1、抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第3讲函数的奇偶性与周期性讲函数的奇偶性与周期性【2014年高考会这样考年高考会这样考】1判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性2利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值3考查函数的单调性与奇偶性的综合应用考查函数的单调性与奇偶性的综合应用4对三种性质的综合考查；借助函数图象解决问题对三种性质的综合考查；借助函数图象解决问题抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为D，如果对，如果对D内的任意一个内的任意一个x，
2、都，都有有xD，且，且_，则这个函数叫做奇函，则这个函数叫做奇函数设函数数设函数yg(x)的定义域为的定义域为D，如果对，如果对D内的任意一个内的任意一个x，都有，都有xD，且，且g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函，则这个函数叫做偶函数奇函数的图象关于数奇函数的图象关于_对称；偶函数的图象关于对称；偶函数的图象关于_对称对称1奇、偶函数的概念奇、偶函数的概念f(x)f(x)原点原点y轴轴抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性数在关于原点对称的
3、区间上的单调性_(2)在公共定义域内在公共定义域内两个奇函数的和是两个奇函数的和是_，两个奇函数的积是，两个奇函数的积是_；两个偶函数的和、积都是两个偶函数的和、积都是_；一个奇函数和一个偶函数的积是一个奇函数和一个偶函数的积是_2奇、偶函数的性质奇、偶函数的性质相同相同相反相反奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)周期函数：对于函数周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T，使得当，使得当x取定义域内的任何值时，都有取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数那么就称函数yf(x)
4、为周期函数，称为周期函数，称T为这个函数的周为这个函数的周期期(2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫做的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的的最小正周期最小正周期3周期性周期性f(xT)f(x)存在一个最小存在一个最小抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考一条规律一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称奇、偶函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件分条件两个性质两个性质(1)若奇函数若奇函数f(x
5、)在在x0处有定义，则处有定义，则f(0)0.(2)设设f(x)，g(x)的定义域分别是的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公，那么在它们的公共定义域上：共定义域上：奇奇奇，奇奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶偶，奇偶奇偶奇【助学助学微博微博】抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考三条结论三条结论(1)若对于若对于R上的任意的上的任意的x都有都有f(2ax)f(x)或或f(x)f(2ax)，则，则yf(x)的图象关于直线的图象关于直线xa对称对称(2)若对于若对于R上的任意上的任意x都有都有f(2ax)f(x)，且，且f(2bx)f(x)(其中其
6、中ab)，则：，则：yf(x)是以是以2(ba)为周期的周期函为周期的周期函数数(3)若若f(xa)f(xb)(ab)，那么函数，那么函数f(x)是周期函数，其是周期函数，其中一个周期为中一个周期为T2|ab|.抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A1B1C2D2解析解析由于由于f(x)的周期为的周期为5，f(3)f(4)f(2)f(1)又又f(x)为为R上的奇函数，上的奇函数，f(2)f(1)f(2)f(1)211，即，即f(3)f(4)1.答案答案A考点自测考点自测1(2013徐州模拟徐州模拟)若若f(x)是是R上周期为上周期为5的奇函数，且满足的奇函数，且满
7、足f(1)1，f(2)2，则，则f(3)f(4)()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考Af(x)|g(x)|是偶函数是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数是奇函数解析解析由题知由题知f(x)f(x)，g(x)g(x)，显然，显然f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|.答案答案A2(2011广东广东)设函数设函数f(x)和和g(x)分别是分别是R上的偶函数和奇函上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是数，则下列结论恒成立的是()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考
8、年高考A335B338C1678D2012解析解析由由f(x6)f(x)可知，函数可知，函数f(x)的周期为的周期为6，所以，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以，所以f(1)f(2)f(2012)f(1)f(2)335112335338，故选故选B.答案答案B3(2012山东山东)定义在定义在R上的函数上的函数f(x)满足满足f(x6)f(x)当当3x1时，时，f(x)(x2)2；当；当1x0的的x的取值范围：的取值范围：(1,0)(1，)
9、答案答案(1,0)(1，)5(2013开封模拟开封模拟)设函数设函数f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，若上的奇函数，若当当x(0，)时，时，f(x)lgx，则满足，则满足f(x)0的的x的取值的取值范围是范围是_抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例1】(2013广州模拟广州模拟)判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：考向一考向一函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题视点审题视点确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再验证
10、是否关于原点对称若对称，再验证f(x)f(x)或其等或其等价形式价形式f(x)f(x)0是否成立是否成立抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)当当x0，f(x)(x)2xx2xf(x)；当当x0时，时，f(x)x2x，x0或或x0时，时，f(x)x2x，则当，则当x0，故故f(x)x2xf(x)，当当x0时，时，x0，故故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数，故原函数是偶函数抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求求f(1)的值；的值；(2)判断判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；的奇偶性并证明你的结论；(3)如果如果f(
11、4)1，f(x1)2，且，且f(x)在在(0，)上是增函上是增函数，求数，求x的取值范围的取值范围审题视点审题视点利用函数奇偶性的定义判断根据已知，恰当利用函数奇偶性的定义判断根据已知，恰当赋值，变换出符合定义的条件赋值，变换出符合定义的条件解解(1)对于任意对于任意x1，x2D，有，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令令x1x21，得，得f(1)2f(1)，f(1)0.考向二考向二函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用【例例2】函数函数f(x)的定义域为的定义域为Dx|x0，且满足对于任，且满足对于任意意x1，x2D，有，有f(x1x2)f(x1)f(x2)抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考
12、向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)依题设有依题设有f(44)f(4)f(4)2，由由(2)知，知，f(x)是偶函数是偶函数f(x1)2f(|x1|)f(16)又又f(x)在在(0，)上是增函数上是增函数0|x1|16，解之得，解之得15x17且且x1.x的取值范围是的取值范围是x|15x17且且x1抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抽象函数奇偶性的判断方法抽象函数奇偶性的判断方法(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现想办法出现f(x)、f(x)；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)
13、找出找出f(x)与与f(x)的关系，得出结论的关系，得出结论抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)当当x2,4时，求时，求f(x)的解析式；的解析式；(3)计算计算f(0)f(1)f(2)f(2013)审题视点审题视点(1)只需证明只需证明f(xT)f(x)，即可说明，即可说明f(x)是周期是周期函数；函数；(2)由由f(x)在在0,2上的解析式求得上的解析式求得f(x)在在2,0上的解上的解析式，进而求得析式，进而求得f(x)在
14、在2,4上的解析式；上的解析式；(3)由周期性求和由周期性求和的值的值考向三考向三函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性【例例3】设设f(x)是定义在是定义在R上的奇上的奇函数，且对任意实数函数，且对任意实数x，恒有，恒有f(x2)f(x)当当x0,2时，时，f(x)2xx2.(1)求证：求证：f(x)是周期函数；是周期函数；抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)证明证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为是周期为4的周期函数的周期函数(2)解解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又又f(4x
15、)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即即f(x)x26x8，x2,4抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)解解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1.又又f(x)是周期为是周期为4的周期函数，的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2008)f(2009)f(2010)f(2011)0.f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2012)f(2013)f(0)f(1)1.抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考判断函数的周期只需证明判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便便
16、可证明函数是周期函数，且周期为可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A2B2 C98D98解析解析f(x4)f(x)，f(x)是周期为是周期为4的函数，的函数，f(7)f(241)f(1)，又，又f(x)在在R上是奇函数，上是奇函数，f(x)f(x)，f(1)f(1)，而当，而当x(0,2)时，时，f(x)2x2，f(1)2122，f(7)f(1)f(1)2，故选，故选A.答案答案A【训练训练3】(2013成都质
17、检成都质检)已知已知f(x)在在R上是奇函数，且满上是奇函数，且满足足f(x4)f(x)，当，当x(0,2)时，时，f(x)2x2，则，则f(7)等于等于()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【命题研究命题研究】通过对近三年高考试题的分析可以看出，通过对近三年高考试题的分析可以看出，考查函数的性质往往不是单纯考查一个性质，而是综考查函数的性质往往不是单纯考查一个性质，而是综合考查，所以需要对函数的各个性质非常熟悉，并能合考查，所以需要对函数的各个性质非常熟悉，并能结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用常结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用常考题型有选择
18、题、填空题，题目为中档难度考题型有选择题、填空题，题目为中档难度热点突破热点突破44函数单调性、奇偶性、周期性的交汇问题函数单调性、奇偶性、周期性的交汇问题抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【真题探究真题探究1】(2012陕西陕西)下列函数中，既是奇函数下列函数中，既是奇函数又是增函数的为又是增函数的为()教你审题教你审题先确定奇函数，再确定函数单调递增先确定奇函数，再确定函数单调递增解法解法选项选项A为一次函数，不是奇函数，是增函数；选项为一次函数，不是奇函数，是增函数；选项B是奇函数，不是增函数；选项是奇函数，不是增函数；选项C是反比例函数，为奇函是反比例函数，为奇函数，不是增函数；选项数，不是增函数；选项D，去绝对值号，变为分段函数，去绝对值号，变为分段函数，符合题意符合题意答案答案D反思反思通过题目的反复练习，熟练掌握函数奇偶性的判断通过题目的反复练习，熟练掌握函数奇偶性的判断方法及函数单调性的判断方法方法及函数单调性的判断方法抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【试一试试一试1】(2012天津天津)下列函数中，既是偶函数，又在下列函数中，既是偶函数，又在区间区间(1,2)内是增函数的为内是增函数的为()答案答案B抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案A
