1、杨辉三角教学设计一、教材分析杨辉三角是高中数学新课标人教B版选修2-3教材第1.3.2节的内容。本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质后，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。 “杨辉三角”的内涵实际上就是二项式系数的性质，其内容丰富，值得学生深入探讨。对于杨辉三角所蕴含的规律，学生不难发现，而难点就在于如何把学生通过观察发现的规律进行归纳，进而推理论证，揭示其数学本质。本节课利用了转化和化归的数学思想，把对观察得到的规律的证明化归为组合数性质的应用上。从知识发生发展过程的角度上看，学生可以从直观上很好地观察发现杨辉三角中蕴含的数字规律，但对于高二的学生，他们思
2、考问题的思维已经不仅仅满足于“知其然”，他们更渴望的是“知其所以然”，在老师适当的点拨下，学生能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，通过师生合作完成知识发展过程的探究，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。二、学情分析对于高二的学生来说，他们已经具备了比较理性的思考，对发现的规律能够尝试证明。同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。本节课授课班级为普通班，在数学科的学习特点是个体存在较大差距，但学习积极性都很高。另外，该班设有合作基层小组，即小组内拥有稳定的成员，他们之间相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，
3、但对于本节课的难点证明规律，学生还需要在老师的指导下共同完成。三、教学目标：本节课让学生掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法；通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析猜想证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新；通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力，在学习中鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神，同时，通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，体会其中的数学文化，培养学生的爱国情感。四、教学重、难点：教学重点：掌握二项展开式中二项式系数性质，探讨“杨辉三角”中蕴含的数字
4、规律，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力。教学难点：如何发现、归纳规律。五、教法与学法分析：根据教学内容的特点，实现情感目标，本节课先是以学生预习教材的方式，激励学生探索的欲望，同时结合本节课的历史材料，对学生进行情感教育。依据知识的发生发展过程和学生的思维规律，本节课设计了“问题串”的形式，让不同程度的学生都有所收获，有所成功，充分体现新课程“面向全体，让不同的学生在学习上都能得到发展”的思想。为突出重点，本节课采取观察启发和问题解决的方式引导学生思考，使学生主动参与提出问题和探索问题的过程。同时采用学生以分组讨论的方式，通过观察分析归纳猜测推理论证巩固反馈来理解和掌握内容。为突
5、破难点，对结论的推理证明将由师生共同完成。在结论的推证过程中去培养学生思维的严谨性和演绎推理的能力以及化归的思想方法。六、教学手段： 为了给学生提供学习的参与和反馈的机会，以更好地揭示学生对知识发生、发展过程的认知，本节课借助课件教学，并辅助展台展示学生学习成果，让学生进一步展示、交流，帮助学生正确理解数学知识，发展数学思维，同时显示计算机辅助教学的优势。七、教学过程：教学环节教学内容学生活动设计意图（一）创设情境1.复习：二项式定理、通项、二项式系数等概念。2.共享预习内容：杨辉三角是什么？学生回忆前面学过的相关知识，可集体完成问题。 学生用展台展示预习的成果（杨辉的简介、杨辉三角的由来等）
6、温故而知新，对本节课的学习起到承上启下的作用。通过布置预习作业，培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学奥秘的欲望，同时为本节课探究“杨辉三角”中蕴含的数字规律做铺垫，使学生有迫不及待试试身手的愿望。（二）探索新知问题一：二项式系数与杨辉三角有什么关系呢？计算展开式的二项式系数： 与杨辉三角对比你发现了什么规律？经过对比，不难发现二项式系数与杨辉三角中的数字是一一对应的。学生独立完成问题一，主动发表自己的见解。 从学生已有的关于二项式定理的知识及二项式系数的运算出发，让学生通过计算发现二项式系数具有一定的规律。由此可以自然引出“杨辉三角”。 通过对杨辉的介绍，让学生了解中国古代数学的伟大成就，增
7、强学生的爱国情感。问题二：如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _行中从左至右第14与第15个数的为2:3. 引导学生应用上面学习的新知识，对比二者之间的关系检验学生对于二项式系数与杨辉三角之间关系的理解程度问题三：观察“杨辉三角”1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？ 请与同组的其它同学交流你的想法，并试着证明你们的猜想。 请各小组派代表发表你们的看法。学生分小组合作交流，集思广益。各小组派代表发言，说出他们的讨论成果。各小组之间互相补充完善。通过小组合作交流的形式，让学生的不同想法产生碰撞，产生智慧的火花。经过合作交流以后，各小组得到的规律已初具规模。通过派代表发
8、言的形式，使各组可以一起分享讨论成果。（三）新知讲授师生共同总结提炼：二项式系数的性质：（1）表中每行两端都是1，除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和。（2）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（3）当n为偶数时中间一项最大，当n为奇数时中间两项最大；（4）每一行的二项式系数的和等于 2 n 教师与学生合作，总结提炼各小组的研究成果，形成一般性结论，教师在这个环节中应做好充分的准备，对学生有可能找到的规律做出预设，切不可因为自己准备不足而扼杀了学生的创新精神。（四）例题分析例1.求的展开式中二项式系数最大 的项.例2.证明在的展开式中，二项式系数和等于变式1：证明在的展开式中，奇数项的二
9、项式系数和等于偶数项的二项式系数和变式2：已知求：（1）（2）（3）学生应用二项式系数的性质，解决问题。 例1可集体回答，应用性质3，先观察n等于几。例2可先由教师引导讲解，两个变式由学生自主完成，并用展台展示学生成果。最后小结方法赋值法。引导学生学会将二项式系数的性质应用到实际问题中。同时也检验学生对新知识的接受程度。例2中总结解决二项式系数及项的系数的一般方法赋值法。展示学生成果，可以让学生讲解，让学生体会收获的喜悦。（五）深入探究深入探究杨辉三角中蕴含的一些数字规律：1.杨辉三角的第2k-1行的各数字特点2.横行数字满足3.所有行的第二个数构成等差数列4. 所有行的第三个数都是三角形数5
10、.师生共同深入探究杨辉三角中的奥秘，可教师引导，学生发现并归纳结论通过引导学生从不同的角度观察“杨辉三角”，让学生感受对待同一事物“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的妙处。也让学生体会到中国数学文化的博大精深。探究欣赏欣赏有趣的杨辉三角：中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？大自然中的斐波那契数列-树丫的数目 、种子的排列（松果）教师展示课件，请学生欣赏杨辉三角的有趣应用。带领
11、学生体会中国传统文化在现实生活中的应用。通过欣赏杨辉三角在现实生活中的应用，引导学生体会知识之间的相互联系，也可激发学生深入研究数学的求知欲望，对数学的学习产生浓厚的兴趣。（六）思维拓展例：将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到一个0-1三角数表。从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第3次全行的数都为1的是第7行，第n次全行的数都为1的是第 行，第61行中1的个数是 学生独立思考问题，利用杨辉三角知识的外延，找到杨辉三角与0-1数表之间的联系。教师可继续设问：第128行中数字之和是 通过设计有针对性和有效性的练习，使学生能巩固知识、训练技能，又帮助学生领悟数学基本思想，积累数学活动经验，发展数学能力。（七）评价反思从本节课的探索过程中你收获了什么？杨辉三角奥秘无穷，只要大家从不同角度运用合情推理，一定会发现更多的规律。学生自由发言，谈谈自己的收获。让学生回味这节课，总结自己的收获，表达自己在课堂上收获的知识与培养的情感。激励学生课后继续探索杨辉三角，使学生意识到应该把探究愿望贯穿在课堂内外。（八）板书设计 杨辉三角一、二项式系数的性质 二、例题分析1、 例12、3、例2.4、
