1、数学组教研成果系列材料数系扩充数的进化历程数学课程标准中课程的基本理念第八条强调：要在数学教学中体现数学的文化价值，数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等课题。数学的发展是从远古开始的，远古时期是没有数的，人类为了适应统计猎物和采集野果等方面的需要，用手指、
2、结绳、石子或刻痕数个数。经历了漫长的岁月，创造了自然数1,2,3后来人们把表示“无”的0也归入了自然数集，也称自然数系。自此，数的第一阶段发展结束。自然数集的重要性：在于它是其它的一切数系产生的源泉。大约在四千年前，我国夏朝，在公平分配物质的时候，人们发现自然数不够用。例如三个人平分一个西瓜，把西瓜切成相同的三等分，每人一份，怎样用数来表示这一份呢？诸如此类问题很多，人们又创造出了分数，分数是两个自然数的比。第1页两千年前，即两汉时期，中国人发现具有相反意义的量。例如收入和支出，上升与下降，入库与出库等等。可用相反数表示，于是引进了与正数相反的负数。另外从方程的角度，x+a=0有解，x是不能得
3、正分数的。综上，人们将数字进一步扩充到了有理数。也是在两千年前，公元前800400年间，富于理性思维的希腊人，感悟到两个同类量并不总是可以公度的。换言之，仅用有理数表示事物的数量是不够的，他们发现正方形和正五边形的对角线不能用有理数表示。一直以来古希腊的数学权威都被当时的毕达哥拉斯学派掌控。他们认为世界的度量全都可用有理数表示。也是该学派的门徒希伯斯最先发现了这个有理数的漏洞，而且他把此事透了出去。此事如石破天惊，一石激起千层浪，震撼了当时的科学界。这使得毕达哥拉斯学派极为恐慌。为了掩盖这个使得他们不能容忍的数学问题，他们采用极其残忍野蛮的手段，将希伯斯投河处死，其罪名等同于“渎神”。但真理是
4、不能掩盖的，也不能抹杀。在希伯斯被处死一百年后，也是希腊人用反证法证明了正方形的对角线是一个无理数。毕氏学派妄想抹杀真理，才是真正的“无理”。人们为了纪念希伯斯这位为真理而献身的可敬学者，把这个当时用有理数不能度量的量取名无理数。无理数的发现，证明了有理数不能与连续的无限的直线等同看待（即有理数不连续），存在“孔隙”。带来了数学史上的第一次危机。这对以后2000年间的数学发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验转向依靠证明，这是人类思维的一个重大的转向，这个转向推动了公理几何学和逻辑学的发展，并孕育了微积分思想。在有理数中加进了无理数，使数系扩充到了实数系，解决了数学史上的第一次危机。第
5、2页但人类的思维发展并没有到此止步，人们在求解方程时，发现一元二次方程ax+bx+c=0并不是总有两个实数解。当0时有两个解，而当0时，在实数范围内就无解。在三次方程中，如xx=0有三个实数解：1,0,1，而x1=0就只有一个解，1.如此看来，在实数范围内，方程的解的个数与方程的次数关系并不确定。一个很自然的想法是把实数系扩大，可否使二次方程都有两解，三次方程都有三解五百年前的16世纪意大利米兰学者卡当在1545年发表的重要艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被人们称为“卡当公式”，他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案
6、写成：。尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无缥缈的，但他还是将10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔，他在几何学（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应。藉此，虚数流传下来。第3页数学中的一颗新星虚数。虚数的出现引起了数学界的一片困惑，很多大科学家都不敢承认虚数。德国数学家莱布尼茨在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物。”瑞士数学大师欧拉说：“一切形如，的数学式子都是不可想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些
7、什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”然而其理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有一席之地。法国数学家达兰贝尔在1747年指出，如果按照多项式的四则运算对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（）。法国数学家棣莫弗在1730年发现了著名的棣莫弗定理，欧拉在1748年发现了，并且是他在微分公式（1777年）一文中第一次用“i”来表示1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而是确实存在的。挪威的测量学家成塞尔在 1779 年试图给予这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。德国数学家高斯（17771855）在1806年
8、公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示，在直角坐标系中用向量和复数一一对应，这就是复数的几何意义，此平面被称为复平面也称高斯平面。高斯在1831年用实数组代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”，他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法直角坐标法和极坐标法加以综合，统一于表示同一复数的代数形式和三角形式中，并把数轴上的点和实数一一对应，扩展到平面上的点与复数一一对应。阐述了复数的几何加法与乘法。至此复数理论才比较完整和系统地建立起来。第4页经过许多数学家长期不懈的努力，
9、深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚。虚数成为了数系大家庭中的一个重要成员，从而实数集才扩充到了复数集。 随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。人类社会不断向前发展，数的范围也随之不断扩充。在数系的扩充中充满了艰辛和挑战。数系的扩充的动力来源于两个方面，一方面是现实的需要，另一方面是人类理性思维的驱动。数系的每一次扩充，都是人类文明的一次飞跃。那么数系发展到今天的最大数系复数系就终结了吗？我想肯定不是。试想实数与数轴上的点一一对应，平面上的点与复数一一对应，那么空间中的点与什么样的数一一对应呢？那将是一个什么样的数呢？如果这样的数存在了，对人类的进步和发展产生怎样的作用呢？未知的世界很奇妙，也一定精彩，现在我们不能认识的事物，不代表我们永远不能。我们期待有一天那个数的到来。第5页
