1、实数的概念、分类、与数轴的关系实数的概念、分类、与数轴的关系 第一课时第一课时 返回返回 毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”，他把数的概毕达哥拉斯有一句名言，叫做“万物皆数”，他把数的概 念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为念神秘化了，错误地认为：宇宙间的一切现象，都可以归结为 整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了整数或者整数的比；除此之外，就不再有别的什么东西了 有一天，毕达哥拉斯的一个学生找到了一种既不是整数，有一天，毕达哥拉斯的一个学生找到了一种既不是整数， 又不是整数之比的怪东西这个学生叫希伯斯，他研究了一个又不是整数之比的怪东西这个学生叫希伯斯，他
2、研究了一个 边长为边长为1的正方形，发现这个正方形对角线的长度的正方形，发现这个正方形对角线的长度是是 2 1 1 2 导入新知导入新知 既不是整数，也不是整数的比他很惶惑：根据老师的既不是整数，也不是整数的比他很惶惑：根据老师的 看法，这应该是世界上根本不存在的东西呀！希伯斯把这件事看法，这应该是世界上根本不存在的东西呀！希伯斯把这件事 告诉了老师告诉了老师 2 毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认它是一种新的毕达哥拉斯无法解释这种怪现象，又不敢承认它是一种新的 数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上他下数，因为他的全部“宇宙”理论，都奠基在整数的基础上他下 令封锁消息，不准
3、希伯斯再谈论，并且警告说，不要忘记了入学令封锁消息，不准希伯斯再谈论，并且警告说，不要忘记了入学 时立下的誓言时立下的誓言 导入新知导入新知 希伯斯很不服气希伯斯很不服气他他想，不承想，不承 认这是数，岂不等于是说正方形的对认这是数，岂不等于是说正方形的对 角线没有长度吗角线没有长度吗？为？为了坚持真理了坚持真理， 捍捍卫真理，卫真理，希伯希伯斯将自己的发现传斯将自己的发现传扬扬 了了开去开去直到直到最近几百年，数学家最近几百年，数学家们们 才才弄清楚弄清楚，它，它确实不是整数，也不确实不是整数，也不是是 分分数，数，而是而是一种新的数，那是什么呢？一种新的数，那是什么呢？ 导入新知导入新知
4、1. 了解了解实数实数的意义，并能将实数按要求进行准的意义，并能将实数按要求进行准 确的确的分类分类. 2. 熟练掌握实数熟练掌握实数大小的比较方法大小的比较方法. 素养目标素养目标 3. 了解实数和数轴上的点了解实数和数轴上的点一一对应一一对应，能用数轴能用数轴 上的点表示无理数上的点表示无理数. （1）请把下列有理数写成小数的形式，你有什）请把下列有理数写成小数的形式，你有什 么发现？任何有理数都能写成有限小数和无限么发现？任何有理数都能写成有限小数和无限 循环小数吗？循环小数吗？ （2）请用计算器把）请用计算器把 和和 写成小数的形式，写成小数的形式， 你有什么发现？像这样的数我们把它叫
5、什么数？你有什么发现？像这样的数我们把它叫什么数？ 你还能说出一些这样的数吗？你还能说出一些这样的数吗？ 9 5 , 90 11 , 11 9 , 8 47 , 5 3 , 3 3 52 探究新知探究新知 知识点 1 实数的概念和分类实数的概念和分类 50 9 5 210 90 11 810 11 9 8755 8 47 60 5 3 033 .,.,. ,.,.,. 事实上，任何一个有理数都可以写成事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数有限小数或或无限循环小数无限循环小数. . 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理有理数数. . 探究新知探究
6、新知 无限不循环的小数无限不循环的小数 - 叫做叫做无理数无理数. . 你能举出一些无理数吗？你能举出一些无理数吗？ 12 , 2 , 12 , 3 ,7 0.1010010001两个两个1之间依次多之间依次多1个个0 168.3232232223两个两个3之间依次多之间依次多1个个 2 探究新知探究新知 2=1.41421356237309504880168 =1.70997594667669698935310 3 5 【思考思考】我我们将有理数和无理数统称为们将有理数和无理数统称为实数实数，仿照，仿照有理有理数的数的 分类，据分类，据此你能给实数分类吗？此你能给实数分类吗？ 无理数：无理数
7、： 无限不循环小数无限不循环小数 有理数：有理数： 有限小数有限小数或或无限循环小数无限循环小数 实实 数数 （1）按定义分按定义分 分数分数 整数整数 女孩子女孩子 男孩子男孩子 妈妈 妈妈 含开方开不尽的数含开方开不尽的数 有规律但不循环的小数有规律但不循环的小数 含含有有的的数数 探究新知探究新知 负负实数实数 正正实数实数 数数实实 正有理数正有理数 负有理数负有理数 （2）按性质分按性质分 0 正无理数正无理数 负无理数负无理数 探究新知探究新知 , 4 1 ,2 3 ,7 , 2 5 ,2 , 3 20 ,5 ,8 3 , 9 4 , 0 3737737773. 0（相邻两个相邻两
8、个3之间的之间的7的个数逐次加的个数逐次加1） 有理数集合有理数集合 无理数集合无理数集合 3 8, 1 , 4 5 , 2 4 , 9 0, 3 2,7, ,2, 20 , 3 5, 0.3737737773 1.把把下列各数分别填入相应的集合内：下列各数分别填入相应的集合内： 巩固练习巩固练习 ,9 3 ,7, 16, ,5 ,8 3 , 9 4 ,0 ,25 无理数：无理数： 3 9,7,5,0.3232232223 有理数：有理数： 负实数：负实数： 正实数：正实数： 0.3232232223 例例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：将下列各数分别填入下列相应的括号内： 1 4，
9、1 4， 16, 3 8, 4 , 9 0,25 16, 3 8, 5 3 9, 1 4， 7,25，0.3232232223 4 , 9 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 实数的分类实数的分类 2. 把下列各数填入相应的集合内：把下列各数填入相应的集合内： 9 3 564 6. 0 4 3 3 9 313. 0 （1）有理数集合：）有理数集合： （2）无理数集合：）无理数集合： （3）整数集合：）整数集合： （4）负数集合：）负数集合： （5）分数集合：）分数集合： （6）实数集合：）实数集合： 3 5 3 9 3 4 3 9 9 643 9 64 0.6 3 4 30.13 0.6
10、3 4 0.13 9 3 564 0.6 3 4 3 930.13 巩固练习巩固练习 如图，直径如图，直径为为1个个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一 周，圆上一点从原点到周，圆上一点从原点到达达A点点，则，则点点A的的坐标为多少？坐标为多少？ -4 -2 0 1 2 3 4 -1 -3 无无理数理数 可以用数轴上的点来表示可以用数轴上的点来表示. . A 问题问题1 无无理数能在数轴上表示出来吗？理数能在数轴上表示出来吗？ 探究新知探究新知 知识点 2 实数与数轴的关系实数与数轴的关系 2 1 0 1 2 2 2 2- - 问题问题2（1）你你能在数轴上表示
11、出能在数轴上表示出 吗？吗？ 2 探究新知探究新知 （2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴能填轴能填满吗？满吗？ 2 1 0 1 2 B A 2 2 C 在数轴上表示的两在数轴上表示的两 个实数，右边的数个实数，右边的数 总比左边的数总比左边的数大大. . 数轴上的点有些数轴上的点有些 表示有理数，有表示有理数，有 些表示无理数些表示无理数. . 探究新知探究新知 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上 的每一点都表示一个实的每一点都表示一个实数数.即即实数和数轴上的点是实数和数轴
12、上的点是一一对应一一对应的的. 例例2 如如图所示，数轴上图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为两点表示的数分别为-1和和 ， 点点B关于点关于点A的对称点为的对称点为C，求点，求点C所表示的实数所表示的实数 解：解：数轴上数轴上A，B两点表示的数分别为两点表示的数分别为-1和和 ， 点点B到点到点A的距离为的距离为1 ，则点，则点C到点到点A的距离为的距离为1+ ， 设点设点C表示的实数为表示的实数为x，则点，则点A到点到点C的距离为的距离为-1-x， -1-x1 ， x-2- 3 3 3 3 3 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 求数轴上的点表示的实数值求数轴上的点表示的实数值 3
13、A B -1 0 3 3.如果以如果以2为为边长画一个正方形，以原点为圆心，边长画一个正方形，以原点为圆心， 正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点 就表示就表示_，与负半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示 _. _. 4.请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数 对应起来：对应起来： ，-1.5， ， ，3 解：解：点点A、B、C、D、E分别对应分别对应_、 _、 _、_、_. 2 5 2 2 2 2 4 25 3 巩固练习巩固练习 -1.5 C D E A B 与有理数一样，实数也可以比较大小：与有理数一样，实
14、数也可以比较大小： 与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比 左边的点表示的实数大左边的点表示的实数大. . 原点原点 0 正实数正实数 负实数负实数 正数大于零，负数小于零，正数大于负数正数大于零，负数小于零，正数大于负数； 与有理数一样，在实数范围内：与有理数一样，在实数范围内： 探究新知探究新知 知识点 3 实数大小的比较实数大小的比较 ，2可以分别看作是可以分别看作是 面积为面积为5，4的正方形的边的正方形的边 长，容易说明：面积较大长，容易说明：面积较大 的正方形，它的边长也较的正方形，它的边长也较 大，因此大，因此 5 5
15、 2. 同样，因为同样，因为59，所以，所以 5 3. 不用计算器，不用计算器， 与与2比较哪个大？与比较哪个大？与3比较比较呢？呢？ 5 探究新知探究新知 例例3 在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，在数轴上表示下列各点，比较它们的大小， 并用并用“”连接连接 它们它们. . 23 - -2 - -1 0 1 2 3 51 -2 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 比较实数的大小比较实数的大小 解解: : -2 1 325 5.试在数轴上标出试在数轴上标出, , 的大致位置的大致位置, ,并借助数轴比并借助数轴比 较它们的大小较它们的大小. . 5-3 5-3解析解析：因为因为3.14
16、, -2.24, 1.73, ,所以可以近似地标所以可以近似地标 出它们在数轴上的位置出它们在数轴上的位置, ,如图如图( (其中点其中点A表示表示,点点B表示表示 ,点点 C表示表示 ).). 5- 3 巩固练习巩固练习 因为数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数因为数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数, ,所所 以可知以可知 . 3- 5 （2019宜昌）如图，宜昌）如图，A， ，B，C，D是数轴上的四个点，其中最是数轴上的四个点，其中最 适合表示无理数适合表示无理数的点是（的点是（ ） A点点A B点点B C点点C D点 点D 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考
17、 D C D A B 4 3 2 1 0 -1 -2 1.判断判断对错对错 （1）实数不是有理数就是无理数）实数不是有理数就是无理数. . （ ） （2）无理数都是无限不循环小数）无理数都是无限不循环小数. . （ ） （4）无理数都是无限小数）无理数都是无限小数. . （ ） （3）带根号的数都是无理数）带根号的数都是无理数. . （ ） （5）无理数一定都带根号）无理数一定都带根号. . （ ） 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 2.下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ） A.a一定是正实数一定是正实数 B. 是有理数是有理数 C. 是有理数是有理数 D.数轴上任一
18、点都对应一个数轴上任一点都对应一个有理数有理数 2 2 B 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.有一个数值转换器，原理如下，当输有一个数值转换器，原理如下，当输x=81时，输出时，输出 的的y是（是（ ） 输入输入x 取算术平取算术平 方根方根 是无理数是无理数 输出输出y 是有理数是有理数 A.9 B.3 C. D.3 3 C 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4.你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗? ?试试看？试试看？ 3 2 4 1 7 2 5 2 3 20 5 3 8 9 4 0 7773773373. 0
19、 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 1 , 4 5 , 2 3 8 , 4 , 9 3 2,7, , 2, 20 , 3 5 0.373 773 7773 正数 负数 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小： 解解 ：（1）因为）因为 12 42， 所以 所以 4， 所以所以 1 32 ， 所以所以 所以所以 103, 103. 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 （1） 与与3; 121（2） 与与-3. 10 如如图所示，图所示，数轴上数轴上A，B两点表示的数分别为两点表示的数分别为 和和5.1，点
20、，点A 关于原点的对称点是关于原点的对称点是C,则则B，C两点之间表示整数的点共有两点之间表示整数的点共有 ( ( ) ) A7个个 B6个个 C5个个 D4个个 2 解析：解析： -1.414， 和和5.1之间的整数有之间的整数有-1,0,1,2，3，4， 5， B，C两点之间表示整数的点共有两点之间表示整数的点共有7个个 2 - 2 - A 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 实数实数 无理数的概念无理数的概念 实数的实数的概念概念 实数的实数的分类分类 实数的实数的数轴表示数轴表示 实数的实数的大小比较大小比较 课堂小结课堂小结 实数的性质和运算 第二课时第二课时 返
21、回返回 只有符号不同的两个数只有符号不同的两个数, ,其中一个是另一个的相反数其中一个是另一个的相反数. . 相反数相反数 绝对值绝对值 数轴上表示数数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数的点到原点的距离叫做数a的绝对值的绝对值, 用用a表示表示. 倒数倒数 如果两个数的积是如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数则这两个数互为倒数 . 【讨论讨论】无无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值 吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？ 导入新知导入新知 2. 知道有理数的知道有理数的运算律运算律和运算性质同样适合于和运算性质同样适合于 实
22、数的运算实数的运算. 1. 理解在实数范围内的理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对相反数、倒数、绝对 值值的意义的意义 . 素养目标素养目标 3. 掌握实数的掌握实数的运算法则运算法则，熟练地利用计算器去解，熟练地利用计算器去解 决有关实数的运算问题决有关实数的运算问题. 你能解答下列问题吗？你能解答下列问题吗？ （1） 的的相反数是相反数是 ， 的的相反数是相反数是 ， 0 的相反数是的相反数是 ； （2） ， ， 2 2 0 探究新知探究新知 知识点 1 实数的性质实数的性质 2 2 0 0 结结合有理数相反数和绝对值的意义合有理数相反数和绝对值的意义，你，你能说说实数关于能说说实数关于
23、相反数和绝对值的意义吗？相反数和绝对值的意义吗？ 数数 a 的相反数的相反数是是-a . 一个一个正实数正实数的绝对的绝对 值是它值是它本身本身； 一个一个负实数负实数的绝对的绝对 值是它的值是它的相反数相反数； 0的绝对值是的绝对值是0 时；时；，当，当 时；时；，当，当 时；时；，当，当 0- 00 0 | aa a aa a 探究新知探究新知 例例1（1）分别写出）分别写出 的相反数；的相反数； （2）指出）指出 分别是分别是什么数的相反什么数的相反 数；数； （3）求）求 的绝对值；的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是）已知一个数的绝对值是 ，求这个，求这个 数数 63.14， 3
24、5 13， 3 64 3 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 实数性质的应用实数性质的应用 （1） 的相反数是的相反数是 ； 的相反数是的相反数是 （2） 的相反数是的相反数是 ； 的的相反数是相反数是 （3） 的绝对值是的绝对值是4 （4） 绝对值是绝对值是 的数是的数是 或或 63.14 5 3 31 3 64 3 解解: : 33 3.14- 6 5 3 3 1 1.分别求下列各数的相反数和绝对值分别求下列各数的相反数和绝对值 解：解：( (1) ) -3， 的相反数是的相反数是3，绝对值是，绝对值是3. . ( (2) ) =15， 的相反数是的相反数是-15，绝对值是，绝对值是1
25、5. . ( (3) ) 的相反数是的相反数是 ，绝对值是，绝对值是 . . 27 3 27 3 225 225 11 巩固练习巩固练习 225 ; （2） 11.（3） 3 27 ; （1） 1111 填空：填空：设设a，b，c是任意实数，则是任意实数，则 （1）a+b = （加法交换律）；（加法交换律）； （2）(a+b)+c = （加法结合律）；（加法结合律）； （3）a+0 = 0+a = ； （4）a+(-a) = (-a)+a = ； （5）ab = （乘法交换律）；（乘法交换律）； （6）(ab)c = （乘法结合律）；（乘法结合律）； b+a a+(b+c) a 0 ba a(
26、bc) （7） 1 a = a 1 = ； a 探究新知探究新知 知识点 2 实数的运算实数的运算 （8）a(b+c) = （乘法对于加法的分配律），（乘法对于加法的分配律）， (b+c)a = （乘法对于加法的分配律）；（乘法对于加法的分配律）； （9）实数的减法运算规定为）实数的减法运算规定为a-b = a+ ； （10）对于每一个非零实数）对于每一个非零实数a，存在一个实数，存在一个实数b， 满足满足a b = b a =1，我们把，我们把b叫作叫作a的；的； （11）实数的除法运算（除数）实数的除法运算（除数b0），规定为），规定为 ab = a ； （12）实数有一条重要性质：如果）
27、实数有一条重要性质：如果a 0，b 0， 那么那么ab0. . ab+ac ba+ca (-b) 倒数倒数 1 b 探究新知探究新知 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 实数的平方根与立方根的性质：实数的平方根与立方根的性质： 此外，此外，前面所学的有关数、式、方程的性质、法前面所学的有关数、式、方程的性质、法 则和解法，对于实数则和解法，对于实数仍然成立仍然成立. . 1.每每个正实数有且只有两个平方根，它们互为个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数相反数. 0的平方根是的平方根是0. 2.在在实数范围内，实数范围内，负实数负实数没有平方根没有平方根. 3.在在实数范围内，每个实数有且只
28、有实数范围内，每个实数有且只有一个立方根一个立方根， 而且与它本身的符号相同而且与它本身的符号相同. 例例2 计计算下列各式的值：算下列各式的值： 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 实数的运算实数的运算 322 3 323（） 5 3 解解: : （2） 3 32 3 （2） 3 32 3 （1） 322（） （1） 322（） 2 2-232 （）； 2.计算下列各式的值：计算下列各式的值： 巩固练习巩固练习 （1） （2） 347（） 7 7 -2 3 2 2-2 3-2 2 2 2-2 3+2 2（） =2 2 232- 解解: : 3747 （1） 3747 ； 2 2-232
29、（） （2） 6 32（+ ） ； 382103 巩固练习巩固练习 （3） （4） 解解: : （3） （4） 6 32（+ ） 2 6+6 382103 42-6 10 314-2 10 （） 38-2 106（） 例例3 计算（结果保留小数点后两位）：计算（结果保留小数点后两位）： 5 ;32. 52.2363.1425.38; 321.732 1.4142.45. 总结总结：在实数运算中，如果遇到无理数，并且在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果需要求出结果 的近似值的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替 无理数，再进行计
30、算无理数，再进行计算. . 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 取实数运算的近似值取实数运算的近似值 ( (1) ) ( (2) ) 解解: : （1） （2） （2） （结果保留（结果保留3位小数）位小数） 152 (55) （1） （精确到（精确到0.001）；）； 3 810 3.计算：计算： 巩固练习巩固练习 解解: : （1） （2） 3 810 2.8284 2.1544 0.6740 152 (55) 15 2（52.236） 15 27.236 15 14.472 0.528 1.（2019湘西州）下面是一个简单的数值运算程序，当输入湘西州）下面是一个简单的数值运算程序，当
31、输入x的 的 值为值为16时，输出的数值为时，输出的数值为_（用科学计算器计算或笔算）（用科学计算器计算或笔算） 巩固练习巩固练习 连 接 中 考连 接 中 考 2.（2019 宁夏）下列各式中正确的是（宁夏）下列各式中正确的是（ ） A B C D 3 24 3)3( 2 24 3 22-8 D 3 1 1.下列各数中，互为相反数的是下列各数中，互为相反数的是( ( ) ) A.3 与与 B. 2与与 C. 与与 D. 5与与 2 )2( 2 )1( 3 1 5 C 2. 的值是的值是( ( ) ) A.5 B.-1 C. D. 5235 525552 C 4. 是是 的相反数的相反数;2-
32、6.28的相反数是的相反数是 . - 176.28-2 3.比较大小：（比较大小：（1） ; （2） 4. 152332 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 17 5计算：计算： 课堂检测课堂检测 3 3 1 3(-4)3 3 （1） 22 ( 15)( 15) （2） 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 4 0 1515 1 3-4 3 （） 课堂检测课堂检测 3222 32 ( 2)( 2)( 9)( 8) ( (3) ) 3 22519664 ( (4) ) 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 15144 5 8294 21 的的整数部分与小数部分的差是多少整数部
33、分与小数部分的差是多少？ （结果保留结果保留3位小数）位小数） 3 整数部分：整数部分： 1 小数部分：小数部分： 解：解： 整数部分与小数部分的差是：整数部分与小数部分的差是： 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 3 1 13 1230.286（） 实实数数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，其中点在数轴上的对应点如图所示，其中点c是点是点 a与点与点b的中点的中点 0 c b a 试化简：试化简： 2 abccb 解： 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 解：解： 2 abccb a b c c+ b a 2 c (a + b) + ( c) (c b) 实数实数 在实数范围内，相反数在实数范围内，相反数、绝对、绝对 值、值、倒数的意义和有理数范围倒数的意义和有理数范围 内的相反数内的相反数、绝对值、绝对值、倒数的、倒数的 意义完全一样意义完全一样. . 实数的运算实数的运算 实数的实数的运算律运算律 用用计算器计算器计算计算 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
