1、山东潍坊高三数学下册 3 月测试试卷 1 / 12 山东省潍坊市第一中学 2020 届高三数学下学期 3 月测试试题 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题：(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1设函数的定义域 A，函数y=ln(1x)的定义域为 B，则 AB= A(1,2) B(1,2 C(2,1) D2,1) 2 对于 n 个复数z1，z2， zn， 如果存在 n 个不全为零的实数k1， k2， kn， 使得k1 z1+k2z2+ knzn=0，就称z1，z2，zn线性相关，若复数z1=1+2i，z3=1i，z3=2
2、 线性相关，则k1：k2： k3的值可以为 A2:4:3 B1:3:2 C1:2:3 D3:4:2 3已知向量= (1,1), =(4,3), =(x,2)，若，则x的值为 A4 B4 C2 D2 4、函数的大致图象为 5在平面直角坐标系xOy中，角与角均以 Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若 sin=，则 cos()= A B C D 6下图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是 山东潍坊高三数学下册 3 月测试试卷 2 / 12 A这 15 天日平均温度的极差为 15 B连续三天日平均温度的方差最大的是 7 日，8 日，9 日三天 C由折线图能预测
3、 16 日温度要低于 19 D由折线图能预测本月温度小于 25的天数少于温度大于 25的天数 7围棋棋盘共 19 行 19 列，361 个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此 有 3 613种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中也讨论过这个问题，他 分析得出一局围棋不同的变化大约有 “连书万字五十二” 种， 即 10000 52， 下列最接近 的是(注：lg30.477） A10 -26 B10 -35 C10 -36 D10 -25 8已知抛物线y 2=2px 上不同三点 A，B，C 的横坐标成等差数列则下列说法正确的是 AA，B，C 的纵坐标成等差数列 BA，B，C
4、 到x轴的距离成等差数列 CA，B，C 到点 O(0,0)的距离成等差数列 DA，B，C 到点的距离成等差数列 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 9设正实数a，b满足a+b=1，则 山东潍坊高三数学下册 3 月测试试卷 3 / 12 A有最小值 4 B有最小值 C有最大值 1 Da 2+b2有最小值 10已知菱形 ABCD 中，BAD=60，AC 与 BD 相交于点 O将ABD 沿 BD 折起，使顶点 A 至点 M，在折起的过程中，下列结论正确的是 ABDCM B存在一个位置，使CDM 为等边三角形 CDM 与 BC 不可能垂直 D直线 DM 与平面 BCD 所
5、成的角的最大值为 60 11已知双曲线(a0，b,0)的左、右两个顶点分别是 A1,A2,左、右两个焦点分 别是 F1,F2,P 是双曲线上异于 A1,A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有 A B直线 PA1，PA2的斜率之积等于定值 C使得PF1F2为等腰三角形的点 P 有且仅有 8 个 DPF1F2的面积为 12 函数f (x)在a,b上有定义,若对任意x1，x2a， b,有, 则称f（x）在a, b上具有性质 P.设f(x)在1,3上具有性质 P,则下列选项是真命题的是 A. f ( x)在1,3上的图像是连续不断的 B.f(x 2)在1, 上具有性质 P C.若f (x)在x
6、=2 处取得最大值 1,则f(x)=1,x1,3 D.对任意x1,x2,x3,x41,3,有 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.如图所示， 一名男生扔铅球， 铅球上升高度y(单位:m)与水平距离x(单 位:m)之间的关系是，则铅球落地时，铅球速度方 向与地面所成的角是_。 14人的某一特征（如单双眼皮）是由他的一对基因决定的，以 D 表示显性基因，d 表示隐 山东潍坊高三数学下册 3 月测试试卷 4 / 12 性基因， 则具有 DD 基因的人是显性纯合子表现为双眼皮， 具有 dd 基因的人是隐性纯合子表 现为单眼皮，具有 Dd 基因的人为杂合子，显性纯合子与杂
7、合子都显露显性基因决定的某一 特征.孩子从父母身上各得一个基因， 假定父母都是杂合子.则一对双眼皮夫妇生一个双眼皮 的男孩概率是_。 15记 Sn为等差数列an的前n项和，且a1=1，S7=28记bn=lgan，其中x表示不超过x 的最大整数，如0.90=0，lg99 =1，则=b2019b2020=_。 16.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，动点 P 在正方体的表面上运动，且与点 A 的距离 为.动点 P 的集合形成一条曲线，这条曲线在平面 CDD1C1上 部分的形状是_， 整条曲线的周长是_ 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演
8、算步骤。 17 （10 分）已知等差数列an满足a1= a2 +4 且a18+a20=12，等比数列bn的首项为 2，公比 为 q. （1）若 q=3，问b3等于数列an中的第几项？ （2）若 q=2，数列an和bn的前n项和分别记为 Sn和 Tn，Sn的最大值为 M，试比较 M 与 T9 的大小. 18 （12 分） 已知在ABC中， 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，=(sinA+cosC， sinA)， =（cosCsinA，sinC） ，若 (1)求角 B； (2)若 b=3，求ABC 面积的最大值. 19 （12 分）在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为长方
9、形，SB底面 ABCD，其中 BS=2，BA=2， BC=，的可能取值为：； =3 （1）求直线 AS 与平面 ABCD 所成角的正弦值； 山东潍坊高三数学下册 3 月测试试卷 5 / 12 （2）若线段 CD 上能找到点 E，满足 AESE,则可能的取值有几种情况？请说明理由； （3）在（2）的条件下，当为所有可能情况的最大值时，线段 CD 上满足 AESE 的点有 两个，分别记为 E1，E2，求二面角 E1SBE2的大小. 第 19 题图 20 （12 分） 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行， 更带动了我国经济的巨大发展， 据统计， 在年这一年内从 A 市到 B 市乘坐高铁或飞机出
10、行的成年人约为 50 万人次为了解乘客出行 的满意度，现从中随机抽取 100 人次作为样本得到下表(单位：人次)： (1)在样本中任取 1 个，求这个出行人恰好不是青年人的概率； (II)在年从 A 市到 B 市乘坐高铁的所有成年人中， 随机选取 2 人次， 记其中老年人出行的人 次为 X以频率作为概率求 X 的分布列和数学期望； (III)如果甲将要从 A 市出发到 B 市， 那么根据表格中的数据， 你建议甲是乘坐高铁还是 飞 机？并说明理由. 21 （12 分）已知函数f(x)=xlnx. （1）求 f(x)的单调区间与极值； 山东潍坊高三数学下册 3 月测试试卷 6 / 12 （2）若不
11、等式对任意x1，3恒成立，求正实数的取值 范围. 22 （12 分）给定椭圆(ab0)，称圆心在原点 O，半径为的圆 是椭圆 C 的“卫星圆”.若椭圆 C 的离心率为，点在 C 上 (I)求椭圆 C 的方程和其“卫星圆”方程； ()点 P 是椭圆 C 的“卫星圆”上的一个动点，过点 P 作直线l1,l2，使得l1,l2与椭圆 C 都 只有一个公共点，且l1,l2分别交其“卫星圆”于点 M，N，证明：弦长为定值 山东潍坊高三数学下册 3 月测试试卷 7 / 12 高三数学试题答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B D A B C D AD
12、ABD BC CD 二、填空题 13. 14. 0.375 15. 9 16.圆弧、 三、解答题 17.【解析】(1)因为等差数列an满足a1= a2 +4 即 a2a1 =4,所以等差数列an的公差 d=4 又a18+a20=12 得a1+17d+a1+19d=12,代入可得a1=78 所以an=a1+(n1)d=78+(n1)(4)=4n+82 -2 分 当等比数列bn的首项为 2,公比为 q. 当 q=3 时 bn=b1q n1=23n1 所以b3=b1q 2=232=18 -4 分 所以当 18=4n+82 时 解得n=16 即q=3 时b3等于数列an中的第 16 项 -5 分 (2
13、)等比数列bn的首项为 2,若q=2 由可得 -6 分 又等差数列an中代入可得 -9 分 所以当n=20 时，Sn的最大值为 M=800 所以 MT9 -10 分 山东潍坊高三数学下册 3 月测试试卷 8 / 12 18.【解析】 （1）由题意知 1sin 2Csin2AsinAsinC=1sin2B， sin 2A+sin2C+sinAsinC=sin2B 3 分 由正弦定理：a 2+c2+ac=b2， a 2+c2b2=ac=2accosB， 0B， 6 分 （2）由余弦定理：b 2=a2+c22accosB， 9= a 2+c2+ac3ac ac3，当且仅当a=c时，(ac)max=3
14、， 10 分 SABC= 12 分 19.【解析】解： （1）因为 SB底面 ABCD,所以SAB 即为直线 AS 与平面 ABCD 所成的角，在 RtSBA 中， sinSAB=sin45= .2 分 （2）以 B 为坐标原点，以 BC、BA、BS 的方向分别为x轴、 y轴z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐 标分别为： B(0,0,0)，A(0,2,0),D(,2,0),S(0,0,2). 4 分 设，所以， 6 分 因为x0,2, ，所以在所给的数据中，可以取 8 分 （3）由（2）知，此时，或，即满足条件的点 E 有两个， 山东潍坊高三数学下册 3 月测试试卷 9 / 12
15、 根据题意得，其坐标为和), 9 分 因为 SB平面 ABCD，所以 SBBE1, SBBE2, 所以， E1BE2是二面角 E1SBE2的平面角 .10 分 由 由题意得二面角 E1SBE2为锐角， 所以二面角 E1SBE2的大小为 30 12 分 （用向量法也相应得分） 20.解： （）设事件： “在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人”为 M，1 分 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为 19，39，42，2 分 所以在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人的概率 3 分 （）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2. 4 分 因为在年从 A 市到 B 市
16、乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 1 人次，此人为老年人概率是 5 分 所以， 6 分 ， 7 分 .8 分 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P 9 分 故 .10 分 （）答案不唯一，言之有理即可. 山东潍坊高三数学下册 3 月测试试卷 10 / 12 如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为： 乘坐飞机的人满意度均值为： 因为，所以建议甲乘坐高铁从 A 市到 B 市 .12 分 21.【解析】 （1）f(x)=1+lnx， ，定义域为(0，+)， f(x)0, ,f(x)0,0x f(x)的单减区间为，f(x)的单增区间为， ，无极
17、大值 4 分 （2） , 6 分 由（1）知f (x)在上单增， ，即7 分 令，则， 山东潍坊高三数学下册 3 月测试试卷 11 / 12 令， 则， k(x)在1,3上单减， ，k(x0)=0 且在(1，x0)上，k(x)0，h(x)0，h(x)单增， 在(x0,3)上，k(x)0，h(x)0，h(x)单减 10 分 , h(1)h(3)，0 12 分 22.解：()由条件可得: 解得,b=2 所以椭圆的方程为， 3 分 卫星圆的方程为 4 分 （II）当l1,l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率， 因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 当l1方程为时，此时l1与“卫星圆”交于点
18、和， 此时经过点 且与椭圆只有一个公共点的直线是 y=2 或y=2，即l2为y=2 或y=2， l1l2 线段 MN 应为“卫星圆”的直径， 7 分 山东潍坊高三数学下册 3 月测试试卷 12 / 12 当l1, l2都有斜率时，设点 P(x0,y0)，其中 设经过点 P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(xx0)+y0, 则消去 y 得到 9 分 10 分 11 分 所以t1t2=1，满足条件的两直线l1, l2垂直. 线段 MN 应为“卫星圆”的直径， 综合知：因为l1, l2经过点 P(x0,y0)，又分别交其卫星圆于点 M, N，且l1, l2垂直， 所以线段 MN 为卫星圆的直径，为定值 12 分
