1、1.1.3 导数的几何意义教案教学目的：理解函数的导数的几何意义，会求已知切点的切线方程.重点难点：已知函数图象上某点的坐标，求切线方程.学科素养：用所学探索未知，通过数学定义的教学，体会数学研究的手段方法.一、引入与新课：【提出问题】已知函数f(x)=x2,求x=2时的导数。解：因为所以因为所以x=2时的导数为4。我们知道，从数量上，函数在一点x0的导数是函数在x0处函数的瞬时变化率。那么，从图形上看，一般函数在点x0的导数有怎样的几何意义呢？【抽象概括】设函数y=f(x)的图像如下图：AB是过点A（x0 ，f(x0)），B（x0+x，f(x0+x)）的割线，AB的斜率是：就是函数y=f(x
2、)的平均变化率。【获得新知】当点B沿着曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置是直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线。由此可见，当x趋近于0时，割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率。即切线AD的斜率= 【解决问题】由导数意义可知，曲线y=f(x)在点（x0 ，f(x0)）的切线的斜率等于f(x0)即kf(x0).【概念领悟】1函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)，相应的切线方程为：yf(x0)f(x0)(xx0)，2如果曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴，这时切线的斜率不存在
3、，即f(x)在这点的导数也不存在。3. 如果曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴，根据直线方程的定义，可得此时的切线方程为xx0.4. 连续函数不一定在每一点处都有导数。比如，函数y=|x|在x=0处没有导数。二、例题与练习：【经典例题】例1已知抛物线yx24x，求抛物线在点（2,12）处的切线的斜率。解：因为y(2x)24(2x)-12x28x.所以所以 (x8)8.所以抛物线yx24x在点（2,12）处的切线的斜率为8。【规律技巧】求曲线y在点(x0，f(x0)的切线的斜率的步骤为：第一步：求yf(x0x)f(x0)；第二步：求平均变化率；第三步：求导数f(x0) 即为曲
4、线在点(x0，f(x0)的切线的斜率.例2.求曲线y=x2在点（1,2）的切线方程解：因为所以所以所以曲线y=x2在点（1,2）的切线斜率为1，由点斜式得，曲线y=x2在点（1,2）的切线方程为x-y+1=0【规律技巧】利用导数求曲线的切线方程，关键是求切线的斜率。求曲线y在点(x0，f(x0)的切线方程的步骤为：第一步：求yf(x0x)f(x0)；第二步：求平均变化率；第三步：求导数f(x0) 即为曲线在点(x0，f(x0)的切线的斜率.第四步：根据点斜式写出直线方程：yf(x0)f(x0)(xx0)例3：求抛物线yx2过点(3,5)的切线方程解：因为点(3,5)不在曲线yx2上，所以(3,
5、5)不是切点设切点坐标为(x0，x02)，y 2x所以在(x0，x02)的切线斜率为2 x0因为切线过(3,5)和(x0，x02)，所以2x0解得x0=1，或x0=5，所以k2，或k10所以切线方程为y52(x3)，或y510(x3)即2xy10，或10xy250【规律技巧】如果所给点P(x0，y0)不是切点，则求过该点的切线方程的步骤：第一步：设切点坐标(x1，y1)；第二步：利用求出切点坐标；第三步：求出切线的斜率kf(x1)，由点斜式写出切线方程.【总结提炼】这节内容我们从一个实例出发，得出导数的几何意义。实际上，我们研究问题要逐步学会从代数和几何两个方面来研究。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”这说明了研究问题时数形结合的重要性【巩固练习】1 求下列函数的导数（1）（2）2 求抛物线过点的切线方程.三、小结与作业：见本案所附的课后练习题.
