1、直线与圆专题复习题含答案考点一：直线的方程考点1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离公式d.典例(1)“a2”是“直线ax2y0与直线xy1平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若a2，直线ax2y0与直线xy1显然平行，若直线ax2y0与直线xy1平行，由，易得a2.答案：C(2)若点(
2、1,1)到直线xcosysin2的距离为d，则d的最大值是_解析：依题意有d|cossin2|sin()2|，于是当sin()1时，d取得最大值2.答案：2解题通法求直线方程的2种方法(1)直接法：选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中的系数，写出结果(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数 练习1若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A.BCD.解析：由直线l与直线y1，x7分别交于点P、Q，可设P(x1,1)，Q(7，y1)，再由线段PQ的中点坐标为(
3、1，1)，可解得：x15，y13.即直线l上有两点P(5,1)，Q(7，3)，代入斜率公式可解得直线l的斜率为k.答案：B2直线l1：3xy10，直线l2过点(1,0)，且l2的倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为()Ay6x1 By6(x1)Cy(x1) Dy(x1)解析：设直线l1的倾斜角为，则由tan3可求出直线l2的斜率ktan2，再由直线l2过点(1,0)即可求得其方程答案：D.考点二：圆的方程考点1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24
4、F0，表示以为圆心，为半径的圆典例(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案(x2)2y29(2)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_解析由二元二次方程表示圆的条件可得a2a2，解得a2或1.当a2时，方程为4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，配方得(y1)20，不表示圆；当a1时，方程为x2y24x8y50，
5、配方得(x2)2(y4)225，则圆心坐标为(2，4)，半径是5.答案(2，4)5解题通法求圆的方程的2种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程 练习1与圆C：x2y22x4y0外切于原点，且半径为2的圆的标准方程为_解析：所求圆的圆心在直线y2x上，所以可设所求圆的圆心为(a，2a)(a0相交；0相切；0相离；(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离典例(1)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面
6、积为_解析圆C：x2y22ay20化为标准方程为x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r，因为|AB|2，点C到直线yx2a，即xy2a0的距离d，由勾股定理得a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.答案4(2)已知直线l：xy60与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|_解析如图所示，直线AB的方程为xy60，kAB，BPD30，从而BDP60.在RtBOD中，|OB|2，|OD|2.取AB的中点H，连接OH，则OHAB，OH为直角梯形ABDC的中位线，|OC|OD|，|CD|2|OD|224.答案4弦长问题的2种求解方法
7、(1)利用半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理d2r2求解；(2)若斜率为k的直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x1x2|. 练习1已知直线axy10与圆C：(x1)2(ya)21相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为()A.或1 B1 C1或1 D1解析：选C由题意得，圆心(1，a)到直线axy10的距离为，解得a1，故选C.2已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|()A2 B4C6 D2解析：选C由于直线xay10是圆C：x2y24x2
8、y10的对称轴，圆心C(2，1)在直线xay10上，2a10，a1，A(4，1)，|AC|236440.又r2，|AB|240436.|AB|6.解题通法直线和圆与其他知识的交汇高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创新典例已知不等式组表示平面区域，过区域中的任意一个点P，作圆x2y21的两条切线且切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，cosAPB的值为()A.B.C.D.解析选B 作出平面区域和单位圆x2y21，l：xy20，数形结合可得S四边形PAOB2SPAO2PA1PA.当P到原点
9、距离最小时，四边形PAOB的面积最小，此时POl，且|PO|2，故APO，APB解题通法求解与圆有关最值问题常用转化与化归思想，常见类型有：(1)圆外一点与圆上任一点间距离的最值；(2)直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值；(3)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题；(4)形如求axby，等的最值，转化为直线与圆的位置关系 练习1已知圆C1：x2y26x70与圆C2：x2y26y270相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为_解析：AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2，又C1(3,0)，C2(0,3)，C1C2的方程为xy30，即线段AB的中垂线方程为xy30.答案：xy302(2010浙江教育考试院)设直线3x4y50与圆C1：x2y24交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是_解析：由题意结合圆的性质得当圆C2的圆心C2为AB的中点时圆C2的半径最大而原点到直线3x4y50的距离为1，圆C2过原点O，所以圆C2的半径最大值为1.答案：1- 6 -
