1、第十一章 微分方程1。微分方程的基本概念，求该曲线方程。且曲线通过点，为处的切线的斜率。在一曲线上任意点例)4,1(2),(1xyxP行驶了多少米？开始到列车完全停止共，问从列车制动秒米度当列车制动时获得加速的速度行驶，秒米上以。设一列车在平直线路例2/4.0/202定义1：含有自变量、函数及函数的各阶导数的方程 称为微分方程0),()(nyyyyxF其中导数的最高阶 n 称为微分方程的阶。满足微分方程的函数称为微分方程的解。含有任意常数且任意常数的个数等于微分方程的阶数的解称为微分方程的通解。确定了任意常数的解称为微分方程的特解。确定任意常数的条件称为微分方程的初始条件。定义2：如果微分方程
2、中函数及函数的各阶导数都是一次的，则称微分方程为线性微分方程。2。一阶微分方程一阶微分方程的一般形式0),(yyxF我们主要讨论的一阶微分方程为),(yxfy 的几种特殊类型。1。可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程具有如下形式)()(ygxfdxdy0)()()()(dyySxRdxyQxP或cdxxfdyyg)()(1两边积分可得通解cxFyG)()(或22)1(1xyy。求解微分方程例的特解。满足条件。求微分方程例20)2(212xydyxxydx。求该商品的需求函数，万件时当件商品的最大需求为一万已知该，性。某商品的需求价格弹例)()10(232pQQppp位置。，试求小艇到达对岸
3、的为乘积成正比，比例系数两岸的距离的，水流速度与其位置到两岸间距离为朝河对岸方向驶去，速度。一小艇以指向正北的例klv04oxylM(x,y)为可分离变量方程即由题意知：解：设)()(,)()()(),(00ylkyvdxdyvtyylkytxtyytxx2。齐次微分方程的方程称为齐次方程。形如)(xydxdy分离变量的微分方程。则齐次方程可以化为可且则令dxduxudxdyxuyxyuxyxeyyx。求解微分方程例50)tan(6dyyxyxydx。求解微分方程例xdxuuduuudxdux)()(或的运动路线。犬求初始位置在东面的猎向其左上侧的猎犬，试追，每头犬均以同样速度的东南西北处开始
4、追逐分别在距训犬人距离为。田野上有四头猎犬例a7NoP(x,y)Q(x,y)yxaayxxyNPQNdxdyyxPxyyatan),()()0,(处有在曲线上点，于是曲线为，设其运动位置在解：设东边的猎犬初始2)(9yxdxdy。求解微分方程例的解。求该方程满足条件所满足的微分方程，并，试求体积为的轴旋转一周所成旋转体成的平面图形绕轴所围与，直线上连续，由曲线在设函数。例92)()1()(3)()1(1)(),1)(822xyxfyftfttVxxttxxxfyxfy3。一阶线性微分方程分方程。的方程称为一阶线性微形如)()(xQyxpy方程。程是可分离变量的微分微分方程，这个微分方称为齐次线
5、性时，微分方程当0)(0)(yxpyxQdxxpceydxxpydy)()(两边积分得变形非齐次线性微分方程。又称为时，微分方程当)()(0)(xQyxpyxQ)()()()()(cdxexQeyxQyxpydxxpdxxp的通解为：一阶线性微分方程xxyxysin110。求解微分方程例0)ln(ln11dxxyxdyx。求解微分方程例26212yxydxdy。求解微分方程例0)(13243dxxydyxy。求解微分方程例。的方程称为贝努利方程形如)1,0()()(nyxQyxpyn)()1()()1(1xQnzxpndxdzyzn贝努利方程可化为作变量代换0)ln(142dyyxxydx。求
6、解微分方程例2)(15 yexy。求解微分方程例4。全微分方程cyxudyyxQdxyxPdyyxQdxyxPduyxuudyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(0),(),(),(),(),(),(),(0),(),(其通解为为全微分方程，微分方程，则称，即的全微分恰是某个函数的左边如果微分方程。的充要条件是是全微分方程则微分方程时，上具有一阶连续偏导数在、当yPxQdyyxQdxyxPDyxQyxP0),(),(),(),(02)1(162dyyedxeyxx。求解微分方程例0)2(2172dyxydxxy。求解微分方程例称为积分因子。是全微分方程。则使得方程，而存在函数不是全微分如
7、果微分方程),(0),(0),(),(yxQdyPdxyxdyyxQdxyxP0)2()2(182222dyyxxdxyyx。求解微分方程例3。某些可降阶的高阶微分方程型、)(1xfy 的特解。满足初始条件。求微分方程例2,36100 xxxyyxey0),(yyyxF式二阶微分方程的一般形我们主要讨论的二阶微分方程为),(yyxfy 的几种特殊类型。xxexyy。求解微分方程例2的特解。满足初始条件。求微分方程例3,12)1(3002 xxyyyxyx的通解。求微分方程例xyyyx ln4),(pxfdxdppxdxdpypyy 的一阶微分方程、变量二阶微分方程降为关于，则，令含这类微分方程
8、的右端不型、),(2yxfy 型、),(3yyfy),(pyfdydpppydydppdxdydydpdxdpypyx 的一阶微分方程、降为关于变量，二阶微分方程则，令含这类微分方程的右端不的通解。求微分方程例0252 yyy的特解。满足初始条件。求微分方程例3,101)(6002 xxyyyyy的方程。求此曲线，并设积记为为曲边的曲边梯形的面上以，区间为围成的三角形的面积记轴所与轴的垂线，上述两直线曲线的切线及作该上任意一点过曲线二阶可导，且。设函数例)(12)(,0),()(1)0(,0)()0()(72121xyySSSxyyxSxxyxPxyyyxyxxy4。线性微分方程的解的结构1。
9、二阶齐次线性微分方程解的结构的解。也为微分方程的解，则均为齐次线性微分方程、设定理0)()(0)()(.1221121 yxqyxpyycycYyxqyxpyyy。二阶齐次线性微分方程的微分方程称为形如0)()(yxqyxpy齐次线性微分方程具有解的叠加性无关。反之称两个函数为线性线性相关，和则称两个函数即之比为一个常数，、定义：如果两个函数)()()()()()(212121xyxykxyxyxyxy的通解。为微分方程则的两个线性无关的解，为微分方程、设定理0)()(0)()(.2221121 yxqyxpyycycYyxqyxpyyy的通解。求微分方程例01 yy的通解。求微分方程例02
10、yy另一个线性无关的解。为微分方程则的一个解，为微分方程设定理0)()()(0)()(.321)(121 yxqyxpydxxyeyyyxqyxpyydxxp这又称为刘维尔公式的通解。求微分方程例0)1()1(32 yyxyx的通解。求微分方程例02)1()1(4 yyxyx2。二阶非齐次线性微分方程解的结构程。二阶非齐次线性微分方的微分方程称为形如)()()(xfyxqyxpy 解。是非齐次微分方程的通的通解，则程为对应齐次线性微分方而的一个特解，为非齐次线性微分方程设。定理*2211*0)()()()()(4yYyyxqyxpyycycYxfyxqyxpyy 解。是非齐次微分方程的特的通解
11、，则程为对应齐次线性微分方设。定理2211*2211)()(0)()(5yxvyxvyyxqyxpyycycY 21211221 )()()(;)()()(yyyydxxfxyxvdxxfxyxv其中这种方法称为常数变易法的通解。求微分方程例xyytan5 的一个特解。是非齐次微分方程则的一个特解为非齐次线性微分方程而的一个特解，为非齐次线性微分方程设。定理)()()()(,)()()()()()(621*2*1*2*21*1xfxfyxqyxpyyyyxfyxqyxpyyxfyxqyxpyy 的一个特解。求微分方程例xexyy236 二阶线性微分方程解的结构的理论可以推广到 n 阶线性微分方
12、程。)()()()(1)1(1)(xfyxpyxpyxpynnnn的通解。为微分方程个线性无关的解，则的为微分方程设定理0)()()(0)()()()(,),(,)(.71)1(1)(22111)1(1)(21yxpyxpyxpyycycycYnyxpyxpyxpyxyxyxynnnnnnnnnnn通解。的为微分方程的通解。为微分方程一个特解，的为微分方程设定理)()()()(*0)()()()()()()(*.81)1(1)(1)1(1)(22111)1(1)(xfyxpyxpyxpyyYyyxpyxpyxpyycycycYxfyxpyxpyxpyynnnnnnnnnnnnnn5。常系数线性
13、微分方程。常系数线性微分方程1。二阶常系数齐次线性微分方程为常数其中分方程二阶常系数齐次线性微qpqyypy,)1(0 称为特征根。这方程的两个根程。称为微分方程的特征方212,)2(0 rrqprr 特征方程的根 微分方程的通解相异实根相同实根共轭复根02qprr0 qyypy21rr xrxrecec2121i21rr xrexcc1)(21)sincos(21xcxcex061 1 yyy）（解。求下列微分方程的通例096)3(yyy022)4(yyy04)2(yy二阶常系数线性微分方程解的结论可以推广到 n 阶常系数线性微分方程。01)1(1)(ypypypynnnn 特征根的情况 通
14、解中包含函数 k重实根 r k重复根irxkkexcxcc)(121sin)(cos)(121121xxbxbbxxaxaaekkkkx2。二阶常系数非齐次线性微分方程为常数其中微分方程二阶常系数非齐次线性qpxfqyypy,)3()()()()1(xPexfnx)()(*xQexyxfqyypynxk 的特解形式为：微分方程002kqprr的根时不是特征方程当102kqprr的单根时是特征方程当202kqprr的重根时是特征方程当sincos)()2(xBxAexfxsincos)(*xbxaexyxfqyypyxk 的特解形式为：微分方程002kqprri的根时不是特征方程当102kqpr
15、ri的根时是特征方程当sin)(cos)()()3(xxQxxPexfmnxsin)(cos)()(*xxSxxRexyxfqyypyllxk 的特解形式为：微分方程mnl,max其中002kqprri的根时不是特征方程当102kqprri的根时是特征方程当136)1(22 xyyy特解形式。写出下列微分方程的例xxeyyy26)2(xexyyy2)1(44)3(xxxeexyyy 326)4(xxeyyyxcos22)6(xyyy2sin222)5()sin3cos(54)7(2xxxeyyyx 的一个特解。求微分方程例xxeyyy323 的通解。求微分方程例xxyycos4 的通解。求微分方程例xeyyyxcos225 的通解。求微分方程例xxexeyyy2cos226 3。欧拉方程是实数。其中二阶欧拉方程的形式为qpxfyadxdyxadxydx,)(21222dtdydxdyxdtdyxdxdtdtdydxdyyext因此则设1dtdydtyddxydx22222)()1(2122tefyadtdyadtyd为因此二阶欧拉方程可化此即为二阶常系数线性微分方程的通解。求微分方程例072 yyxyx的通解。求微分方程例2238xyyxyx
