1、专题五立体几何专题五立体几何5.15.1空间几何体空间几何体考情分析-3-高频考点-4-命题热点一命题热点二命题热点三三视图的识别及有关计算【思考】如何由空间几何体的三视图确定几何体的形状?例1(2018全国,理3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案解析解析关闭根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.答案解析关闭A高频考点-5-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思在由空间几何体的三视图确定几何体的形状时,先根据
2、俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,特别注意由各视图中观察者与几何体的相对位置与图中的虚实线来确定几何体的形状,最后根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系,确定轮廓线的各个方向的尺寸.高频考点-6-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练1某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()答案解析解析关闭 答案解析关闭高频考点-7-命题热点一命题热点二命题热点三柱、锥、台体的表面积与体积【思考】求解几何体的表面积及体积的常用技巧有哪些?例2(2018天津,理11)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面AB
3、CD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.高频考点-8-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.求几何体体积问题,可以多角度、多方位地考虑问题.在求三棱锥体积的过程中,等体积转化法是常用的方法,转换底面的原则是使其高易求,常把底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体变为规则几何体,易于求解.高频考点-9-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练2在梯形ABCD中,ABC=,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()答案解
4、析解析关闭 答案解析关闭高频考点-10-命题热点一命题热点二命题热点三球与多面体的切接问题【思考】求解多面体与球接、切问题的基本思路是什么?例3在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()B 高频考点-11-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思多面体与球接、切问题的求解方法:(1)涉及球与棱柱、棱锥的相切、接问题时,一般先过球心及多面体中的特殊点(如接、切点或线)作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系或画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已
5、知量的关系,列方程组求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据4R2=a2+b2+c2求解.高频考点-12-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3(1)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()B B 高频考点-13-命题热点一命题热点二命题热点三解析(1)由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,高频考点-14-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-15-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思多面体与球接、切问
6、题的求解方法:(1)涉及球与棱柱、棱锥的相切、接问题时,一般先过球心及多面体中的特殊点(如接、切点或线)作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程组求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据4R2=a2+b2+c2求解.高频考点-16-命题热点一命题热点二命题热点三 答案解析解析关闭 答案解析关闭对点训练3(2017全国,理8)已知圆柱的高为1
7、,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()核心归纳-17-规律总结拓展演练1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.2.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分“是求侧面积还是求表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和.3.几何体的切接问题:(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对
8、角线长;(2)柱、锥的内切球找准切点位置,化归为平面几何问题.核心归纳-18-规律总结拓展演练4.等体积法也称等积转化法或等积变形法,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决与锥体有关的问题,特别是三棱锥的体积.核心归纳-19-规律总结拓展演练1.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()答案解析解析关闭 答案解析关闭核心归纳-20-规律总结拓展演练2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()答案解析解析关闭 答案解析关闭核心归纳-21-规律总结拓展演练3.某多面体的三视
9、图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16 答案解析解析关闭 答案解析关闭核心归纳-22-规律总结拓展演练 答案解析解析关闭 答案解析关闭4.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是.核心归纳-23-规律总结拓展演练 答案解析解析关闭 答案解析关闭5.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.5.25.2空间中的平行与垂直空间中的平行与垂直考情分析-25-
10、高频考点-26-命题热点一命题热点二命题热点三线线、线面平行或垂直的判定与性质【思考】判断或证明线面、线线平行或垂直的常用方法有哪些?例1(2018全国,理20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.高频考点-27-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-28-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-29-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-30-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.解决此类问题要注意线线平行(垂直)、线面平
11、行(垂直)与面面平行(垂直)的相互转化.在解决线线平行、线面平行问题时,若题目中已出现了中点,可考虑在图形中再取中点,构成中位线进行证明.2.要证明线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面,找出交线,证明两线平行.3.要证明线线平行,可考虑公理4或转化为证明线面平行.4.要证明线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.高频考点-31-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练1如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1
12、)证明MN平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.高频考点-32-命题热点一命题热点二命题热点三又ADBC,故TNAM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.高频考点-33-命题热点一命题热点二命题热点三(2)解：取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AEBC,从而AEAD,高频考点-34-命题热点一命题热点二命题热点三面面平行或垂直的判定与性质【思考】判定面面平行或垂直有哪些基本方法?例2如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC
13、,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.高频考点-35-命题热点一命题热点二命题热点三(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解:在平面PAD内作PFAD,垂足为F.由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD.高频考点-36-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-37-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-38-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.判定面面平行的四个方法:(1)利用定义,即判断两个平面没有公共点;(2)利用面面平行的判定定理;
14、(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行;(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.面面垂直的证明方法:(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角.3.从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.高频考点-39-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练2如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B
15、1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.高频考点-40-命题热点一命题热点二命题热点三证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.高频考点-41-命题热点一命题热点二命题热点三(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB
16、1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.高频考点-42-命题热点一命题热点二命题热点三平行、垂直关系及体积中的探索性问题【思考】解决探索性问题的基本方法有哪些?例3在如图所示的几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为等腰梯形,ABCD,AC=,AB=2BC=2,ACFB.(1)求证:AC平面FBC;(2)求四面体F-BCD的体积;(3)线段AC上
17、是否存在点M,使EA平面FDM?证明你的结论.高频考点-43-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-44-命题热点一命题热点二命题热点三(3)解：线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA平面FDM.证明如下:连接CE,与DF交于点N,取AC的中点M,连接MN,如图.因为四边形CDEF为正方形,所以N为CE的中点.所以EAMN.因为MN平面FDM,EA平面FDM,所以EA平面FDM.所以线段AC上存在点M,使得EA平面FDM成立.高频考点-45-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.对命题条件的探索的三种途径:(1)先猜想后证明,即先观察与尝试给出条件再证明;(2)先通过命题成立的必要
18、条件探索出命题成立的条件,再证明充分性;(3)将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.2.对命题结论的探索方法:从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.高频考点-46-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3(2018全国,理19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直,M是 上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.高频考点-47-命题热点一命题热点二命题热点三(1)证明 由题设知,平面CMD平面AB
19、CD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为 上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.高频考点-48-命题热点一命题热点二命题热点三核心归纳-49-规律总结拓展演练1.三种平行关系的转化方向.核心归纳-50-规律总结拓展演练2.空间直线与平面垂直的相互转化.3.线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用,依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键.证明面面平行主要依据判定定理,证明面面垂直时,关键
20、是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直,若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决.核心归纳-51-规律总结拓展演练1.已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则()A.ml B.mnC.nlD.mn 答案解析解析关闭对于选项A,=l,l,m,m与l可能平行,也可能异面,故选项A不正确;对于选项B,D,m,n,m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故选项B,D不正确.对于选项C,=l,l.n,nl.故选C.答案解析关闭C 核心归纳-52-规律总结拓展演练 答案解析解析关闭 答案解析关闭核心归纳-53-规律总结拓展演练3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABC
21、D,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).答案解析解析关闭连接AC,由PABD,ACBD可得BD平面PAC,所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,所以平面MBD平面PCD.答案解析关闭DMPC(或BMPC)核心归纳-54-规律总结拓展演练4.如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.核心归纳-55-规律总结拓展演练(1
22、)证明:如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EFAD且EF=AD,又因为BCAD,BC=AD,所以EFBC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF.因此CE平面PAB.核心归纳-56-(2)解:分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ,因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点.在平行四边形BCEF中,MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中点得BNAD.所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PBN,那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH
23、是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.核心归纳-57-规律总结拓展演练5.35.3立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法考情分析-59-高频考点-60-命题热点一命题热点二命题热点三用空间向量证明空间的平行与垂直【思考】如何用空间向量证明空间的平行与垂直?例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.(1)求证:BC1AB1;(2)求证:BC1平面CA1D.高频考点-61-命题热点一命题热点二命题热点三证明：如图,以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由AC=BC=BB
24、1,设AC=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).高频考点-62-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-63-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思用向量方法证明空间线面位置关系的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为e1,e2,A,B,C分别为平面内的相异且不共线的三点(其中l1与l2不重合,与不重合),则(1)l1l2ab存在实数,使b=a(a0);l1l2abab=0.(2)l1ae1存在实数,使e1=a(a0);l1ae1=0存在非零实数1,2,使a=1(3
25、)e1e2存在实数,使e2=e1(e10);e1e2e1e2=0.高频考点-64-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练1在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:(1)B1D平面ABD;(2)平面EGF平面ABD.证明：(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0),高频考点-65-命题热点一命题热点二命题热点三即B1DEG,B1DEF,又
26、EGEF=E,因此B1D平面EGF.结合(1)可知平面EGF平面ABD.高频考点-66-命题热点一命题热点二命题热点三利用向量求空间角【思考】如何用空间向量求空间角?例2如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.高频考点-67-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-68-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-69-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-70-命题热点一命题热点二命题热
27、点三高频考点-71-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思用向量求空间角的方法:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为n,m.高频考点-72-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练2如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.高频考点-73-命题热点一命题热点二命题热点三(1)证明:由题设可得,ABD CBD,从而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中点O,连
28、接DO,BO,则DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DOB为二面角D-AC-B的平面角.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.高频考点-74-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-75-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-76-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3(2018浙江,19)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1平面A1
29、B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.高频考点-77-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-78-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-79-命题热点一命题热点二命题热点三解法二(1)证明:如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.高频考点-80-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-81-命题热点一命题热点二命题热点三用空间向量求空间中的距离【思考】如何用空间向量求空间中的距离?例3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且侧面PDC底面ABCD,E为PC的中
30、点.(1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值;(2)求点D到平面PAB的距离.高频考点-82-命题热点一命题热点二命题热点三 解：如图,取DC的中点O,连接PO,PDC为正三角形,PODC.又侧面PDC底面ABCD,PO底面ABCD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.高频考点-83-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-84-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思求空间中距离的方法:(1)直线到平面的距离,两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离.(2)点P到平面的距离d=(其中n为的法向量,M为内任一点).(3)设直线n的方向向量为n,直线n与异面直线a,b都垂直,A是直线a上任一点,B
31、是直线b上任一点,则异面直线a,b的距离d=高频考点-85-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练4如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,AB+AD=4,CD=,CDA=45.(1)求证:平面PAB平面PAD.(2)设AB=AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30,求线段AB的长;在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?说明理由.高频考点-86-命题热点一命题热点二命题热点三(1)证明：因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.因为ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解：以
32、A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz,如图.在平面ABCD内作CEAB交AD于点E,则CEAD.在RtCDE中,DE=CDcos 45=1,CE=CDsin 45=1.设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4,得AD=4-t,所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),高频考点-87-命题热点一命题热点二命题热点三高频考点-88-命题热点一命题热点二命题热点三假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.由消去t,化简得m2-3m+4=0.因为方程没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,
33、C,D的距离都相等.从而,在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.核心归纳-89-规律总结拓展演练1.用空间向量解决立体几何问题时,要根据情况选择,常建立空间直角坐标系,利用空间向量知识解决立体几何问题.用空间向量解决的主要立体几何问题有平行、垂直、求角、求距离等.2.用向量证明空间中的平行关系:(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v,与平面共面的两个不共线向量v1和v2,则l或l存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.(3)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则l或lvu.(4
34、)设平面和的法向量分别为u1,u2,则u1u2.核心归纳-90-规律总结拓展演练3.用向量证明空间中的垂直关系:(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2v1v2v1v2=0.(2)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2,则u1u2u1u2=0.4.两异面直线所成的角不一定是它们的方向向量的夹角;两平面的法向量的夹角与两平面的二面角相等或互补;直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的余角相等或互补.(1)两条异面直线所成的角:设异面直线a,b所成的角为,a,b的方向向量为a,b,其夹角为,则有cos=|cos|=.核心归
35、纳-91-规律总结拓展演练(2)直线和平面所成的角:如图,sin=|cos|=.(3)平面与平面所成的二面角为,两平面的法向量分别为m,n,则|cos|=.核心归纳-92-规律总结拓展演练5.点到平面的距离的向量求法:如图,设AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则点B到平面的距离d=.核心归纳-93-规律总结拓展演练1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()答案解析解析关闭 答案解析关闭核心归纳-94-规律总结拓展演练2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成二面角的大小为.答案解析解析关闭 答案解析关闭核心归纳-95-规律总结拓展演练3.(2018天津,理17)如图,ADBC且AD=2BC,ADCD,EGAD且EG=AD,CDFG且CD=2FG,DG平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN平面CDE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60,求线段DP的长.核心归纳-96-规律总结拓展演练核心归纳-97-规律总结拓展演练核心归纳-98-规律总结拓展演练
