1、专题（八）二次函数与几何图形综合题题型解读在中考的命题中,二次函数是最后两道压轴题中的一道,如2020年长沙、常德、湘潭、郴州第25题都是以二次函数为基础的与几何图形息息相关的综合题,因此,做好二次函数相关的压轴题是整个试卷分数提高的基础,而这类试题牵涉的知识面广,考查的知识点多,变化性强.与二次函数相关的考题我们分类进行探究.题型一最值(或取值范围)问题题型一最值(或取值范围)问题题型一最值(或取值范围)问题题型一最值(或取值范围)问题题型一最值(或取值范围)问题题型一最值(或取值范围)问题题型一最值(或取值范围)问题拓展1 2020东营 如图Z8-2,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a0
2、)与x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使OCAOBC.(1)求线段OC的长度.(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式.(3)在(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.题型一最值(或取值范围)问题拓展1 2020东营 如图Z8-2,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a0)与x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使OCAOBC.(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式.题型一最值(或取值范围)问题拓展
3、1 2020东营 如图Z8-2,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a0)与x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使OCAOBC.(3)在(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.题型一最值(或取值范围)问题题型一最值(或取值范围)问题题型一最值(或取值范围)问题题型一最值(或取值范围)问题题型一最值(或取值范围)问题题型一最值(或取值范围)问题题型一最值(或取值范围)问题拓展3 2020龙岩质检 已知抛物线y=x2+bx+c.(1)当顶点坐标为(1,0)时,求抛物线的表达式;(2)当b=2时,
4、M(m,y1),N(2,y2)是抛物线上的两点,且y1y2,求实数m的取值范围;(3)若抛物线上的点P(s,t),满足-1s1时,1t4+b,求b,c的值.题型一最值(或取值范围)问题拓展3 2020龙岩质检 已知抛物线y=x2+bx+c.(3)若抛物线上的点P(s,t),满足-1s1时,1t4+b,求b,c的值.题型一最值(或取值范围)问题题型二与线段、周长、面积有关题型二与线段、周长、面积有关题型二与线段、周长、面积有关题型二与线段、周长、面积有关题型二与线段、周长、面积有关题型二与线段、周长、面积有关题型二与线段、周长、面积有关题型二与线段、周长、面积有关题型二与线段、周长、面积有关拓展
5、1 2020丽水 如图Z8-5,抛物线y=ax2+bx(a0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.(1)求抛物线的函数表达式.(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.题型二与线段、周长、面积有关拓展1 2020丽水 如图Z8-5,抛物线y=ax2+bx(a0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点
6、C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?题型二与线段、周长、面积有关拓展1 2020丽水 如图Z8-5,抛物线y=ax2+bx(a0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.题型二与线段、周长、面积有关题型二与线段、周长、面积有关题型二与线段、周长、面积有关题型二与线段、周长、面积有
7、关题型二与线段、周长、面积有关题型二与线段、周长、面积有关题型二与线段、周长、面积有关题型三与特殊三角形形状有关例3 2020攀枝花改编 如图Z8-7,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式,并求点A的坐标.【分层分析】把B(3,0),C(0,3)的坐标代入抛物线的解析式y=x2+bx+c,得到关于b,c的方程组,求出b,c,得到解析式,令y=0,即可求得点A的坐标.题型三与特殊三角形形状有关例3 2020攀枝花改编 如图Z8-7,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴交于点C
8、(0,3).(2)如图,点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求证:CFE是等腰直角三角形.【分层分析】求出OCB和CFE的度数,即可证明CFE是等腰直角三角形.题型三与特殊三角形形状有关例3 2020攀枝花改编 如图Z8-7,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(3)在第(2)问的条件下,求PE+EF的最大值.【分层分析】方法1:(代数法)过P作PGCF,交CB于点G,易知CFE和GPE均为等腰直角三角形,设xP=t,线段EF,PE的长用含t的代数式表示,利用二次函数求最值.方法2:(几
9、何法)以BC为对称轴将FCE对称得到FCE,作PHCF于H,PE+EF=PF=PH=(yC-yP)=(3-yP),当yP最小时,PE+EF取最大值.题型三与特殊三角形形状有关题型三与特殊三角形形状有关题型三与特殊三角形形状有关例3 2020攀枝花改编 如图Z8-7,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(4)如图,点D为抛物线对称轴上一点,当BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求点D的坐标.【分层分析】分类讨论:满足条件的点D有两个:D在直线BC的上方与D在直线BC的下方,由勾股定理得到关于所求点D的纵坐标的方程,即求出D1和D2的坐
10、标.题型三与特殊三角形形状有关题型三与特殊三角形形状有关例3 2020攀枝花改编 如图Z8-7,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).(5)如图,点D为抛物线对称轴上一点,若BCD是锐角三角形,求点D的纵坐标的取值范围.【分层分析】以BC为直径作圆,则圆与对称轴的交点(设为D3,D4)与点B,C构成的三角形是直角三角形,由已知条件求得D3,D4的坐标,结合(4),求得点D的纵坐标的取值范围.题型三与特殊三角形形状有关题型三与特殊三角形形状有关题型三与特殊三角形形状有关题型三与特殊三角形形状有关题型三与特殊三角形形状有关题型三与特殊三角形
11、形状有关题型三与特殊三角形形状有关题型三与特殊三角形形状有关题型三与特殊三角形形状有关题型三与特殊三角形形状有关题型三与特殊三角形形状有关题型三与特殊三角形形状有关题型四与特殊四边形形状有关例4 2020郴州 如图Z8-11,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式.(2)如图,设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D,在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图,连接BC,PB,PC,设PBC的面
12、积为S.求S关于t的函数表达式;求点P到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.题型四与特殊四边形形状有关例4 2020郴州 如图Z8-11,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.(2)如图,设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D,在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.题型四与特殊四边形形状有关题型四与特殊四边形形状有关例4 2020郴州 如图Z8-11,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(
13、3,0)两点,与y轴交于点C,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.(3)如图,连接BC,PB,PC,设PBC的面积为S.求S关于t的函数表达式;求点P到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.题型四与特殊四边形形状有关题型四与特殊四边形形状有关题型四与特殊四边形形状有关题型四与特殊四边形形状有关题型四与特殊四边形形状有关题型四与特殊四边形形状有关题型四与特殊四边形形状有关题型四与特殊四边形形状有关题型四与特殊四边形形状有关题型四与特殊四边形形状有关题型五与三角形相似有关题型五与三角形相似有关题型五与三角形相似有关题型五与三角形相似有关题型五与三角形相似有关题型五与三
14、角形相似有关题型五与三角形相似有关题型五与三角形相似有关拓展1 2020毕节 如图Z8-15,以D为顶点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线BC的表达式为y=-x+3.(1)求抛物线的表达式.(2)在直线BC上有一点P,使PO+PA的值最小,求点P的坐标.(3)在x轴上是否存在一点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形与BCD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.题型五与三角形相似有关拓展1 2020毕节 如图Z8-15,以D为顶点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线BC的表达式为y=-x+3.(2)在直线BC上有一点P,
15、使PO+PA的值最小,求点P的坐标.题型五与三角形相似有关题型五与三角形相似有关拓展1 2020毕节 如图Z8-15,以D为顶点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线BC的表达式为y=-x+3.(3)在x轴上是否存在一点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形与BCD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.题型五与三角形相似有关题型五与三角形相似有关拓展2 2020青海 如图Z8-16,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作直线BC.(1)求抛物线的表达式;(2)点P为抛物线上第一象限内一动点,过点P作P
16、Dx轴于点D,设点P的横坐标为t(0t3),求ABP的面积S与t的函数关系式;(3)条件同(2),若ODP与COB相似,求点P的坐标.题型五与三角形相似有关拓展2 2020青海 如图Z8-16,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作直线BC.(3)条件同(2),若ODP与COB相似,求点P的坐标.题型六二次函数与圆的结合例6 2020绵阳改编 已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2).(1)求抛物线的解析式.【分层分析】根据抛物线的顶点坐标为(2,1),可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,将(4,2)代入可得a的值.题型六二次函数与圆的结合题型六二次函数与圆的结合题型六二次函数与圆的结合题型六二次函数与圆的结合题型六二次函数与圆的结合题型六二次函数与圆的结合题型六二次函数与圆的结合题型六二次函数与圆的结合题型六二次函数与圆的结合题型六二次函数与圆的结合题型六二次函数与圆的结合题型六二次函数与圆的结合
