1、小结与复习第三章 圆要点梳理考点讲练课堂小结课后作业一、圆的基本概念及性质1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.2.有关概念:(1)弦、直径(圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧(3)弦心距O要点梳理要点梳理3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.二、点与圆的位置关系A AB BC C点与圆的位置关系点到圆心的距离d与圆的半径r之间的关系点在圆外点在圆上点在圆内O Od dr rd dr rd=rd=rd dr r三、圆的对称性1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴.圆有无数条对称轴.2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一 个角度都能与自身重合
2、,即圆具有旋转不变性.3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 4.4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等OABCDMAM=BM,若 CD是直径 CDAB可推得AC=BC,AD=BD.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.四、垂径定理及推论垂径定理的逆定理CDAB,n由 CD是直径 AM=BM可推得AC=BC,AD=BD.OCD AB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.M定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一
3、半.OABC五、圆周角和圆心角的关系BAC=BOC12OBADEC推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.ADB与AEB、ACB 是同弧所对的圆周角ADB=AEB=ACB推论：直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是圆的直径.OABC推论：圆的内接四边形的对角互补.六、直线和圆的位置关系直线与圆的位置关系圆心与直线的距离d与圆的半径r的关系直线名称直线与圆的交点个数相离相切相交ldr0切线dr2drd=r1割线七、切线的判定与性质1.切线的判定一般有三种方法：a.定义法：和圆有唯一的一个公共点b.距离法：d=rc.判定定理：过半径的外端且垂直于半径2.切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径.切线
4、长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.切线长：从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.3.切线长及切线长定理八、三角形的内切圆及内心1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.3.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.ACIDEF三角形的内心到三角形的三边的距离相等.重要结论2Sra b c；问题1OCDABM半径R圆心角弦心距r弦a圆心中心角ABCDEFO半径R边心距r中心类比学习圆内接正多边形外接圆的圆心正多边形的中心外接圆的半径正多边形的半径每一条边所对的圆心角正多
5、边形的中心角弦心距正多边形的边心距M九、圆内接正多边形概念1.正n边形的中心角=CDOBEFAP360n3.正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系：aRr222().2aRr4.边长a，边心距r的正n边形面积的计算：11.22Snarlr其中l为正n边形的周长.2.正多边形的内角=(2)180nn计算公式 S l B A O（1）弧长公式：）弧长公式：（2）扇形面积公式：）扇形面积公式：180n Rl 213602n RSlR十、弧长及扇形的面积考点一 圆的有关概念及性质例1 如图，在 O中，ABC=50，则CAO等于（）A30B40C50D60B例2 在图中，BC是O的直径，ADBC,
6、若D=36,则BAD的度数是（）A.72 B.54 C.45 D.36 ABCDB例3 O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x26x80的两根，则点A与O的位置关系是（）A点A在O内部 B点A在O上C点A在O外部 D点A不在O上解析：此题需先计算出一元二次方程x26x80的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与 O的关系.D1.如图所示，在圆O中弦ABCD，若ABC=50，则BOD等于（）A50B40C100D80C针对训练1352.如图a，四边形ABCD为O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则BPC的度数是 .CDBAPO图a考点二 垂径
7、定理 例4 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.8mmAB8CDO解析 设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.2AOBCEF图a3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连接AC,BC,过点O作OE AC,OF BC，垂足分别为E,F，连接EF，则EF的长度等于 .（针对训练3ABCDP O图bDP4.如图b,AB是 O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆上的两
8、点，并且AC与BD的度数分别是96 和36，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是 .（例5 如图，在RtABC中，ABC=90，以AB为直径的O交AC于点D，连接BD.考点三 切线的判定与性质解：（1）AB是直径，ADB=90.AD=3，BD=4，AB=5.CDB=ABC，A=A，ADBABC，即 BC=DDB=,ABBCA34=,5BC20.3（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长.又OBD+DBC=90，C+DBC=90，C=OBD，BDO=CDE.AB是直径，ADB=90，BDC=90，即BDE+CDE=90.BDE+BDO=90，即ODE=90.ED与O相切.（2）证明：
9、连接OD，在RtBDC中，E是BC的中点，CE=DE，C=CDE.又OD=OB，ODB=OBD.（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与O相切.例6（多解题）如图，直线AB,CD相交于点O，AOD=30,半径为1cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后P与直线CD相切.4或8解析：根本题应分为两种情况：(1)P在直线CD下面与直线CD相切；(2)P在直线CD上面与直线CD相切.ABDCPP2P1E解析 连接BD，则在RtBCD中，BEDE，利用角的互余证明CEDC.例7 如图，在RtABC中，ABC=90，以AB为直径的
10、O交AC于点D，过点D的切线交BC于E.（1）求证：BC=2DE.解：（1）证明：连接BD，AB为直径，ABC=90，BE切O于点B.又DE切O于点D，DE=BE，EBD=EDB.ADB=90，EBD+C=90，BDE+CDE=90.C=CDE，DE=CE.BC=BE+CE=2DE.（2）DE=2，BC=2DE=4.在RtABC中，tan,ABCBCAB=BC =522 5在RtABC中，2222(2 5)46.ACABBC又ABDACB，DAB=,ABACA 即D2 5=,62 5A10AD=.3 （2）若tanC=,DE=2，求AD的长.52B北6030AC例8 如图，已知灯塔A的周围7海
11、里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60的方向，向东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由.（参考数据 =1.732）3解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系.B北6030ACB北6030ACD解：如图，作AD垂直于BC于D，根据题意，得BC=8.设AD为x.ABC=30，AB=2x.BD=x.ACD=90-30=60，AD=CDtan60，CD=.BC=BD-CD=8.解得 x=333x2 3
12、3x4 34 1.7326.9287.即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.5.如图b，线段AB是直径，点D是O上一点，CDB=20,过点C作O的切线交AB的延长线于点E,则E等于 .OCABED图b50针对训练6.如图，以ABC的边AB为直径的 O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC.问：BC与 O是否相切？解：BC与 O相切理由：连接OD，BD，DE切 O于D，AB为直径，EDOADB90.又DE平分CB，DE BCBE.EDBEBD.又ODBOBD，ODBEDB90，OBDDBE90，即ABC90.BC与 O相切127.已知：如图，PA，PB是 O的切线，A、B为切点，过 上的一点C
13、作 O的切线，交PA于D，交PB于E.(1)若P70，求DOE的度数；AB解：(1)连接OA、OB、OC，O分别切PA、PB、DE于点A、B、C，OAPA，OBPB，OCDE,ADCD,BECE，OD平分AOC，OE平分BOC.DOE AOB.PAOB180，P70，DOE55.12 (2)O分别切PA、PB、DE于A、B、C，ADCD，BECE.PDE的周长PDPEDE PDADBEPE2PA8(cm)(2)若PA4 cm，求PDE的周长例9 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上,OA=1,AOC=120，1=2，求扇形OEF的面积？解：四边形OABC为菱形 OC=OA=
14、1 AOC=120，1=2 FOE=120 又点C在以点O为圆心的圆上 21201=3603S扇形OEF考点四 弧长与扇形面积 8.一条弧所对的圆心角为135 ，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 .40cm针对训练9.如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AEEF，EFFC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，点C到达点C的位置.连接AC，如图所示.根据平移的方法可知，四边形EFCC是矩形.AC=AE+EC=AE+FC=16，CC=EF=8.在RtACC中，得2222AC=AC+CC=16+
15、8=8 5正方形ABCD外接圆的半径为4 5正方形ABCD的边长为ACAB=4 10222=4 54 10=80160S阴影（）（）24 3例10 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为_.考点五 圆内接正多边形的有关计算10.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的 O，四边形EFGH是正方形求正方形EFGH的面积；解：正六边形的边长与其半径相等，EF=OF=5.四边形EFGH是正方形，FG=EF=5，正方形EFGH的面积是25.针对训练正六边形的边长与其半径相等，OFE=600.正方形的内角是900，OFG=OFE+EFG=600+900=1500.由得OF=FG，OGF=（1
16、800-OFG）=（1800-1500）=150.1212连接OF、OG，求OGF的度数考点七 有关圆的综合性题目 例11 如图，在平面直角坐标系中，P经过x轴上一点C，与y轴分别交于A，B两点，连接AP并延长分别交 P，x轴于点D，E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，1）.（1）求证：CD=CF；（2）判断 P与x轴的位置关系，并说明理由；（3）求直线AD的函数表达式.解：（1）证明：过点D作DHx轴于H，则CHD=COF=90，如图所示.点F（0，1），点D（6，-1），DH=OF=1.FCO=DCH，FOCDHC，CD=CF.（2）P与x轴相切.理
17、由如下：连接CP，如图所示.AP=PD，CD=CF，CPAF.PCE=AOC=90.P与x轴相切.（3）由（2）可知CP是ADF的中位线.AF=2CP.AD=2CP，AD=AF.连接BD，如图所示.AD为 P的直径，ABD=90.BD=OH=6，OB=DH=OF=1.设AD=x，则AB=AFBF=ADBF=AD(OB+OF）=x2.在RtABD中，由勾股定理，得AD2=AB2+BD2，即x2=（x2）2+62，解得 x=10.OA=AB+OB=8+1=9.点A（0，9）.设直线AD的函数表达式为y=kx+b，把点A（0，9），D（6，1）代入，得 解得 直线AD的函数表达式为 .961bkb ，439.kb，493yx圆圆的有关性质与圆有关的位置关系与圆有关的计算垂径定理添加辅助线连半径，作弦心距，构造直角三角形圆周角定理添加辅助线作弦，构造直径所对的圆周角点与圆的位置关系点在圆环内：r d R直线与圆的位置的关系添加辅助线证切线有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.正多边形和圆转化直角三角形弧长和扇形灵活使用公式课堂小结课堂小结
