1、 一元一次方程专题详解一元一次方程专题详解 专题 03 一元一次方程专题详解 . 1 3.1 从算式到方程 3 知识框架 3 一、基础知识点 3 知识点 1 方程和一元一次方程的概念 3 知识点 2 方程的解与解方程 4 知识点 3 等式的性质 . 4 二、典型题型 6 题型 1 依题意列方程 . 6 题型 2 运用等式的性质解方程 6 三、难点题型 8 题型 1 利用定义求待定字母的值 8 3.2 解一元一次方程-合并同类项和移项 . 9 知识框架 9 一、基础知识点 9 知识点 1 合并同类项解一元一次方程 9 知识点 2 移项解一元一次方程 10 二、典型题型 12 题型 1 一元一次方
2、程的简单应用 12 3.3 解一元一次方程-去括号与去分母 . 13 知识框架 13 一、基础知识点 13 知识点 1 去括号 . 13 知识点 2 去分母 . 14 二、典型题型 16 题型 1 去括号技巧 . 16 题型 2 转化变形解方程 . 17 题型 3 解分子分母中含有小数系数的方程 19 三、难点题型 21 题型 1 待定系数法 . 21 题型 2 同解问题 . 21 题型 3 含参数的一元一次方程 22 题型 4 利用解的情况求参数的值 23 题型 5 整体考虑 . 24 3.4 实际问题与一元一次方程 25 一、基础知识点 25 知识点 1 列方程解应用题的合理性 25 知识
3、点 2 建立书写模型常见的数量关系 25 知识点 3 分析数量关系的常用方法 26 二、典型例题 28 3.1 从算式到方程从算式到方程 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 方程和一元一次方程的概念方程和一元一次方程的概念 1） 方程：含有未知数的等式。 例：3x=5y+2；100x=200；3x2+2y=3 等 2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为 0） ，未知数的次数是 1（次） ，等号两 边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。 如何判断一元一次方程：整式方程；只含有一个未知数，且未知数 的系数不为 0；未知数的次数 为 1. 例
4、： 3 1 1 2 x ； 3 1 1 2 x ；3m-2n=5；3m=5；6x2-12=0 例例 1.下列各式中，那些是等式？那些是方程？ 3x-6；3-5=-2；x+2y=8；x+23；x- x 1 =2； y=10；3y2+2y=0；3a-5a；3x2+2x-1=0； 2 1 3 mmy 【答案】是方程的有：、 方程需满足 2 个条件：1）含有未知数；2）是等式。同时满足则 2 个条件的有：、 例例 2.指出下列方程中哪些是一元一次方程，并说明理由： 5+4x=11；2x+y=5；x2-5x+6=0； x 2 =3；1 32 yy 【答案】是一元一次方程，因为是只含有 1 个未知数，且次
5、数为 1 的整式方程。 不是一元二次方程，因为未知数的有 2 个。 不是一元二次方程，因为未知数次数为 2. 不是一元二次方程，因为不是整式方程 是一元一次方程，因为是只含有 1 个未知数，且次数为 1 的整式方程。 知识点知识点 2 方程的解与解方程方程的解与解方程 1）方程的解：使方程两边相等的未知数的值 解方程：求方程的解的过程 例例 1. 下列方程的解是 x=0 的是： A.2x+3=2x+1 B.3x2=5x C.x x 54 2 1 D.01 4 1 x 【答案】方程的解是使方程两边相等的未知数的值，将 x=0 代入 4 个选项中，判断看那个选项的方程两边 相等。 A 选项中，将
6、x=0 代入得：0+3=0+1，不成立，A 错误； B 选线中，将 x=0 代入得：0=0，成立，B 正确； C 选项中，将 x=0 代入得：0+4=0，不成立，C 错误； D 选项中，将 x=0 代入得：0+1=0，不成立，D 错误。 例例 2. 已知 x=5 是关于方程 3x-2a=7 的解，求 a 的值。 【答案】因为 x=5 时方程的解 所以将 x=5 代入方程，方程两边依旧成立，即： 3 52a=7 152a=7 利用知识点 3（等式的性质） ，可解得： a=4 知识点知识点 3 等式的性质等式的性质 1）等式两边同加或同减一个数（等式两边同加或同减一个数（或式子） ，等式仍然成立或
7、式子） ，等式仍然成立。即：cbca ，则若ba （注：此处 字母可表示一个数字，也可表示一个式子） 2）等式两边同乘一个数（或式子）等式两边同乘一个数（或式子） ，或同除一个不为零的数（式子） ，等式仍然成立。即： 0ccbca cbca ba ， ，则若（此处字母可表示数字，也可表示式子） 例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x5=-55 x=-1 3）其他性质：对称性：若 a=b，则 b=a；传递性：若 a=b，b=c，则 a=c。 例例 1.用适当的数或式子填空，使所得的结果仍然是等式，并说明理由。 如果 3x+
8、8=26，那么 3x=26- ，理由： ； 如果-5x=25，那么 x= ，理由： ； 如果 x- 4 3 =y-0.75，那么 x= ，理由： ； 如果 4 x =7，那么 x= ，理由： 。 【答案】 如果 3x+8=26，那么 3x=26 8 ，理由：等式两边同时减去 8，等式仍成立 如果-5x=25，那么 x= ，理由：等式两边同时除（5） ，等式仍然成立； 如果 x =y0.75，那么 x= y0.75+ ，理由：等式两边同时加上 ，等式仍成立； 如果 =7，那么 x= 7 4 ，理由：等式两边同时乘 4，等式仍成立。 例例 2. 已知等式 x=y 中一定能得到的等式是（ ） A.
9、B. C.x 2=y 2 D.2x= 3y 【答案】A 错误，t 不能等于 0； B 错误，t+7 不能等于 0； C 正确，等式两边同时加减同一个数，等式不变； D 错误，等式两边乘的数不同 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 依题意列方程依题意列方程 解题技巧：解题技巧：与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。 例例 1.用方程的形式描述下列给出的条件。 （1）x 的 3 倍与 7 的差等于 24. （2）某数的 2 倍比它的相反数小 5. （3）x 的平方的 2 倍减去 1 等于 x 的 3 倍加 1 （4） 某数与 4 的差的 2 倍比该数与 1 的和
10、的一半大 5. 【答案】 （1）3x-7=24； （2）-x-2x=5 （3） （4）2（x-4）-5= 例例 2. 8 名学生去春游，共需要费用若干元。如果在增加 2 名学生，总费用不变，则每人可少摊 3 元。请问 总费用是多少？ 【答案】设总费用为 x 元。 依据题意，等量关系为：8 人平摊的费用=10 人平摊的费用+3 解得：x=120 答：总费用为 120 元。 题型题型 2 运用等式的性质解方程运用等式的性质解方程 解题技巧：解题技巧：通过等式的性质，将方程转化成 mx=n 的形式；x= m n 例例 1.用等式的性质求 x，并检验： 【答案】 等式两边同时减去 x 等式两边同时加
11、2 x=5 （） 等式两边同时除 x= 验算：将 x=代入得： = 因为等式两边相等，所以 x=是方程的解。 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 利用定义求待定字母的值利用定义求待定字母的值 解题技巧：解题技巧：依据定义，x 的次数为 1，系数不为 0 例例 1.若（m-2）6 1 m x是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值。 【答案】因为方程是一元一次方程 所以 解得： 综上得：m=2 例例 2.如果方程 a=0 是关于 x 的一元一次方程，求 a、b 的取值。 【答案】此题需要分 2 种情况讨论 情况一：当 a=0 时，方程变为：x+3=0，是一元一次方程，成立 因此，当 a=0，
12、b 为任意值时，方程是一元一次方程 情况二：当 a0 是，方程变为：a=0 要想方程是一元一次方程，则方程的次数必须为 1，即 b+1=1 解得：b=0 方程变为：axx+3=0，化简为： （a1）x+3=0 所以 a10 解得：a1 综上得：a0，b 为任意值；或 a0 且 a1，b=0 时，方程是一元一次方程。 例例 3.已知（）是关于 x 的一元一次方程，求 【答案】方程是关于 x 的一元一次方程 所以 y 的系数必须为 0，x 的次数为 1，且系数不为 0 即： 解得：a=4，b=4 3.2 解一元一次方程解一元一次方程-合并同类项和移项合并同类项和移项 知识框架知识框架 一、基础知识
13、点一、基础知识点 知识点知识点 1 合并同类项解一元一次方程合并同类项解一元一次方程 （1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程 方法：1）合并同类项；2）系数化为 1 例例 1.解下列方程 1）x7x+5x=26 2）2x+0.5x4.5x=26 3）4x+5x=2 4）3x7x=5 【答案】1）x7x+5x=26 （17+5）x=4 合并同类项 x=4 x=4 等式两边同时除（1） 2）2x+0.5x4.5x=26 （2+0.54.5）x=4 合并同类项 2x=4 x=2 等式两边同时除（2） 3）4x+5x=2 （4+5）x=2 合并同类项 x=2 4）3x7x=5 （37）x=5 合并
14、同类项 10x=5 x= 等式两边同时除（10） 知识点知识点 2 移项解一元一次方程移项解一元一次方程 （1）移项 例：2x-3=4x-7 利用等式的性质：2x-3+3=4x-7+3（左边的3 变到右边变成了+3） 2x=4x-4 2x-4x=4x-4-4x（右边 的 4x 变到左边变成了4x） -2x=-4 x= 2 4 x=2 我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子） ，等式不变的性质，可以将方程化为同类项 在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边） 。同时，我们还发现，在这个化简的过程中，实际就是 把一项移到了另一边，并变号的过程。 移项：把等式一边的项变号后移动到另一边的过
15、程。 （注：整体移动，整体变号） （2）解一元一次方程的步骤：移项（将同类项移动到同一侧） ；合并同类项；将未知数的系数化为 1。 例： 2x-3=4x-7 2x-4x=-7+3 移项 -2x=-4 合并同类项 X=2 未知数系数化为 1 例例 1. 解下列方程： 4a-7=6a+10； 3x-5=1-2x； -x+1-x-1=0； -y=y+3； -0.4x+0.1=-0.5x+0.2； 2x- 【答案】4a-7=6a+10 -2a=17 移项并合并同类项 a= 3x-5=1-2x 5x=6 x= -x+1-x-1=0 -2x=0 x=0 -y=y+3 y=3 y= -0.4x+0.1=-0
16、.5x+0.2 0.1x=0.1 x=1 2x- x= 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 一元一次方程的简单应用一元一次方程的简单应用 解题技巧：解题技巧：解决实际问题时，需要用方程的知识。首先，先将实际问题转化为数学问题；然后求解方程； 最后验证数学问题的解是否为实际问题的解。 例例 1.某乡由种玉米改为种优质杂粮后，今年农民人均收入比去年提高了 20%，并且今年人均收入比去年的 1.5 倍少 1200 元。这个乡去年农民人均收入是多少？ 【答案】设去年农名的人均收入是 x 元 依据题意，等量关系式为：今年的收入=去年的收入 1.51200 （1+20%）x=1.5x1200 求得：x
17、=4000 答：去年的收入为 4000 元。 例例 2.一个三角形三边的比式 3:3:5，它的周长是 33cm，求三边的长。 【答案】设三角形三边长分别为 3x、3x、5x 依据题意，等量关系式为：三边和=周长 3x+3x+5x=33 解得：x=3 所以，三边长分别为：9 cm、9 cm、15 cm 答：三角形三边长分别为 9cm，9cm，15cm 3.3 解一元一次方程解一元一次方程-去括号与去分母去括号与去分母 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 去括号去括号 1）去括号：在解方程的过程中，将方程中含有的括号去掉的过程。例：KP94 例 2，例 1 2）方法：
18、与整式的运算中去括号的过程一样（注：整体去括号） 3）顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外，有时为了简化计算，可视情况而定） 4）去括号原则：括号前是“”号时，去括号后，括号里面的每一项都要变号。 例例 1.解方程 4y-3（20-y）=6y-7（11-y） 【答案】4y-60+3y=6y-77+7y -60+77=13y-7y 6y=17 y= 例例 2.解方程 30%（x-1）=20%（x+1）+0.2 【答案】30%（x-1）=20%（x+1）+0.2 30(x-1)=20(x+1)+20 30x-30=20x+20+20 10x=70 x=7 知识点知识点 2 去分母去
19、分母 1）两边同乘最小公倍数，以去分母。 例： 这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，则可以使解方程中的计算更简便些。 利用等式性质：等式两边同时乘一个数，结果仍相等。在这个方程中，乘分母的最小公倍数为 42，方程两 边同乘 42，得： 42 （）=42 33 42+42 28x+21x+6x+42x=1386 97x=1386 X= 2）步骤：确定最小公倍数；两边同乘最小公倍数，去分母。 3）去分母原则：等式两边同乘分母的最小公倍数，注意必须保证每一项都乘最小公倍数（包括整数项） 例例 1.解方程： 1 3 2 2 xx ；1 6 13 3 12 xx 【答案】分母为
20、2 和 3，最小公倍数为 6 方程两边同乘 6 得： 3x2（x+2）=6 3x2x4=6 x=6+4 x=10 分母为 3 和 6，最小公倍数为 6 方程两边同时乘 6 得： 2（2x1）（3x+1）=6 4x23x1=6 x=6+2+1 x=9 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 去括号技巧去括号技巧 解题技巧：解题技巧：解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化 运算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。 对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，依据题目的 数
21、字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。 同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程 求解过程更为简单。 例例 1.解方程 （1）x （2） 【答案】 （1）先去中括号，因为 可以和 及 2 先约分。 x x（）3=2 x x=8 （2）因为等式左右两边都有（x1） ，将（x1）整体上把握 = = （x1）= x= 例例 2.解方程： 【答案】先去大括号，在去中括号，最后去小括号 x= 题型题型 2 转化变形解方程转化变形解方程 解题技巧：解题技巧：在解题过程中，我们往往不是对问题进行正面的、直接的解决，而是把问题进行恰当地
22、变形转 化，直到把它转化为某个熟悉的或已经解决的问题。这种解决问题的思想方法就是转化的思想方法。在解 方程中，将复杂的方程转化为简单的方程的。 例例 1.解方程 （1） （2） （3）y （4） 【答案】 （1） y=-1 （2） 所以 x1=0 x=1 （3）y y y+ 所以 y=0 （4） = = = = 所以 10= x=1 题型题型 3 解分子分母中含有小数系数的方程解分子分母中含有小数系数的方程 解题技巧：解题技巧：此类题型，需要运用分数的基本性质，首先将分子和分母同时扩大，将小数化为整数。然后按 照分数解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 来解方程。 例例
23、 1.解方程： 【答案】 4（）12x=9（x+4）131 200x+80012x=9x+36131 179x=895 x=5 例例 2.解方程： 【答案】 3（3x+5）=2（2x1） 9x+15=4x2 5x=17 x= 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 待定系数法待定系数法 解题技巧：解题技巧：两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等。 例例 1.若等式，求 A。 【答案】设 A=ax+b 则（ax+b） （x3）=a 所以 a 所以 a=1，b3a=1，3b=6 解得：a=1，b= 所以 A=x+2 例例 2.若 a，求： （1）a+b+c+d+e； （2）b+d 【答案】 （
24、1）令 x=1，则 a+b= 化简得：a+b+c+d+e=16 （2）令 x=1，则 a+b= 化简得：ab+cd+e=256 则： （a+b+c+d+e）（ab+cd+e）=16256 化简得：2（b+d）=240 b+d=120 题型题型 2 同解问题同解问题 解题技巧：解题技巧：通过前一个方程求得 x 的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程、 例例 1.若方程与关于 x 的方程 x+的解相同，求 a 的值。 【答案】先解方程 2（12x）+4（x+1）=123（2x+1） 24x+4x+4=126x3 解得：x= 因为两个方程的解相同 所以 x= 也是 x+的解 代入得： 化简得
25、：3+62a=a9 解得：a=6 例例 2.已知方程 2（x+1）=3（x1）的解为 x=a+2，求方程 22（x+3）3（xa）=3a 的解。 【答案】将 x=a+2 代入方程 2（x+1）=3（x1）得： 2（a+3）=3（a1） 解得：a=3 将 a=3 代入方程 22（x+3）3（xa）=3a 得： 22（x+3）3（x3）=9 化简得：4（x+3）6（x3）=9 解得：x= 题型题型 3 含参数的一元一次方程含参数的一元一次方程 解题技巧：解题技巧：一元一次方程 ax+b=0 的解由 a，b 共同决定。 1）若 a0，则方程有唯一解 x= ；2）若 a=0，且 b=0，方程变为 0
26、x=0，则方程有无数； 3）若 a=0，且 b0，则方程变为 0 x=b，则方程无解 例例 1.解关于 x 的方程：。 【答案】化简得： （6a+2）x= 根据方程解的特点，有 3 种情况 情况一：当 6a+20 时，x= 情况二：当 6a+2=0，且 9是，方程有无数解 情况三：当 6a+2=0，且 9是，方程无解 例例 2.解关于 x 的方程：ax+b= 。 【答案】化简得： （a1）x= b+ 根据方程解的特点，有 3 种情况 情况一：当 a10 时，即 a1 时，x= 情况二：当 a1=0，且 b+时，即时，方程有无数解 情况三：当 a1=0，且 b+时，即时，方程无解 题型题型 4
27、利用解的情况求参数的值利用解的情况求参数的值 解题技巧：解题技巧：求含参数一元一次方程的逆过程 例例 1.关于 x 的方程 8x-5+a=bx+12 有唯一解，求 a、b 满足的条件。 【答案】化简得： （8b）x+（a17）=0 因为方程有唯一解，则 8b0，a17 可为任意值 解得：a 为任意值，b8 例例 2.已知关于 x 的方程 a（3x-1）=2x-3 无解，求 a 的值。 【答案】化简得： （3a2）x+（3a）=0 因为方程无解 所以 3a2=0，且 3a0 解得：a= 题型题型 5 整体考虑整体考虑 解题技巧：解题技巧：将含 x 的式子当作一个整体进行求解 例例 1.解方程：3
28、（x+1） 【答案】3（x+1）+=2（x1）+ 3（x+1）=2（x1） x=5 例例 2.解方程： 【答案】 （） （x+2）=0 x=2 3.4 实际问题与一元一次方程实际问题与一元一次方程 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 列方程解应用题的合理性列方程解应用题的合理性 列方程解实际问题，对于方程的解转为为实际问题的解答，一定要注意检验它是否符合实际情况。若不 符合，必须舍去。有时，要根据实际问题与数学问题的区别，对实际问题的解进行修正。同时，在设与答 时，单位要同一。 例例 1.一队学生去校外进行军事训练，他们以 5 千米/小时的速度行进，走了 18 分钟，学校要将一紧急
29、通知传 达给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以 14 千米每小时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追 上学生队伍？ 【答案】设经过 x 小时可以追上学生队伍 18 分=0.3h 依据题意，等量关系式为：学生走的路程=通讯员走的路程 方程为：5（0.3+x）=14x 解得：x= =10min 答：需要 10 分钟追上队伍。 本题中，时间单位不统一，需要先换算成相同的时间单位，在进行计算。 知识点知识点 2 建立书写模型常见的数量关系建立书写模型常见的数量关系 1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息， 准确联想有关的公式
30、，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长 宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长 边长 正方形周长=4 边长 2）约定型数量关系 利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算 数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我 么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价 数量=总价 速度 时间=路程 工作效率 时间=总工作量等。 例例 1.一只船在逆水中航行，船上一只救生圈掉入水中，5 分钟后船员发现救生圈落水，船掉头追赶救生圈， 几
31、分钟能够追上救生圈（调转船头时间不计）？ 【答案】设 x 分钟能够追上救生圈，船静水的速度为 v1，水流速度为 v2 依据题意，等量关系式为：救生圈走的路程=船走的路程 v2 （5+x）=x 解得：x=5 答：需要 5 分钟追上救生圈。 常见的几种等量关系公式，我们需要熟练掌握 知识点知识点 3 分析数量关系的常用方法分析数量关系的常用方法 1）译式法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有 未知数的等式。 例例 1. 一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大 1，个位上的数字比十位上的数字的 3 倍少 2，若将个 位与百位数字调换
32、位置后，所得的三位数与原来三位数的和是 1171，求这个三位数。 【答案】设原十位数字为 x，则百位数字为 x+1，个位数字为 3x2 依据题意，等量关系式为：原来三位数+变换后的三位数=1171 100（x+1）+10x+（3x2）+100（3x2）+10x+（x+1）=1171 解得：x=3 故原数百位数为：3+1=4，十位数为：3，个位数为 3 32=7 三位数为：437 译式法时最常见的列写等式方程的方法之一 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。 这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量
33、之间的关系。 例例 2.超市以每支 4 元的价格购进 100 支钢笔，卖出时每支的标价为 6 元，当卖出一部分钢笔后，剩余的以 9 折出售，卖完时超市盈利 188 元，其中打 9 折的钢笔有几支？ 【答案】题干中数量比较多，利用列表法分析数量关系 售价（元） 数量（支） 售出总价（元） 按标价出售 6 100x 6（100x） 打折出售 6 90% x 6 90%x 设有 x 支钢笔打 9 折，则不打折的钢笔为（100x）支 依据题意，等量关系式为：售出的费用进货费用=利润 6（100x）+6 90%100=188 解得：x=20 答：有 20 支钢笔打折出售。 3）图解法分析数量关系 用图形
34、表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在 行程问题中，我们常常用此类方法。 例例 3.甲、乙两人相距 285m，相向而行，甲从 A 地除法每秒走 8 米，乙从 B 地出发每秒走 6 米。如果甲先走 12 米，那么甲出发几秒后与乙相遇？ 【答案】在行程问题当中，我们往往利用图解法来分析题干中的等量关系 设甲出发 x 秒后与乙相遇 依据题意，等量关系为：甲走的距离+乙走的距离=285 8x+6（x）=285 解得：x=21 答：甲出发 21 秒后与乙相遇 二、典型例题二、典型例题 一元一次方程的应用，仅简单举例说明，具体题型见专题一元一次方程的应用，仅简单
35、举例说明，具体题型见专题 4（一元一次方程的应用专题突破）（一元一次方程的应用专题突破） 例例 1.甲、乙两人骑自行车，同时从相距 65km 的两地相向而行，甲的速度是 17.5km/h，乙的速度是 15km/h， 经过几小时甲、乙两人相距 32.5km？（2 解） 答案： （1）甲乙两人还未相遇，之间的距离为 32.5km，设需要 x 小时 （17.5+15）x=65-32.5 解得 x=1 （2）两人相遇后，继续骑行，之间的距离再次为 32.5km，设需要 y 小时。 （17.5+15）y=65+32.5 解得 y=3 所以综上得，经过 1h 和 3h，甲、乙两人相距 32.5km 例例 2.某校运动会在 400m 的环形跑道上进行 10000m 长跑比赛。甲、乙两运动员同时起跑后，乙速度超过甲 速度。在第 15 分钟，甲加速，在第 18 分钟时甲追上乙并且开始超过乙；在第 23 分钟，甲再次追上乙，且 在第 23 分 50 秒时，甲到达终点。求乙跑完全程所用的时间？ 答案：设乙的速度为 xm/min，甲一开始的速度为 ym/min，后来的速度为 zm/min。 15（x-y）=（18-15） （z-x） （23-18） （z-x）=400 15y+（23）z=10000 解得： 则乙所用的时间为=25（min）
