1、中考数学类比、拓展探究题中考数学类比、拓展探究题 图形旋转引起的探究图形旋转引起的探究例例1 1、(2018(2018焦作一模焦作一模)如图如图1 1,在等边,在等边ABCABC中,点中,点D D,E E分别在边分别在边ABAB,ACAC上,上,ADADAEAE,连接,连接BEBE,CDCD,点,点M M,N N,P P分别是分别是BEBE,CDCD,BCBC的中点的中点(1)(1)观察猜想:图观察猜想:图1 1中,中,PMNPMN的形状是的形状是_ _;(2)(2)探究证明:把探究证明:把ADEADE绕点绕点A A逆时针方向旋转到图逆时针方向旋转到图2 2的位置,的位置,PMNPMN的形状是
2、否发的形状是否发生改变?并说明理由;生改变?并说明理由;(3)(3)拓展延伸:把拓展延伸:把ADEADE绕点绕点A A在平面内自由旋转,若在平面内自由旋转,若ADAD1 1,ABAB3 3,请直接写出,请直接写出PMNPMN的周长的最大值的周长的最大值1 1(2019(2019山东菏泽山东菏泽)如图,如图,ABCABC和和ADEADE是有公共顶点的等腰直角三角形,是有公共顶点的等腰直角三角形,BACBACDAEDAE9090.(1)(1)如图如图1 1,连接,连接BEBE,CDCD,BEBE的延长线交的延长线交ACAC于点于点F F,交,交CDCD于点于点P P,求证:,求证:BPCDBPCD
3、;(2)(2)如图如图2 2,把,把ADEADE绕点绕点A A顺时针旋转,当点顺时针旋转,当点D D落在落在ABAB上时,连接上时,连接BEBE,CDCD,CDCD的的延长线交延长线交BEBE于点于点P P,若,若BCBC6 6 ,ADAD3 3,求,求PDEPDE的面积的面积2 2(2020(2020河南模拟河南模拟)如图如图1 1,菱形,菱形ABCDABCD是边长为是边长为2 2,BADBAD6060,对角线,对角线ACAC,BDBD交于交于点点O.O.(1)(1)操作发现:小芳同学将操作发现:小芳同学将CBDCBD绕点绕点O O旋转得旋转得CEFCEF,当,当CFCF落在落在ADAD上时
4、上时(如图如图2)2),连接,连接EDED,请直接写出,请直接写出DEDE与与ACAC的位置关系和数量关系;的位置关系和数量关系;(2)(2)问题解决:小芳同学继续旋转问题解决:小芳同学继续旋转CEF(ACEF(A,C C不重合不重合),如图,如图3 3,连接,连接DEDE,ACAC,她认为,她认为(1)(1)中的结论仍然成立你同意吗?说明理由;中的结论仍然成立你同意吗?说明理由;(3)(3)深入思考:若直线深入思考:若直线DEDE与直线与直线ACAC的交点为的交点为H H,请直接写出,请直接写出BHBH的最大值的最大值3 3(2019(2019山东东营山东东营)如图如图1 1,在,在RtRt
5、ABCABC中,中,B B9090,ABAB4 4,BCBC2 2,点,点D D,E E分别是边分别是边BCBC,ACAC的中点,连接的中点,连接DE.DE.将将CDECDE绕点绕点C C逆时针方向旋转,记旋转逆时针方向旋转,记旋转角为角为.(1)(1)问题发现问题发现当当0 0时时,_;当当180180时时,_(2)(2)拓展探究拓展探究试判断:当试判断:当0 0360360时时,的的大小有无变化?请仅就图大小有无变化?请仅就图2 2的情形给出的情形给出证明证明(3)(3)问题解决问题解决CDECDE绕点绕点C C逆时针旋转至逆时针旋转至A A,B B,E E三点在同一条直线上时,求线段三点
6、在同一条直线上时,求线段BDBD的长的长例例2 2、(2019(2019四川自贡四川自贡)(1)(1)如图如图1 1,E E是正方形是正方形ABCDABCD边边ABAB上的一点,连接上的一点,连接BDBD,DEDE,将,将BDEBDE绕点绕点D D逆时针旋转逆时针旋转9090,旋转后角的两边分别与射线,旋转后角的两边分别与射线BCBC交于点交于点F F和点和点G.G.线段线段BDBD和和DGDG的数量关系是的数量关系是_;写出线段写出线段BEBE,BFBF和和BDBD之间的数量关系之间的数量关系(2)(2)当四边形当四边形ABCDABCD为菱形,为菱形,ADCADC6060,点,点E E是菱形
7、是菱形ABCDABCD边边ABAB所在直线上的一点,连接所在直线上的一点,连接BDBD,DEDE,将,将BDEBDE绕点绕点D D逆时针旋转逆时针旋转120120,旋转后角的两边分别与射线,旋转后角的两边分别与射线BCBC交于点交于点F F和点和点G.G.如图如图2 2,点,点E E在线段在线段ABAB上时,请探究线段上时,请探究线段BEBE,BFBF和和BDBD之间的数量关系,写出结论并给出证明;之间的数量关系,写出结论并给出证明;如图如图3 3,点,点E E在线段在线段ABAB的延长线上时,的延长线上时,DEDE交射线交射线BCBC于点于点M M,若,若BEBE1 1,ABAB2 2,直接
8、写出线段,直接写出线段GMGM的长度的长度动点引起的探究动点引起的探究1 1(2019(2019湖南常德湖南常德)在等腰三角形在等腰三角形ABCABC中,中,ABABACAC,作,作CMABCMAB交交ABAB于点于点M M,BNBNACAC交交ACAC于点于点N.N.(1)(1)在图在图1 1中,求证:中,求证:BMCBMCCNBCNB;(2)(2)在图在图2 2中的线段中的线段CBCB上取一动点上取一动点P P,过,过P P作作PEPEABAB交交CMCM于点于点E E,作,作PFACPFAC交交BNBN于点于点F F,求证,求证:PEPEPFPFBMBM;(3)(3)在图在图3 3中动点
9、中动点P P在线段在线段CBCB的延长线上,类似的延长线上,类似(2)(2)过过P P作作PEABPEAB交交CMCM的延长线于点的延长线于点E E,作,作PFACPFAC交交NBNB的延长线于点的延长线于点F F,求证:,求证:AMPFAMPFOMBNOMBNAMPE.AMPE.2 2(2018(2018开封一模开封一模)【问题提出】【问题提出】如图如图1 1,已知,已知ABCABC是等腰三角形,点是等腰三角形,点E E在线段在线段ABAB上,点上,点D D在直线在直线BCBC上上,且,且EDEDECEC,将,将BCEBCE绕点绕点C C顺时针旋转顺时针旋转6060至至ACFACF连接连接E
10、FEF,试证明:试证明:ABABBDBDAF.AF.【类比探究】【类比探究】(1)(1)如图如图2 2,如果点,如果点E E在线段在线段ABAB的延长线上,其他条件不变,线段的延长线上,其他条件不变,线段ABAB,BDBD,AFAF之间又有怎样的数量关系?请说明理由;之间又有怎样的数量关系?请说明理由;(2)(2)如果点如果点E E在线段在线段BABA的延长线上,其他条件不变,请在图的延长线上,其他条件不变,请在图3 3的基础的基础上将图形补充完整,并写出上将图形补充完整,并写出ABAB,BDBD,AFAF之间的数量关系,不必说明之间的数量关系,不必说明理由理由3 3(2019(2019河南模
11、拟河南模拟)如图如图1 1,在四边形,在四边形ABCDABCD中,中,ABABADAD,B BADCADC180180,点,点E E,F F分别在四边形分别在四边形ABCDABCD的边的边BCBC,CDCD上,上,EAFEAF BADBAD,连接,连接EFEF,试猜想,试猜想EFEF,BEBE,DFDF之间的数量关系之间的数量关系(1)(1)思路梳理思路梳理将将ABEABE绕点绕点A A逆时针旋转至逆时针旋转至ADGADG,使,使ABAB与与ADAD重合,由重合,由BBADCADC180180,得得FDGFDG180180,即点,即点F F,D D,G G三点共线,易证三点共线,易证AFGAF
12、G_,故,故EFEF,BEBE,DFDF之间的数量关系为之间的数量关系为_ _ _;(2)(2)类比引申类比引申如图如图2 2,在图,在图1 1的条件下,若点的条件下,若点E E,F F由原来的位置分别变到四边形由原来的位置分别变到四边形ABCDABCD的边的边CBCB,DCDC延长线上,延长线上,EAFEAF BADBAD,连接,连接EFEF,试猜想,试猜想EFEF,BEBE,DFDF之间的数量关之间的数量关系,并给出证明;系,并给出证明;(3)(3)联想拓展联想拓展如图如图3 3,在,在ABCABC中,中,BACBAC9090,ABABACAC,点,点D D,E E均在边均在边BCBC上,
13、且上,且DAEDAE4545,若,若BDBD1 1,ECEC2 2,则,则DEDE的长为的长为_例例3 3、(2019(2019四川资阳四川资阳)在矩形在矩形ABCDABCD中,连接中,连接ACAC,点,点E E从点从点B B出发,以每秒出发,以每秒1 1个单位的速度个单位的速度沿着沿着B BA AC C的路径运动,运动时间为的路径运动,运动时间为t(t(秒秒).).过点过点E E作作EFEFBCBC于点于点F F,在矩形,在矩形ABCDABCD的内部的内部作正方形作正方形EFGH.EFGH.(1)(1)如图,当如图,当ABABBCBC8 8时,时,若点若点H H在在ABCABC的内部,连接的
14、内部,连接AHAH,CHCH,求证:,求证:AHAHCHCH;当当0 0t8t8时,设正方形时,设正方形EFGHEFGH与与ABCABC的重叠部分面积为的重叠部分面积为S S,求,求S S与与t t的函数关系式;的函数关系式;(2)(2)当当ABAB6 6,BCBC8 8时,若直线时,若直线AHAH将矩形将矩形ABCDABCD的面积分成的面积分成1313两部分,求两部分,求t t的值的值图形形状变化引起的探究1 1(2019(2019湖北武汉湖北武汉)在在ABCABC中,中,ABCABC9090,n n,M M是是BCBC上上一点,连接一点,连接AM.AM.(1)(1)如图如图1 1,若,若n
15、 n1 1,N N是是ABAB延长线上一点,延长线上一点,CNCN与与AMAM垂直,求证:垂直,求证:BMBMBNBN;(2)(2)过点过点B B作作BPAMBPAM,P P为垂足,连接为垂足,连接CPCP并延长交并延长交ABAB于点于点Q.Q.如图如图2 2,若,若n n1 1,求证,求证:;如图如图3 3,若,若M M是是BCBC的中点,直接写出的中点,直接写出tantanBPQBPQ的值的值(用含用含n n的式的式子表示子表示)2 2(2019(2019山东德州山东德州)(1)(1)如图如图1 1,菱形,菱形AEGHAEGH的顶点的顶点E E,H H在菱形在菱形ABCDABCD的边上,且
16、的边上,且BADBAD6060,请直接写出,请直接写出HDGCEBHDGCEB的结果的结果(不不必写计算过程必写计算过程);(2)(2)将图将图1 1中的菱形中的菱形AEGHAEGH绕点绕点A A旋转一定角度,如图旋转一定角度,如图2 2,求,求HDGCEBHDGCEB;(3)(3)把图把图2 2中的菱形都换成矩形,如图中的菱形都换成矩形,如图3 3,且,且ADABADABAHAEAHAE1212,此时,此时HDGCEBHDGCEB的结果与的结果与(2)(2)小题的结果相比有变化吗?小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程不必写计
17、算过程);若无变;若无变化,请说明理由化,请说明理由3 3(2018(2018河南联考三模河南联考三模)如图如图1 1,正方形,正方形ABCDABCD和正方形和正方形AEFGAEFG,连接连接DGDG,BE.BE.(1)(1)发现发现:当当正方形正方形AEFGAEFG绕点绕点A A旋转,如图旋转,如图2.2.线段线段DGDG与与BEBE之间的数量关系是之间的数量关系是_DGDGBEBE_;直线直线DGDG与直线与直线BEBE之间的位置关系是之间的位置关系是_DGBEDGBE_(2)(2)探究探究如图如图3 3,若四边形,若四边形ABCDABCD与四边形与四边形AEFGAEFG都为矩形,且都为矩形,且ADAD2AB2AB,AGAG2AE2AE,证明:直线,证明:直线DGBE.DGBE.(3)(3)应用应用在在(2)(2)情况下,连接情况下,连接GE(GE(点点E E在在ABAB上方上方),若,若GEABGEAB,且,且ABAB ,AEAE1 1,则线段,则线段DGDG是多少?是多少?(直接写出结论直接写出结论)