1、1 数 学（文科） 本试卷共 23 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1已知集合 1 2 3 4 5A ， ， 0 2 4 6B ， ，则集合AB的子集共有 2若复数 2i 1 i a z 的实部为0，其中a为实数，则| | z 3已知向量( 1, )OAk ，(1, 2)OB ，(2, 0)OCk ，且实数0k ,若A、B、C三点共线，则k 4意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子， 而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔
2、子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1， 2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 ), 3( 21 nnaaa nnn ，其中 1 1 a ， 1 2 a.若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这 个数是偶数的概率为 5设 2 3 . 0a ， 3 . 0 )2(b，2log 3 . 0 c，则下列正确的是 6如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）若这两组数 据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为 A2个B4个 C6个D8个 A2B 2 C1D 2 2 A0B1 C2D3
3、 A 3 1 B 100 33 C 2 1 D 100 67 AcbaBbcaCbacDcab 2 7若双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的焦距为2 5，且渐近线经过点(1, 2) ，则此双曲线的方程为 8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体 切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 9已知函数 ( )sin()(0) 3 f xAxb A的最大值、最小值分别为3和1，关于函数 ( )f x有如下四个结 论： 2A ，1b ； 函数 ( )f x的图象C关于直线 5 6 x 对称； 函数 ( )f x的图象C关于点 2 (,0) 3 对称； 函数
4、( )f x在区间 5 ( ,) 66 内是减函数 其中，正确的结论个数是 A2和6B4和6C2和7D4和7 A 2 2 1 4 x yB 2 2 1 4 y x C 22 1 416 xy D 22 1 164 xy A12B16 C24D32 3 10函数 2 ( )cosln(1)f xxxx 的图象大致为 11 已知直三棱柱 111 ABCABC ，90ABC， 1 2ABBCAA ， 1 BB和 11 BC的中点分别为E、F， 则AE与CF夹角的余弦值为 12 函数 ( )f x 是定义在(0, ) 上的可导函数， ( )fx 为其导函数， 若( )( )(1) x xfxf xx
5、e， 且(2)0f， 则 ( )0f x 的解集为 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若 1 sin() 43 ，则sin2_. 14在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若( )(sinsin)abAB ()sinacC ， A1B2 C3D4 A 3 5 B 2 5 C 4 5 D 15 5 A(0, 1)B(0, 2) C(1, 2)D(1, 4) x y 1 1 - A. x y 1 1 - D. x y 1 1 - C. x y 1 1 - B. 4 2b ，则ABC的外接圆面积为_. 15已知一圆柱内接于一个半径为3的球内，则该圆柱的最大体
6、积为_. 16. 设椭圆C: )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，其焦距为c2，O为坐标原点，点P满 足 aOP2,点A是椭圆C上的动点，且 211 3FFAFPA 恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是 _. 三 、 解答题： 共 70 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17 2 1 题为必考题， 每 个试题考生都必须作答 第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答 (一 ) 必考题：共 60 分 17（本小题满分 12 分） 已知数列 n a ， 1 4a ， 1 (1)4(1) nn nanan ()n N. （1）求
7、数列 n a 的通项公式； （2）若 1 1 n nn b aa ，求数列 n b 前n项和为 n T. 18（本小题满分 12 分） 某公司为了对某种商品进行合理定价， 需了解该商品的月销售量y（单位： 万件） 与月销售单价x（单 位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量 i y和月销售单价 i x(1,2,3,6)i 数据进行了统计分析， 得到一组检测数据如表所示： 月销售单价x（元/件）456789 月销售量y（万件）898382797467 （1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别 为：4105yx ，453yx和1043 xy ，
8、其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的请 结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由； （2） 若用cbxaxy 2 模型拟合y与x之间的关系， 可得回归方程为25.90875. 0375. 0 2 xxy， 经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数 2 R 分别为9702. 0和9524. 0，请用 2 R 说明哪个回 归模型的拟合效果更好； 5 （3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何 值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到01. 0） 参考数据：91.806547 . 19（本小题满分 12 分）
9、 如图，四边形ABCD为长方形，24ABBC，E、F分别为AB、CD的中点，将ADF沿AF折 到AD F的位置，将BCE沿CE折到BCE的位置，使得平面AD F底面AECF，平面B CE底面 AECF，连接B D . （1）求证：B D / /平面AECF； （2）求三棱锥 B AD F的体积. 20（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，过点 )0 , 2(F 的动圆恒与y轴相切,FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线 C. （1）求曲线C的方程； （2） 过点 )4 , 2(A 的任意直线l与曲线C交于点M,B为AM的中点， 过点B作x轴的平行线交曲线C 于点D,B关于点D的对称
10、点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由. 21（本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 ln11.fxxxaxa x 6 （1）当1a 时，判断函数的单调性； （2）讨论 fx零点的个数. （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果 多做，则按所做的第一题计分， 22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 ,sin ,cos32 ty tx （t为参数，为倾斜角），以坐标 原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为sin4 （1）求
11、 2 C的直角坐标方程； （2）直线 1 C与 2 C相交于FE, 两个不同的点，点P的极坐标为(2 3,)，若 PFPEEF2 ，求 直线 1 C的普通方程 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知, ,a b c为正数，且满足1.abc证明： （1） 111 9 abc ； （2） 8 . 27 acbcababc 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 1 页（共11页） 一、选择题 1. B 2. A 3. D 4. B 5. D 6. C 7. B 8. B 9. C 10. B 11. B 12. B 二、填空题： 13. 9 7 1
12、4. 3 4 15. 4 16. ， 5 1 4 . 12.【解析】设 =F xx f x( )( )，则=F x( ) +=xfxf xx ex( )( )(1)， 因此， x(0,1)，F x( )0，F x( )递增；+x(1,)，F x( )0，F x( )递减 因为当x0时， F(0)0，且有=F(2)0 所以由 =F xx f x( )( )图象可知，当x(0,2)时，=F xxf x( )( )0，此时f x( )0 16.解析：为使+PAAFFF3 112 恒成立，只需F F3 12 +PAAF() 1max， 由椭圆的定义可得，+= 12 2AFAFa， 所以+=+ 122
13、22PAAFPAAFaPFa， 当且仅当 2 ,P F A三点共线时取等号(F2 在线段PA上)， 又点P的轨迹是以O为圆心， 半径为2a的圆， 所以圆上点P到圆内点F2的最大距离为 半径与OF2的和，即 2 2+PFac， 所以 12 2PAAFPFa+224+ +=+acaac， 所以64+cac，54ca，e c a = 4 5 ， 又e1，所以C的离心率的取值范围为， 4 5 1 文科数学参考答案与评分标准 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 2 页（共11页） 三 、 解答题： 共 70 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17 2
14、1 题 为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答 (一 ) 必考题：共 60 分 17（本小题满分 12 分） 已知数列， 1 4a =， 1 (1)4(1) nn nanan + +=+()n N. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 1 n nn b aa + = ，求数列 n b前n项和为 n T 解：解：（1）由 1 (1)4(1) nn nanan + +=+()n N可得， 21 28aa=， 1 分 32 3212aa=， 43 4316aa=， ， 1 (1)4 nn nanan =，(2)n 2 分 累加得 1 8 12+
15、4 n naan= +， 3 分 所以 (4+4 ) =4+8 12+4 = 2 n n n nan+， 4 分 得=22(2) n ann+， 5 分 由于 1 4a =，所以=22() n ann +N 6 分 （2） 1 11111 () (22)(24)2 2224 n nn b aannnn + = + ，9 分 11111111 11 ()()()() 2466822242 424 n T nnn =+= + 816 n n = + 12 分 【命题意图】 本题主要考查已知递推公式用累加法求通项， 注重思维的完整性和严密性， 另外考查裂项相消法求数列的前n项和重点考查等价转换思想，
16、体现了数学运算、逻辑推 理等核心素养 18（本小题满分 12 分） 某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月 销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量 i y和月销售单价 i x (1,2,3,6)i =数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示： n a 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 3 页（共11页） 月销售单价x（元/件） 4 5 6 7 8 9 月销售量y（万件） 89 83 82 79 74 67 （1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回 归直线方程分
17、别为：4105yx= +，453yx=+和1043 +=xy ，其中有且仅有一位实习 员工的计算结果是正确的 请结合统计学的相关知识， 判断哪位实习员工的计算结果是正确 的，并说明理由； （ 2 ） 若 用cbxaxy+= 2 模 型 拟 合 y 与x之 间 的 关 系 ， 可 得 回 归 方 程 为 25.90875. 0375. 0 2 +=xxy，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数 2 R 分 别 为9702. 0和9524. 0， 请 用 2 R 说 明 哪 个 回 归 模 型 的 拟 合 效 果 更 好 ； （3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的
18、结果回答问题：当月 销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到01. 0） 参考数据：91.806547. 解：解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故乙不对， 因为5 . 6 6 987654 = + =x，79 6 677479828389 = + =y 代入甲和丙的回归方程验证甲正确 4 分 （2）因为9524. 09702. 0且 2 R 越大，残差平方和越小，模拟的拟合效果越好， 所以选用25.90875. 0375. 0 2 +=xxy更好（言之有理即可得分）7 分 （3）由题意可知，xxxyxz25.90875. 0375. 0 23 +=，8 分 即xxxz 4
19、 361 8 7 8 3 23 +=，则 4 361 4 7 8 9 2 +=xxz，9 分 令0= z ，则 9 76547+ =x（舍去）或 9 76547+ =x，10 分 令 9 76547 0 + =x，当 () 0 , 0 xx时，z单调递增，当()+ 0 xx时z单调递减， 所以当 0 xx =时，商品的月销售额预报值最大， 11 分 因为91.806547，所以77. 9x， 所以当77. 9x时，商品的月销售额预报值最大 12 分 19（本小题满分 12 分） 如图， 四边形ABCD为长方形，24ABBC=，E、F分别为AB、CD的中点， 将ADF 深圳市 2020 年普通高
20、中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 4 页（共11页） 沿AF折到ADF的位置，将BCE沿CE折到BCE的位置，使得平面ADF底面 AECF，平面BCE底面AECF，连接B D ， （1）求证：B D / /平面AECF； （2）求三棱锥 B ADF的体积 解：解：（1）证明：作DMAF于点M，作B NEC于点N，1 分 2ADDF=，2BCBE=，90ADFCBE=， M，N为AF，CE中点，且DM =2BN=2 分 平面ADF底面AECF，平面ADF底面AECF =AF， DMAF，DM平面ADF DM 底面AECF，3 分 同理：B N底面AECF，4 分 / /DMB N，
21、四边形DBNM 为平行四边形, / /BDMN 5 分 BD 平面AECF，MN 平面AECF， B D / /平面AECF6 分 （2）设点 B 到平面ADF的距离为h，连接NF7 分 / /DMB N，DM平面ADF，B N 平面ADF B N/ /平面ADF，8 分 故点 B 到平面ADF的距离与点N到平面ADF的距离相等8 分 N为CE中点，2EFCE=， NFCE， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 5 页（共11页） / /AFCE， NFAF，9 分 平面ADF底面AECF， 平面ADF 底面AECF =AF，NF 底面AECF， NF 平面
22、ADF，10 分 点N到平面ADF的距离为 2NF = ， 点 B 到平面ADF的距离2h =11 分 1 2 22 2 AD F S = =， 三棱锥 B ADF的体积 112 2 22 333 BAD FAD F VSh = =12 分 20（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中， 过点 )0 , 2(F 的动圆恒与y轴相切,FP为该圆的直径， 设点P 的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程； （2）过点 )4 , 2(A 的任意直线l与曲线C交于点M,B为AM的中点，过点B作x轴的 平行线交曲线C于点D,B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它 公共点？说明理由
23、 【解析】（1）如图，过P作y轴的垂线，交y轴于点H，交直线2=x于点 1 P， -1 分 设动圆圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性 质得，22 = rPH，-2 分 所以rrPP2222 1 =+=，又rPF2=， 所以 1 PPPF =，-3 分 由抛物线的定义知， 点P是以 )0 , 2(F 为焦点， 直线2=x为 准线的抛物线，所以曲线C的方程为xy8 2 =-4 分 (2) 由 )4 , 2(A 得，A在曲线C上， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 6 页（共11页） (i)当l的斜率存在时，设 )2)(,(
24、111 xyxM，则 1 2 1 8xy=， AM的中点) 2 4 , 2 2 ( 11 +yx B，即)2 2 , 1 2 ( 11 + yx B，-5 分 在方程xy8 2 =中令2 2 1 += y y得 21 )2 2 ( 8 1 += y x， 所以)2 2 ,)2 2 ( 8 1 ( 121 + yy D-6 分 设),( 22 yxN， 由中点坐标公式 2 2 )2 2 ( 4 1 121 2 + += xy x ， 又 1 2 1 8xy=，代入化简得 2 1 2 y x =， 所以)2 2 , 2 ( 11 + yy N，-7 分 直线MN的斜率为 1 1 2 1 1 1 1
25、 1 1 4 28 2 2 2 )2 2 ( yyy y y x y y = = + ， 直线MN的方程为 11 1 )( 4 yxx y y+= ， 将 8 2 1 1 y x =代入式化简得 2 4 1 1 y x y y+= ，-8 分 将 8 2 y x =代入式并整理得02 2 11 2 =+yyyy， 式判别式04)2( 2 1 2 1 =yy，-9 分 所以直线MN与抛物线C相切， 所以除M以外，直线MN与C没有其它公共点-10 分 (ii)当l的斜率不存在时， )4, 2( M ， )0 , 2(B ， )0 , 0(D ， )0 , 2(N ， 直线MN方程为 2=xy ，代
26、入xy8 2 =得044 2 =+ xx，-11 分 上式方程判别式0=，除M以外，直线MN与C没有其它公共点 综上，除M以外，直线MN与C没有其它公共点-12 分 【命题意图】本题以直线与圆、直线与抛物线为载体，利用直线与圆的位置关系等知识 导出抛物线的方程，借助几何关系，利用方程思想解决问题，主要考察抛物线的定义、直线 与抛物线的位置关系和中点坐标公式等知识，考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等 数学核心素养及思辨能力 21（本小题满分 12 分） 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 7 页（共11页） 已知函数( )()() 2 1 ln11.f
27、xxxaxa x=+ （1）当1a = 时，判断函数的单调性； （2）讨论( )f x零点的个数. 解：解：（1）因为1a = ，所以( )()()() 2 1 ln211 ln1f xxxxxxxx=+ =+ 又( ) 1 ln23fxxx x =+，设( ) 1 ln23h xxx x =+， -2 分 又( ) ()() 22 21 111 2 xx h x xxx + =+=， 所以( )h x在()0,1为单调递增；在()1,+为单调递减， -3 分 所以( )h x的最大值为( )10h=，所以( )0fx， 所以( )f x在()0,+单调递减. -4 分 （2）因为( )()(
28、)1 ln1f xxxax=+ 所以1x =是( )f x一个零点 设( )ln1g xxax=+， 所以( )f x的零点个数等价于( )g x中不等于1的零点个数再加上1. -5 分 （i） 当1a = 时， 由 （1） 可知，( )f x单调递减， 又1x =是( )f x零点， 所以此时( )f x 有且只有一个零点； -6 分 （ii）当0a 时，( )g x单调递增，又( )10,g ( ) ()() 2 2131 ln11 11 xaxax g xxaxax xx + =+ + = + ()01x 又()()()()() 22 31431411axaxaxaxaxx+ + =+
29、所以 1 0 4 g a + ， 综上可知( )g x在()0,+有一个零点且( )10g， 所以此时( )f x 有两个零点； -8 分 （iii）又( ) 1ax gx x + =，所以当10a ， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 8 页（共11页） ( )g x在 1 0, a 单调递增，在 1 , a + 单调递减. ( )g x的最大值为 11 ln0g aa = 又( ) ()()2121 110 11 xx g xax xx + + = + 1 0 3 g ，又 1 0 a g ee = 所以( )g x在 1 0, a 有一个零点，在 1
30、 , a + 也有一个零点且( )10g. 所以此时( )f x共有 3 个零点； -10 分 （iv）又( ) 1ax gx x + =，所以当1a 时， ( )g x在 1 0, a 单调递增，在 1 , a + 单调递减. ( )g x的最大值为 11 ln0g aa = ，所以( )g x没有零点，此时( )f x共有1个 零点. 综上所述， 当1a 时，( )f x共有 1 个零点； 当10a 时，( )f x共有 3 个零点； 当0a 时，( )f x有两个零点. -12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定 的题目如果多做，则
31、按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后 的方框涂黑 22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 = += ,sin ,cos32 ty tx （t为参数，为倾斜 角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 sin4= （1）求 2 C的直角坐标方程； 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 9 页（共11页） （2）直线 1 C与 2 C相交于FE,两个不同的点，点P的极坐标为(2 3,)，若 PFPEEF+=2，求直线 1 C的普通方
32、程 解： （1） 由题意得， 2 C的极坐标方程为sin4=， 所以sin4 2 =， 1 分 又 sin,cos=yx ，2 分 代入上式化简可得，04 22 =+yyx，3 分 所以 2 C的直角坐标方程4)2( 22 =+ yx4 分 （2）易得点P的直角坐标为)0 , 32(， 将 = += ,sin ,cos32 ty tx 代入 2 C的直角坐标方程，可得 012)sin4cos34( 2 =+tt，5 分 22 (4 3cos4sin )48=8sin()480 3 =+， 解得 3 sin() 32 +，或 3 sin() 32 + ， 不难知道必为锐角，故 3 sin() 3
33、2 +， 所以 2 333 +，即 0 3 ,6 分 设这个方程的两个实数根分别为 1 t， 2 t，则 sin4cos34 21 +=+tt，12 21 =tt，7 分 所以 1 t与 2 t同号， 由参数t的几何意义可得， 1212 8 sin() 3 PEPFtttt+=+=+=+， 22 12121 2 ()44 4sin ()3 3 EFttttt t=+=+，8 分 所以 2 2 4 4sin ()38 sin() 33 +=+， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 10 页（共11页） 两边平方化简并解得 sin()1 3 +=，所以 2 6
34、k=+，kZ, 因为 0 3 ，所以 6 =，9 分 所以直线 1 C的参数方程为 = += , 2 1 , 2 3 32 ty tx 消去参数t，可得直线 1 C的普通方程为0323=+yx10 分 【命题意图】 本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、 直线参数方程中 参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理 等核心素养，考察考生的化归与转化能力 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知, ,a b c为正数，且满足1.abc+= 证明： （1） 111 9 abc +； （2） 8 . 27 acbcababc+ 证明：证
35、明：（1）因为 () 111111 abc abcabc +=+ 3 bacacb abacbc = + 3222=9 b ac ac b a ba cb c + （当且仅当 1 3 abc=时，等号成立）. 5 分 （2）（证法一）因为, ,a b c为正数，且满足1abc+ +=， 所以1cab= ，且10a，10b，10c， 所以acbcababc+ ()abab cab=+ + () 1abababab=+ +（） 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（文科）参考答案第 11 页（共11页） (1)(1)()baab=+ (1)(1)(1)abc= 3 (1)(1)(1
36、)8 327 abc+ = ， 所以 8 . 27 acbcababc+ （当且仅当 1 3 abc=时，等号成立）. 10 分 （证法二）因为, ,a b c为正数，且满足1abc+ +=， 所以1cab= ，且10a，10b，10c， ()1acbcababcabcacbcababc+= + ()()()()1111ab ac abca=+ ()()11abcbc=+ ()()()111abc= () 3 38 327 abc+ = 所以 8 . 27 acbcababc+ （当且仅当 1 3 abc=时，等号成立）. 10 分 【命题意图】 本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式 （三元均值不等式） 的证明， 涉及代数恒等变形等数学运算、 充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力 的考察
