组通关题组通关】1.(20181.(2018全国卷全国卷I)I)记记S Sn n为等差数列为等差数列 a an n 的前的前n n项和项和.若若3S3S3 3=S=S2 2+S+S4 4,a,a1 1=2,=2,则则a a5 5=()A.-12A.-12B.-10B.-10C.10C.10D.12D.12【解析解析】选选B.3 =2aB.
7、3 =2a1 1+d+4a+d+4a1 1+d d9a9a1 1+9d=6a+9d=6a1 1+7d+7d3a3a1 1+2d=0+2d=06+2d=06+2d=0d=-3,d=-3,所以所以a a5 5=a=a1 1+4d=2+4+4d=2+4(-3)=-10.(-3)=-10.13 2(3ad)24 32 2.(20192.(2019银川一模银川一模)已知各项不为已知各项不为0 0的等差数列的等差数列aan n 满足满足2a2a2 2-+2a+2a1212=0,=0,数列数列bbn n 是等比数列是等比数列,且且b b7 7=a=a7 7,则则b b3 3b b1111等于等于()A.16
8、A.16B.8B.8C.4C.4D.2D.227a【解析解析】选选A.A.由等差数列性质得由等差数列性质得a a2 2+a+a1212=2a=2a7 7,所以所以4a4a7 7-=0,-=0,又又a a7 70,0,所以所以a a7 7=4,b=4,b7 7=4,=4,由等比数列性质由等比数列性质得得b b3 3b b1111=16.=16.27a27b3.3.已知数列已知数列aan n 是等比数列是等比数列,数列数列bbn n 是等差数列是等差数列,若若a a1 1aa6 6aa1111=3=3 ,b,b1 1+b+b6 6+b+b1111=7,=7,则则tantan 的值是的值是()339
9、48bb1 aag22A.1B.C.D.322【解析解析】选选D.aD.an n 是等比数列是等比数列,b,bn n 是等差数列是等差数列,且且a a1 1a a6 6a a1111=3 ,b=3 ,b1 1+b+b6 6+b+b1111=7,=7,所以所以 =()=()3 3,3b,3b6 6=7,=7,所以所以a a6 6=,b=,b6 6=,=,336a3373所以所以 3962486bb2btantan1 aa1 ag27273tantan()313tan(2)tan3.33 （）4.(20194.(2019西安一模西安一模)各项均为正数的等比数列各项均为正数的等比数列aan n 的前
10、的前n n项和为项和为S Sn n,若若S Sn n=2,S=2,S3n3n=14,=14,则则S S4n4n等于等于()A.80A.80B.30B.30C.26C.26D.16D.16【解析解析】选选B.B.由等比数列性质知由等比数列性质知S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n,S S4n4n-S-S3n3n,仍为等比数列仍为等比数列,设设S S2n2n=x,=x,则则2,x-2,14-x2,x-2,14-x成等成等比数列比数列.由由(x-2)(x-2)2 2=2=2(14-x),(14-x),解得解得x=6x=6或或x=-4(x=-4(舍去舍去).).所
11、以所以S S2n2n=6,S=6,Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n,S,S4n4n-S-S3n3n,是首项为是首项为2,2,公比为公比为2 2的等比数列的等比数列.又因为又因为S S3n3n=14,=14,所以所以S S4n4n=30.=30.5.5.若等差数列若等差数列aan n 满足满足a a7 7+a+a8 8+a+a9 90,a0,a7 7+a+a10100,0,0,所以所以a a8 80.0.又又a a7 7+a+a1010=a=a8 8+a+a9 90,0,所以所以a a9 90.0.所以当所以当n=8n=8时时,其前其前n n项和最大项和最大
12、.答案答案:8 86.6.已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,且且S S1010=10,S=10,S2020=30,=30,则则S S3030=_=_.【解析解析】因为因为S S1010,S,S2020-S-S1010,S,S3030-S-S2020成等差数列成等差数列,且且S S1010=10,S=10,S2020=30,=30,所以所以S S2020-S-S1010=20,=20,所以所以S S3030-30=10+230=10+210=30,10=30,所以所以S S3030=60.=60.答案答案:6060【题型建模题型建模】【拓展提升拓展提升】
13、等差数列、等比数列常用性质等差数列、等比数列常用性质等差数列等差数列等比数列等比数列性性质质(1)(1)若若m,n,p,qNm,n,p,qN*,且且m+n=p+q,m+n=p+q,则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q.(2)a(2)an n=a=am m+(n-m)d.+(n-m)d.(3)S(3)Sm m,S,S2m2m-S-Sm m,S,S3m3m-S-S2m2m,仍成等仍成等差数列差数列.(4)(4)前前2n-12n-1项和项和S S2n-12n-1=(2n-1)a=(2n-1)an n.(1)(1)若若m,n,p,qNm,n,p,qN*,且且m+n=p+q,m+n
14、=p+q,则则a am maan n=a=ap paaq q;(2)a(2)an n=a=am mq qn-mn-m;(3)S(3)Sm m,S,S2m2m-S-Sm m,S,S3m3m-S S2m2m,仍成等比数列仍成等比数列(S(Sm m0).0).考向三等差、等比数列与其他知识的综合考向三等差、等比数列与其他知识的综合(压轴题型考点压轴题型考点)【典例典例】1.(20191.(2019杭州模拟杭州模拟)已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,若若 =a=a1 1 +a +a2 0202 020 ,且且A,B,CA,B,C三点共线三点共线(该直线不过点该
15、直线不过点O),O),则则S S2 0202 020等于等于()A.1 009A.1 009B.1 010B.1 010C.2 019C.2 019D.2 020D.2 020OBuurOAuuu rOCuuu r【解析解析】选选B.B.因为因为A,B,CA,B,C三点共线三点共线,所以所以a a1 1+a+a2 0202 020=1,=1,所以所以S S2 0202 020=1 010.=1 010.12 0202 020 aa2（）2.2.在由正数组成的等比数列在由正数组成的等比数列aan n 中中,若若a a3 3a a4 4a a5 5=,则则sinsin(log(log3 3a a1
16、 1+log+log3 3a a2 2+log+log3 3a a7 7)的值为的值为()3133A.B.C.1D.222【解析解析】选选B.B.因为因为a a3 3a a4 4a a5 5=3=3=,=,所以所以a a4 4=,=,即即loglog3 3a a1 1+log+log3 3a a2 2+log+log3 3a a7 7=log=log3 3(a(a1 1a a2 2a a7 7)=log=log3 3 =7log =7log3 3 =,=,所以所以sin(logsin(log3 3a a1 1+log+log3 3a a2 2+log+log3 3a a7 7)=.)=.323
17、4a333374a733.3.已知数列已知数列aan n 满足满足nanan+2n+2-(n+2)a-(n+2)an n=(n=(n2 2+2n)+2n),其中其中a a1 1=1,a=1,a2 2=2,=2,若若a an naan+1n+1对对nNnN*恒成立恒成立,则实数则实数的取的取值范围为值范围为_.【解析解析】由由nanan+2n+2-(n+2)a-(n+2)an n=(n(n2 2+2n),+2n),得得 所以数列所以数列 的奇数项和偶数项都是首项为的奇数项和偶数项都是首项为1,1,且公且公差为差为的等差数列的等差数列.因为因为a a1 1=1,a=1,a2 2=2,=2,所以当所
18、以当n n为奇数时为奇数时,所以所以a an n=+n;=+n;n 2naan2n，nannan1n11(1)1,n22 2nn2当当n n为偶数时为偶数时,所以所以a an n=+n.=+n.当当n n为奇数时为奇数时,由由a an naan+1n+1,得得 +n +n+1,+n-2,(n-1)-2,若若n=1,n=1,则则R.R.若若n1,n1,则则-,-,所以所以0.0.nann21(1)1n22 ，2n2n22nn22n12n12（）（）2n1当当n n为偶数时为偶数时,由由a an naan+1n+1,得得 +n +n-2,-2,所以所以-即即0.0.综上综上,的取值范围为的取值范围
19、为0,+).0,+).答案答案:0,+)0,+)2n2n22n1n12（）（）23n，【题型建模题型建模】题目题目题眼题眼思维导引思维导引1.1.向量三点共线的条件向量三点共线的条件,想到向量等式的系想到向量等式的系数和为数和为1.1.2.2.由连续三项的积由连续三项的积,想到用等比中项求想到用等比中项求a a4 4同底对数和同底对数和,想到对数运算性质想到对数运算性质3.3.方程左右两端的特点想到两端同除以方程左右两端的特点想到两端同除以n(n+2)n(n+2)相邻两项的大小关系相邻两项的大小关系,想到分离参数想到分离参数【拓展提升拓展提升】数列与其他知识的交汇问题的处理思路数列与其他知识的
20、交汇问题的处理思路:(1)(1)以数列知识为纽带以数列知识为纽带,在与函数、方程、向量不等式在与函数、方程、向量不等式的交汇处命题的交汇处命题,利用函数观点、方程思想、向量的性质、利用函数观点、方程思想、向量的性质、不等式的性质等不等式的性质等,作为解题口解决问题作为解题口解决问题.(2)(2)数列的项或前数列的项或前n n项和可以看作关于项和可以看作关于n n的函数的函数,然后利然后利用函数的性质求解数列问题用函数的性质求解数列问题.(3)(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数数列中的恒成立问题可以通过分离参数,通过求数通过求数列的值域求解列的值域求解.【变式训练变式训练】1.1.已知数列
21、已知数列aan n 满足满足 (nN(nN*),),则则a a1010=()A.eA.e3030B.B.C.C.D.eD.e4040312nln aln aln aln a3n3693n2ggg g1003e1103e【解析解析】选选B.B.因为因为 所以当所以当n2n2时时,所以所以ln aln an n=,n2,=,n2,所以所以a an n=,=,所以所以a a1010=312nln aln aln aln a3nnN*3693n2ggg g（），312n1ln aln aln aln a3n 13693n 12ggg g（），（）23nn 123nn1e1003e.2.2.若等比数列若
22、等比数列aan n 的各项均为正数的各项均为正数,且且a a1010a a1111+a+a9 9a a1212=2e=2e5 5,则则ln aln a1 1+ln a+ln a2 2+ln a+ln a2020=_=_.【解析解析】因为因为a a1010a a1111+a+a9 9a a1212=2a=2a1010a a1111=2e=2e5 5,所以所以a a1010a a1111=e=e5 5.所以所以ln aln a1 1+ln a+ln a2 2+ln a+ln a2020=ln(a=ln(a1 1a a2 2a a2020)=ln(a=ln(a1 1a a2020)(a(a2 2a
23、a1919)(a(a1010a a1111)=ln(a)=ln(a1010a a1111)1010=10ln(a=10ln(a1010a a1111)=10ln e)=10ln e5 5=50ln e=50.=50ln e=50.答案答案:50503.3.等比数列等比数列aan n 的首项为的首项为2,2,公比为公比为3,3,前前n n项和为项和为S Sn n.若若loglog3 3 =9,=9,则则 取最小值时取最小值时,S S2 2=_=_.n4m1 aS1 2（）14nm【解析解析】由题意可得由题意可得a an n=2=23 3n-1n-1,S,Sn n=3=3n n-1,-1,所以所以loglog3 3 =log =log3 33 3n+4m-1n+4m-1=n+4m-1=9,=n+4m-1=9,所以所以n+4m=10,n+4m=10,所以所以 当且仅当当且仅当m=nm=n时取等号时取等号,所以所以n=2,n=2,所以所以a a2 2=2=23=6,3=6,所以所以S S2 2=2+6=8.=2+6=8.答案答案:8 8n21 31 3（）n4m1 aS1 2（）1414n2m172n2m()()nmnm105105m5n1722552105102，
