1、 一元一次方程的应用专题突破一元一次方程的应用专题突破 专题 4 一元一次方程的应用专题突破 . 1 知识框架 2 一、基础知识点 2 知识点 1 列方程解应用题的合理性 2 知识点 2 建立书写模型常见的数量关系 2 知识点 3 分析数量关系的常用方法 3 二、典型题型 5 题型 1 和差倍分问题 . 5 题型 2 总（分）量问题 . 5 题型 3 调配问题 . 5 题型 4 配套问题 . 5 题型 5 分段计费问题 . 6 题型 6 方案优化问题 . 6 题型 7 利润问题、打折问题、盈亏问题 6 题型 8 储蓄问题 . 7 题型 9 行程问题 . 7 题型 10 工程问题 . 7 题型
2、11 等积问题 . 8 题型 12 数字问题 . 8 题型 13 积分问题 . 8 三、难点题型 10 题型 1 设辅助未知数 . 10 题型 2 商品销售问题（复杂） 10 题型 3 行程问题（复杂） . 10 题型 4 工程问题（多个未知数） 10 题型 5 浓度问题 . 11 知识框架知识框架 一一、基础知识点基础知识点 知识点知识点 1 列方程解应用题的合理性列方程解应用题的合理性 列方程解实际问题，对于方程的解转为为实际问题的解答，一定要注意检验它是否符合实际情况。若不 符合，必须舍去。有时，要根据实际问题与数学问题的区别，对实际问题的解进行修正。同时，在设与答 时，单位要同一。 例
3、例 1.一队学生去校外进行军事训练，他们以 5 千米/小时的速度行进，走了 18 分钟，学校要将一紧急通知传 达给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以 14 千米每小时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追 上学生队伍？ 知识点知识点 2 建立书写模型常见的数量关系建立书写模型常见的数量关系 1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息， 准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长边长 正方形周长=4 边长 2）约定型数量关系 利息问题，利润问题，质量分数问
4、题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算 数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我 么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价数量=总价 速度时间=路程 工作效率时间=总工作量等。 例例 1.一只船在逆水中航行，船上一只救生圈掉入水中，5 分钟后船员发现救生圈落水，船掉头追赶救生圈， 几分钟能够追上救生圈（调转船头时间不计）？ 知识点知识点 3 分析数量关系的常用方法分析数量关系的常用方法 1）译式法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，
5、并找出没有公国的等量关系，翻译成含有 未知数的等式。 例例 1. 一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大 1，个位上的数字比十位上的数字的 3 倍少 2，若将个 位与百位数字调换位置后，所得的三位数与原来三位数的和是 1171，求这个三位数。 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。 这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座” ，便于正确理解各数量之间的关系。 例例 2.超市以每支 4 元的价格购进 100 支钢笔，卖出时每支的标价为 6 元，当卖出一部分钢笔后，剩余的以 9 折出售，卖完时超市盈利 188 元，其中打
6、 9 折的钢笔有几支？ 3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在 行程问题中，我们常常用此类方法。 例例 3.甲、乙两人相距 285m，相向而行，甲从 A 地除法每秒走 8 米，乙从 B 地出发每秒走 6 米。如果甲先走 12 米，那么甲出发几秒后与乙相遇？ 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 和差倍分问题和差倍分问题 解题技巧：解题技巧：此类题型，需要弄清楚“倍数” “多” “少”等关系。 （1）甲是乙的 a 倍：甲=乙a （2）甲比乙多 ：甲=乙 （1+ ） （3）甲比乙少 ：甲=乙 （1 ） 例例 1.今年收入比
7、去年提高 20%，今年人均收入比去年的 1.5 倍少 1200 元，求去年的人均收入是多少？ 例例 2.把一根长 100cm 的木棍据成两段，使其中一段长比另一段的 2 倍少 5cm，求分成的两段木棍的长度。 题型题型 2 总（分）量问题总（分）量问题 解题技巧：解题技巧：此类题型，总量始终是不变的量，类似与工程问题，多利用这个不变量来列写等式方程。 例例 1.把一批图书分给同学，若每人分 3 本，则剩下 20 本；若每人分 4 本，则还差 25 本。问有多少同学？ 例例 2.用 A 型机器和 B 型机器生产同样的产品，5 台 A 型机器生产一天的产品装满 8 箱后还剩 4 个；7 台 B 型
8、机器生产一天的产品装满 11 箱后还剩 1 个， 每台 A 型机器比 B 型机器一天多生产 1 个产品， 求每箱产品 有多少个产品？ 题型题型 3 调配问题调配问题 解题技巧：解题技巧：调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有时又在调配前后 的变化中找等量关系。 调出者的数量=原有的数量调出的数量 调进者的数量=原有的数量+调入的数量 例例 1.第一组有 36 人，第二组有 24 人。因工作需要，从第二组调了几个人到第一组，结果第一组的人数是 第二组的 2 倍，求从第二组调了几人到第一组。 例例 2.第二组比第一组人数的 少 30 人，从第二组调出 10 人到第一组
9、，那么第一组的人数比第二组多 60 人， 求第一组原来有多少人？ 题型题型 4 配套问题配套问题 解题技巧：解题技巧：因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套完 成，这类题型为配套问题。配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。 例例 1.某水利工程派 35 人去挖土和运土，如果每人每天挖 2 方或运 3 方土，那么应该怎么安排人员，正好使 挖出的土能及时运走？ 例例 2.某车间有工人 68 人，平均每人每天可以加工大齿轮 8 个或小齿轮 10 个，又知一个大齿轮和三个小齿 轮配为一套，问应该如何安排劳力使生产的产品刚好配套？ 题型题型 5 分段计费问
10、题分段计费问题 解题技巧：解题技巧：此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时， 需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 例例 1. 某种出租车的收费标准是：起步价 7 元（即行驶距离不超过 3 千米需付 7 元车费） ，超过 3 千米后， 每增加 1 千米加收 2.4 元 （不足 1 千米按 1 千米计算） ， 某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费 19 元， 则此人从甲地到乙地经过的路程是多少千米？ 例例2. 一出租车起步价是 5 元， 8公里内按起步价收费， 8公里以上20公里以内按每增加1公里另收费0.5
11、 ； 20 公里以上按每增加 1 公里另收费 1 元，一乘客付出车费 21 元，问他乘坐多少公里？ 例例 3.某市居民用电基本价格为每度 0.4 元，若每月用电量超过 a 度，超过部分按基本电价的 70收费。 （1）某户 5 月份用电 84 度，共交电费 30.72 元，求 a. （2）若该户 6 月份的电费平均每度 0.36 元，求 6 月份共用电多少度？应交电费多少元？ 题型题型 6 方案优化问题方案优化问题 解题技巧：解题技巧：此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型，有 2 种思 路。 思路 1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣 思路 2：求解出
12、每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。 例例 1. 某单位急需用车，但又不需买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租公司中的一家签定月租车合 同，个体车主的收费是 3 元/千米，国营出租公司的月租费为 2000 元，另外每行驶 1 千米收 2 元， (1) 这个单位若每月平均跑 1500 千米，租用哪个公司的车比较合算？ (2) 每月跑多少千米两家公司的费用一样 ? 例例 2 运送一批木材，甲公司收费是 3000 元起步，每公里另收 5 元；乙公司起步价位 1000 元，每公里另收 8 元。 （1）当路程为 100 千米时，选用哪家公司？ （2）什么情况下，两家公司的收费一样？
13、 题型题型 7 利润问题、打折问题、盈亏问题（利润问题、打折问题、盈亏问题（P77；P90） 解题技巧：解题技巧：此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 利润=售价进价 利润率= 售价=标价销售折扣 例例 1.七年级社会实践小组调查发现， 某衬衫进价为 80 元， 购进了 500 件， 并以每件 120 元的价格销售了 400 件。剩下衬衫，准备降价销售。请你帮忙计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好盈利 45% 的预期目标？ 例例 2.书店举行购书优惠活动： （1）一次性购书不超过 100 元，不享受优惠； （2）一次性购书超过 100 元，但不超过 200
14、 元，一律九折； （3）一次性购书 200 元或以上，一律七折 小林在这次活动中，两次购书总共付费 229.4 元，第二次购书原价是第一次购书原价的 3 倍，那么小林两次 购书原价的总和是多少？ 题型题型 8 储蓄问题储蓄问题 解题技巧：解题技巧：本金、利息、年利率、利息税税率和实得本利和之间的相等关系： 本金 利率=利息 利息 税率=利息税 本金+利息利息税=实得本利和 例例 1. 小明把压岁钱按定期一年存入银行。当时一年期存款的年利率为 1.98，利息税的税率为 20.到期 支取时，扣除利息税后小明实得本利和为 507.92 元。问小明存入银行的压岁钱有多少元？ 例例 2.老王把 5000
15、 元按一年期的定期储蓄存入银行。到期支取时，扣去利息税后实得本利和为 5080 元。已 知利息税税率为 20，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？ 题型题型 9 行程问题行程问题 解题技巧：解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度时间。行程问题可分为 3 大类，不同类型的问题，在求解速度 时有所不同，具体如下： （1）相遇问题： 总速度=甲的速度+乙的速度 （2）追击问题： 总速度=追击者速度被追击者速度（快慢） （3）航行问题： 顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速 逆水（风）速度=静水（风）速度水（风）速 例例 1.甲、乙两地相距 100 千米，小张与小王分别从甲、乙两地同时出发，相向
16、而行，小张的速度比小王的 速度每小时快 10 千米，经过 2 小时相遇，小张和小王的速度分别是多少？ 例例 2.一列火车匀速行驶，完全通过一条长 300 米的隧道需要 20 秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下 发光，灯光照在火车上的时间是 10 秒，求火车的速度。 例例 3.一辆慢车从 A 地开往 300 千米的 B 地，一辆快车同时从 B 地开往 A 地，若慢车速度为 40 千米每小时， 快车速度是慢车速度的 1.5 倍，他们出发多久后相距 100 千米？ 题型题型 10 工程问题工程问题 解题技巧：解题技巧：我们常常把工作总量看做单位“1” ，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常
17、常用“不 同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 例例 1.一件工程单独甲做 20 小时，乙要 12 小时，现由甲先单独做 4 小时，然后乙加入合做，一共需要合做 几个小时？ 例例 2.加工一批零件，由一人做需要 100 小时，现在计划先由若干人做 2 小时，再增加 5 人做 9 小时，恰好 完成任务，先安排多少人做 2 小时？ 题型题型 11 等积问题等积问题 解题技巧：解题技巧：图形无论如何切割或边形，其面积或体积始终不变，利用这个不变的特点，列写等式方程。 例例 1.某工厂锻造直径为 60 毫米，高 20 毫米的圆柱形零件毛坯，需要截取直径 40 毫米的圆钢多长
18、？ 例例 2. 如图一个铁片长 30cm,宽 20cm，打算从四个角各截去一个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的 铁盒，铁盒的底面周长为 60cm,问铁盒的高是多少？ 题型题型 12 数字问题数字问题 解题技巧：解题技巧：任何一个正数 N=都可以表示为 +。利用这个特点和题干中的关系，寻找等式方程。 例例 1.一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大 5，并且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的 8 倍还要大 5，求这个两位数。 例例 2.一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为 11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得 的新数比原来的数大 63，求原来的两位数。 题型题型
19、 13 积分问题积分问题 解题技巧：解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结 果又胜负和平局。 30cm 20cm 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分 例例 1.足球赛 8 轮，胜一场记 3 分，平一场记 1 分，输一场不得分。在这次足球比赛中，猛虎队平的场次是 负的场次的 2 倍，且 8 场比赛共得 17 分，该队共胜多少场？ 例例 2.足球比赛，胜一场记 3 分，平一场记 1 分，输一场不得分。一支足球队在某个赛季中共比赛 14 场，现 在已比 8 场，输了 1 场，共得 17 分。问： （1）前
20、8 场比赛中，这支球队共胜多少场？ （2）打满 14 场，最高能得多少分？ （3）通过比赛分析，到比赛结束，得分不低于 29 分，则后面的 6 场比赛至少要胜几场才能达到预期目标？ 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 设辅助未知数设辅助未知数 解题技巧：解题技巧：我们解决数学问题时，除了应设的未知数外，增设一些辅助未知数，其目的不是要具体地求出 它们的值，而是以此作为桥梁，沟通数量之间的关系，架起连接以质量和未知量。 例例 1.从下午 3 点步行到晚上 8 点，先走平路，然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走平路返回出发地。 若他走平路每小时 4 千米，上山每小时 3 小时，下山每小时 6
21、 千米，问这个人一共走了多少千米？ 例例 2.一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干粗细相同的进水管，打开 4 个进水管时，需要 5 小时注满水池。打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池。现在要在 2 小时内将水池注满，至少要打 开多少个进水管？ 题型题型 2 商品销售问题（复杂）商品销售问题（复杂） 解题技巧：解题技巧：在解决复杂商品销售问题时，通常会多设原价为 a 这个未知数，虽然在解题过程中，这个未知 数会被消掉。但是，若不设这个未知数，许多关系就不好表达了。 例例 1.某商品的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数） 不
22、得超过 d%，试用 p 表示 d。 例例 2.商店一种商品的进价降低了 8%， 而售价保持不变， 可使得商品的利润提高 10%， 问原来的利润是多少？ 例例 3.某商场经销一种商品，由于进货时价格比原价降低了 6.4%，使得利润增加了 8%，求经销这种商品原来 的利润率。 题型题型 3 行程问题（复杂）行程问题（复杂） 解题技巧：解题技巧：行程问题时基本的数学模型，我们需要找到合适的数学模型，建立等量关系。在行程问题中， 最常见的方式是通过对速度的叠加与分解来建立等量关系。 例例 1.甲、乙分别从 A、B 两地出发相向而行，若同时出发，经过 36 分钟相遇；若甲比乙提前 15 分钟出发， 乙出
23、发后 30 分钟相遇，求甲由 A 地到 B 地、乙由 B 地到 A 地所用的时间。 例例 2.某商场有一部自动扶梯匀速由下至上运动，甲、乙都急于上楼办事，因此在乘自动扶梯的同时匀速登 楼，甲登 55 级后达到楼上，乙登楼速度是甲的 2 倍，他登了 60 级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动 扶梯级数为多少级？ 例例 3.某人匀速走在马路上，马路的前后两端都有公共汽车站，每间隔相同时间发出一辆公共汽车，他发现 每隔 15 分钟有一辆汽车追上他；每隔 10 分钟有一辆公共汽车迎面驶来。问公共汽车每隔多少分钟发车一 辆（设每辆公共汽车速度相同） 。 题型题型 4 工程问题（多个未知数）工程问题（多个
24、未知数） 解题技巧：解题技巧：工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1” ，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复 杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。 例例 1.一项工程，甲单独做 24 小时完成，乙单独做 36 小时完成。先要求 20 小时完成，并且两人合作的时间 尽可能短，那么，甲乙合作多长时间？ 例例 2.现有男、女工人 1100 人，其中全体男工和全体女工可用同样的天数完成同样的工作。若将男工人数和 女工人数对调一下，则全体男工 25 天能完成工作，让女工做 36 天才能完成。问男、女工人数各是多少？ 例例 3.某项工程，如果由甲、
25、乙两队承包，2 天完成，需付 180000 元；由乙、丙两队承包，3 天完成，需付 150000 元；由甲、丙队承包，2 天完成，需付 160000 元。先在工程由一个对独承包，在保证一周完成的前 提下，那个承包队费用最少？ 题型题型 5 浓度问题浓度问题 解题技巧：解题技巧：糖与糖水总量的的比值叫作糖水的溶度。列写等式方程，需要分别算清溶质和溶液的质量，在 利用溶度问题的一些等量关系列写方程。 溶液=溶质+溶剂 溶度= 例例 1.设有甲、乙两个杯子。甲杯装有 10 升 A 溶液，乙杯中装有 10 升 B 溶液。先在从甲杯中取出一定量的 A 溶液，倒入乙杯中并搅拌均匀。再从乙杯中取出等量的混合溶液倒入甲杯中。测得甲杯 A 溶液和 B 溶液 的比为 5:1，求第一次从甲杯中取出的 A 溶液是多少升？ 例例 2.130 克含盐 5%的盐水，与含盐 9%的盐水混合，配成含盐 6.4%的盐水，这样配成的 6.4%的盐水有多少 个？ 例例 3.在某种溶度的糖水中加入一杯水后，得到新糖水，它的溶度为 20%；又在新糖水中加入与前一杯水质 量相同的纯糖后，糖水的溶度变为 33。求原来糖水的溶度。
