1、题型分类突破能力训练提高规律探索题规律探索题题型分类突破能力训练提高命题预测方法指导规律探索型问题也是归纳猜想型问题,是指根据已知条件或题干所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳,发现问题中的数学对象所具有的规律性的一类问题.规律探索型问题体现了“由特殊到一般”的数学思想方法,规律探索型问题大致可分为数式类规律探索问题、图形类规律探索问题和直角坐标系下的点坐标变化规律类,是中考的热点题型,考查同学们创新能力的重要方式.考查的题型既有选择题、填空题,也有解答题,安徽中考连续6年都有考查,预计这类题仍然是2018年中考的热点.题型分类突破能力训练提高命题预测方法指导解决这类问题的一般思路是通过对所
2、给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较,从中发现其变化的规律,并猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用.1.解决这类问题的关键是发现和把握规律.题目中呈现规律一般有三种主要途径:(1)式与数的特征观察.(2)图形的结构观察.(3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况.2.规律探究的基本原则:(1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积找积的规律.(2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找3个,发现规律,再验证运用规律.题型分类突破能力训练提高类型一类型二题型分类突破能力训练提高类型一类型二类型一数式的变化规律例1(2017安徽,19)【阅读
3、理解】我们知道,1+2+3+n=,那么12+22+32+n2结果等于多少呢?在图1所示的三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22;第n行n个圆圈中数的和为题型分类突破能力训练提高类型一类型二【规律探究】将三角形数阵型经过两次旋转可得如图2所示的三角形数阵型,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第1个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:3(12+22+32+n2)=.因此12+22+32+n2=.【解决问题】题型分类突破能力训练提高类型一类型二分析:【
4、规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可,所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数,据此可得,每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的 ,从而得出答案;【解决问题】运用以上结论,将原式变形为题型分类突破能力训练提高类型一类型二解:【规律探究】由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:3(12+22+32+n2)【解决问题】题型分类突破能力训练提高类型一类型二例2(2014安徽,16)观察下列关于自然数的等式:32-412=5;52-422=9;72-432=13;根据上述规律解决下列问题:(1)完成第四个等式:
5、92-42=;(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.分析:通过观察变化的数字与序号的关系,得出第四个等式:92-442=17;通过归纳总结可得出第n个等式为(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1并证明.题型分类突破能力训练提高类型一类型二解:(1)417(2)猜想:(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.证明如下:左边=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1,右边=2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1.左边=右边,故(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.题型分类突破能力训练提高类型一类型二类型二图形的变化规律例3(2016安徽
6、,18)(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:题型分类突破能力训练提高类型一类型二(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,用含n的代数式填空:1+3+5+(2n-1)+()+(2n-1)+5+3+1=.分析:(1)根据1+3+5+7=16可得出16=42;设第n幅图中球的个数为an,列出部分an的值,根据数据的变化找出变化规律“an-1=1+3+5+(2n-1)=n2”,依此规律即可解决问题;(2)观察(1)可将(2)图中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,再结合(1)的规律即可得出结论.题型分类突破能力训练提高类型一类型二解析:(1)1+3+5+7=1
7、6=42,设第n幅图中球的个数为an,观察,发现规律:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=42,故an-1=1+3+5+(2n-1)=n2.(2)观察图形发现:图中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,即1+3+5+(2n-1)+2(n+1)-1+(2n-1)+5+3+1=1+3+5+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+5+3+1=an-1+(2n+1)+an-1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.答案:(1)4n2(2)2n+12n2+2n+1题型分类突破能力训练提高类型一类型二例4(2012安徽,17)在由mn(mn1)个小正
8、方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f,(1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:题型分类突破能力训练提高类型一类型二猜想:当m,n互质时,在mn的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n的关系式是(不需要证明);(2)当m,n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立.分析:(1)通过题中所给网格图形,先计算出25,34,对角线所穿过的小正方形个数f,再对照表中数值归纳f与m,n的关系式.(2)根据题意,画出当m,n不互质时,结论不成立的反例即可.题型分类突破能力训练提高类型一类型二解:(1)如表:f=m+n-1(2)
9、当m,n不互质时,上述结论不成立,如图.题型分类突破能力训练提高123456781.(2017重庆)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第个图形中一共有3个菱形,第个图形中一共有7个菱形,第个图形中一共有13个菱形,按此规律排列下去,第个图形中菱形的个数为(C)A.73B.81C.91 D.109题型分类突破能力训练提高12345678解析:整个图形可以看作是由两部分组成:上半部分是菱形,下半部分是由菱形组成的一条线段,各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现:由此,不难推断出这组图形中菱形个数的变化规律为:n2+n+1,当n=9时,有n2+n+1=92+9+1=91,第个图形
10、中菱形的个数为91.题型分类突破能力训练提高123456782.(2017浙江温州)我们把1,1,2,3,5,8,13,21这组数称为斐波那契数列.为了进一步研究,依次以这列数为半径作90圆弧P1P2,P2P3,P3P4,得到斐波那契螺旋线,然后顺次连接P1P2,P2P3,P3P4得到螺旋折线(如图),已知点P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),则该折线上点P9的坐标为(B)A.(-6,24)B.(-6,25)C.(-5,24)D.(-5,25)解析:找准图形规律,依次可得P6(-6,-1),P7(2,-9),P8(15,4),P9(-6,25).题型分类突破能力训练提高1234
11、56783.(2017湖北武汉)按照一定规律排列的n个数:-2,4,-8,16,-32,64,若最后三个数的和为768,则n为(B)A.9B.10C.11 D.12解析:根据数的规律,第n个数为(-2)n,故有最后三个数的和为(-2)n-2+(-2)n-1+(-2)n=(-2)n-2(1-2+4)=(-2)n-23=768,(-2)n-2=256=(-2)8.n=10.故选B.题型分类突破能力训练提高123456784.(2016湖北黄石)观察下列等式:按上述规律,回答以下问题:题型分类突破能力训练提高12345678题型分类突破能力训练提高123456785.(2017湖南衡阳)正方形A1B
12、1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,按如图的方式放置,点A1,A2,A3,和点C1,C2,C3,分别在直线y=x+1和x轴上,则点B2 018的纵坐标是22 017.解析:由图知,点B1的坐标为(1,1);点A2的坐标为(1,2);点B2的坐标为(3,2);点A3的坐标为(3,4);点B3的坐标为(7,4);A4的坐标为(7,8),寻找规律知B2 018的纵坐标为22 017,故填22 017.题型分类突破能力训练提高123456786.(2017山东淄博)设ABC的面积为1.如图1,分别将AC,BC边2等分,D1,E1是其分点,连接AE1,BD1交于点F1,得到四边形CD1F1E1
13、,其面积S1=;如图2,分别将AC,BC边3等分,D1,D2,E1,E2是其分点,连接AE2,BD2交于点F2,得到四边形CD2F2E2,其面积S2=;如图3,分别将AC,BC边4等分,D1,D2,D3,E1,E2,E3是其分点,连接AE3,BD3交于点F3,得到四边形CD3F3E3,其面积S3=;按照这个规律进行下去,若分别将AC,BC边(n+1)等分,得到四边形CDnFnEn,其面积Sn=.题型分类突破能力训练提高12345678题型分类突破能力训练提高12345678律解决下列问题:(1)直接写出第四个等式;(2)猜想第n个等式(用n的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的.题型分类突破能力训练提高123456788.(2017四川内江)观察下列等式:按上述规律,回答下列问题:(1)请写出第六个等式:a6=;(2)用含n的代数式表示第n个等式:an=;(3)a1+a2+a3+a4+a5+a6=(得出最简结果);(4)计算:a1+a2+an.题型分类突破能力训练提高12345678
