全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编平面解析几何大题强化训练(原卷版).doc

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1、 专题专题 11 平面解析几何大题强化训练平面解析几何大题强化训练(省赛试题汇编省赛试题汇编) 1 【2018 年广西预赛】已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为的椭圆过点设不过原点 O 的 直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,且直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,求面积的取值范围 2 【2018 年安徽预赛】设 O是坐标原点,双曲线 C:上动点 M处的切线,交 C的两条渐近线于 A、B两点. 求证:AOB的面积 S是定值; 求AOB的外心 P 的轨迹方程. 3 【2018 年湖南预赛】已知抛物线的顶点,焦点,另一抛物线的方程为 在一个交点处它们的切线互相垂直.试证必过定点

2、,并求该点的坐标. 4 【2018 年湖南预赛】如图,在凸四边形 ABCD中,M 为边 AB 的中点,且 MC=MD.分别过点 C、D作边 BC、AD 的垂线,设两条垂线的交点为 P.过点 P 作与 Q.求证:. 5 【2018 年湖北预赛】 已知 为坐标原点, 点为直线上的动点,的平分线与直线 交于点 ,记点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程; (2)过点作斜率为 的直线 ,若直线 与曲线 恰好有一个公共点,求 的取值范围. 6 【2018 年甘肃预赛】已知椭圆过点,且右焦点为 (1)求椭圆 的方程; (2)过点 的直线 与椭圆 交于两点,交 轴于点 若,求证:为定值; (3)在(2)

3、的条件下,若点 不在椭圆 的内部,点 是点 关于原点 的对称点,试求三角形面积的 最小值 7 【2018 年吉林预赛】如图,已知抛物线过点 P(-1,1) ,过点 Q(,0)作斜率大于 0的直线 l 交抛物线与 M、N两点(点 M在 Q、N之间) ,过点 M作 x 轴的平行线,交 OP 于 A,交 ON于 B.PMA 与OAB 的面积分别记为,比较与 3的大小,说明理由. 8 【2018 年山东预赛】 已知圆与曲线为曲 线 上的两点,使得圆 上任意一点到点 的距离与到点 的距离之比为定值,求 的值 9 【2018 年天津预赛】如图,是双曲线的两个焦点,一条直线与双曲线的右支相切,且 分别交两条

4、渐近线于 A、B.又设 O为坐标原点,求证: (1); 、A、B四点 在同一个圆上. 10 【2018 年河南预赛】已知方程平面上表示一椭圆试 求它的对称中心及对称轴 11 【2018 年河北预赛】如图,椭圆(ab0)的左焦点为 F,过点 F的直线交椭圆于 A、B 两点. 当直线 AB经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 60. (1)求该椭圆的离心率; (2)设线段 AB 的中点为 G,AB的中垂线与 x轴、y轴分别交于 D、E 两点.记GDF的面积为,OE D(O坐标原点)的面积为.求 的取值范围. 12 【2018 年四川预赛】已知双曲线,设其实轴端点为,点 是双曲线上不同于的 一个动点,

5、直线分别与直线交于两点.证明:以线段为直径的圆必经过定点. 13 【2018 年浙江预赛】已知动直线 l与圆 O:相切,与椭圆相交于不同的两点 A,B. 求原点到 AB 的中垂线的最大距离. 14 【2018 年辽宁预赛】如图所示,在平面直角坐标系,设点是椭圆上一点,左 右焦点分别是, 从原点 O向圆 M:作两条切线分别与椭圆 C 交 于点 P、Q,直线 OP、OQ的斜率分别记为. (1)设直线分别与圆交于 A、B 两点,当,求点 A的轨迹方程; (2)当为定值时,求的最大值. 15 【2018 年江西预赛】若椭圆上不同的三点到椭圆右焦点的距离 顺次成等差数列,线段的中垂线轴于点 ,求直线的方

6、程 16 【2018 年湖南预赛】设曲线所围成的封闭区域为 D. (1)求区域 D的面积; (2)设过点的直线与曲线 C 交于两点 P、Q,求的最大值. 17 【2018 年福建预赛】已知分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆 上,且的垂心为 (1)求椭圆 的方程; (2)设 为椭圆 的左顶点,过点的直线 交椭圆两点记直线的斜率分别为,若 ,求直线 的方程 18 【2016 年吉林预赛】已知椭圆的右顶点为 C,A 为第一象限内的椭圆周上任意一点,点 A 关 于原点的对称点为 B,过点 A 作 x 轴的垂线,与 BC 交于点 D,比较的大小,并给出证明. 19 【2016 年浙江预赛】已知椭圆,经过点

7、,离心率为 。过椭圆 的右焦 点作斜率为 的直线 ,与椭圆 交于两点,记的斜率分别为。 (1)求椭圆的标准方程; (2)若,求实数 。 20 【2016 年新疆预赛】设过原点且斜率为正值的直线与椭圆交于点,点. 求四边形面积的最大值. 21 【2016 年四川预赛】已知拋物线过定点 C(l,2) ,在抛物线上任取不同于点 C 的一点 A,直 线 AC 与直线 y=x+3 交于点 P,过点 P 作 x 轴的平行线,与抛物线交于点 B. (1)证明:直线 AB 过定点; (2)求ABC 面积的最小值. 22 【2016 年江苏预赛】在平面直角坐标系 xOy 中,点在椭圆上,不经过坐标原点 O 的

8、直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点为 D,直线 OD 的斜率为 1记直线 PA、PB 的斜率分别为 ,证明:为定值 23 【2016 年湖南预赛】设椭圆经过点,离心率为 ,直线 经过椭圆 的右 焦点 ,与椭圆 交于点在直线上的射影依次为. (1)求椭圆 的方程. (2)联结,当直线 的倾斜角变化时,直线是否交于定点?若是,求出定点的坐标并给予 证明;否则,说明理由. 24 【2016 年湖北预赛】过抛物线外一点 P 向抛物线作两条切线,切点为 M、N,F 为抛物 线的焦点.证明: (1); (2). 25 【2016 年河南预赛】如图,已知为椭圆在左、右顶点,直线

9、与椭圆 交于点。 设的斜率分别为,且=1:9。 (1)证明:直线 过定点; (2)记的面积分别为,求的最大值。 26 【2016 年甘肃预赛】已知 F 为椭圆的右焦点,分别为 x 轴、y 轴 上的动点,且满足.设点 P 满足. (1)求点 P 的轨迹 C. (2) 过点 F 任作一直线与轨迹 C 交于 A、 B 两点, 直线 OA、 OB 与直线分别交于 S、 T (O 为坐标原点) , 试判断是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由. 27 【2016 年福建预赛】如图,F1、F2为双曲线 C:的左、右焦点,动点 P(x0,y0)(y01)在双曲 线 C 的右支上.设F1PF2的平分

10、线与 x轴、y 轴分别交于点 M(m,0)、N. (1)求 m的取值范围; (2)设过点 F1、N 的直线 l与双曲线 C 交于 D、E两点,求F2DE 面积的最大值. 28 【2016 年陕西预赛】已知直线 l:y=x+4,动圆O:x2+y2=r2(1r2),菱形 ABCD 的一个内角为 60 , 顶点 A、B在直线 l上,顶点 C、D 在O上.当 r 变化时,求菱形 ABCD的面积 S的取值范围. 29 【2016 年吉林预赛】已知椭圆的右顶点为 C,A 为第一象限内的椭圆周上任意一点,点 A 关 于原点的对称点为 B,过点 A 作 x 轴的垂线,与 BC 交于点 D,比较的大小,并给出证明. 30 【2016 年山东预赛】已知椭圆 E:,过椭圆左焦点 F(-c,0)的直线 l 与椭圆交于 A、B 两 点,线段 AB 的垂直平分线与椭圆交于 C、D 两点.若,求直线 l 的方程. 31 【2016 年天津预赛】设 a 为实数,两条抛物线有四个交点 (1)求 a 的取值范围; (2)证明这四个交点共圆,并求该圆圆心的坐标. 32 【2016 年山西预赛】 设直线与椭圆交于点 M、 N, 且 OMON (O 为原点) . 若,求椭圆的方程

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